Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 17 z 98

Sortuj:

Zadanie 34

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa \(4\) lub \(5\), lub \(6\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Rozróżniamy kolejność rzutów. Każdy z dwóch rzutów ma 6 możliwych wyników, więc wszystkich jednakowo prawdopodobnych par jest 36.

\[|\Omega|=6\cdot 6=36\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Sumę 4 można uzyskać na 3 sposoby, sumę 5 na 4 sposoby, a sumę 6 na 5 sposobów. Są to rozłączne przypadki, więc dodajemy ich liczby.

\[|A|=3+4+5=12\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{1}{3}\).

\[P(A)=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Pozostałe sumy to 2, 3 oraz od 7 do 12. Odpowiada im łącznie 24 pary wyników, a razem z 12 parami sprzyjającymi daje to wszystkie 36 par.

\[(1+2)+(6+5+4+3+2+1)+12=36\]

Zadanie 6

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x-3)(x+2)=0\) jest równa

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x=0\quad\text{lub}\quad x-3=0\quad\text{lub}\quad x+2=0,\quad\text{czyli}\quad x\in\{0,3,-2\}\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy wszystkie trzy rozwiązania.

\[0+3+(-2)=1\]

Odpowiedź

Suma rozwiązań wynosi 1. Odpowiedź B.

\[1\]

Sprawdzenie

Dla każdej z liczb 0, 3 i −2 jeden z czynników równania jest zerem. Są to wszystkie możliwości, więc ich suma wynosi 1.

\[0+3-2=1\]

Zadanie 20

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkt \(B\) jest obrazem punktu \(A=(-3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

\(2\sqrt{34}\)

\(8\)

\(\sqrt{34}\)

\(12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu B

Symetria względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych.

\[A=(-3,5)\quad\Rightarrow\quad B=(3,-5)\]

2 Obliczenie długości AB

Stosujemy wzór na odległość dwóch punktów i upraszczamy pierwiastek.

\[AB=\sqrt{(3-(-3))^2+(-5-5)^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\]

Odpowiedź

Długość odcinka AB wynosi 2√34. Odpowiedź A.

\[AB=2\sqrt{34}\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AB ma współrzędne (0,0), więc punkty są symetryczne względem początku układu. Ponadto kwadrat otrzymanej długości wynosi 136, tyle samo co suma kwadratów różnic współrzędnych.

\[\left(\frac{-3+3}{2},\frac{5+(-5)}{2}\right)=(0,0),\qquad (2\sqrt{34})^2=136=6^2+(-10)^2\]

Zadanie 6

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Do zbioru rozwiązań nierówności \((x^4+1)(2-x)>0\) nie należy liczba

\(-3\)

\(-1\)

\(1\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znak pierwszego czynnika

Czwarta potęga liczby rzeczywistej jest nieujemna, więc pierwszy czynnik jest zawsze dodatni.

\[x^4\ge 0\quad\Rightarrow\quad x^4+1>0\]

2 Rozwiąż nierówność

Ponieważ pierwszy czynnik jest dodatni, iloczyn jest dodatni dokładnie wtedy, gdy drugi czynnik jest dodatni.

\[(x^4+1)(2-x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad 2-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<2\]

3 Wybierz liczbę spoza zbioru

Spośród podanych liczb tylko 3 nie spełnia warunku x<2.

\[-3<2,\quad -1<2,\quad 1<2,\quad 3>2\]

Odpowiedź

Do zbioru rozwiązań nie należy liczba 3 — odpowiedź D.

\[\boxed{\mathrm{D}:\ 3}\]

Sprawdzenie

Dla x=3 drugi czynnik wynosi −1, a pierwszy jest dodatni, więc iloczyn jest ujemny i nierówność nie zachodzi.

\[(3^4+1)(2-3)=82\cdot(-1)=-82<0\]

Zadanie 9

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=\sqrt{3}(x+1)-12\) jest liczba

\(\sqrt{3}-4\)

\(-2\sqrt{3}+1\)

\(4\sqrt{3}-1\)

\(-\sqrt{3}+12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsca zerowego

Miejsce zerowe spełnia równanie \(f(x)=0\). Ponieważ \(\sqrt{3}\neq 0\), dzielimy obie strony przez \(\sqrt{3}\) i usuwamy niewymierność z mianownika.

\[\sqrt{3}(x+1)-12=0\;\Longrightarrow\;x+1=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\;\Longrightarrow\;x=4\sqrt{3}-1\]

Odpowiedź

Miejscem zerowym jest liczba \(4\sqrt{3}-1\), czyli odpowiedź C.

\[x=4\sqrt{3}-1\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy zero.

\[f(4\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}-12=12-12=0\]

Zadanie 21

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa

\(\sqrt{10}\)

\(3\sqrt{10}\)

\(\sqrt{42}\)

\(3\sqrt{42}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Oznaczamy krawędź kwadratowej podstawy przez \(a>0\). Z treści wynika, że wysokość wynosi \(3a\).

\[h=3a\]

2 Obliczenie pola całkowitego

Pole całkowite to suma pól dwóch kwadratowych podstaw i czterech prostokątnych ścian bocznych.

\[140=2a^2+4a\cdot 3a=14a^2\]

3 Wyznaczenie krawędzi

Dzielimy równanie przez 14 i wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ długość krawędzi jest dodatnia.

\[a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Krawędź podstawy jest równa \(\sqrt{10}\). Odpowiedź A.

\[a=\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla \(a=\sqrt{10}\) wysokość wynosi \(3\sqrt{10}\), a pole całkowite jest równe 140, zgodnie z treścią zadania.

\[2(\sqrt{10})^2+4\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}=20+120=140\]

Zadanie 25

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31\), \(16\), \(25\), \(29\), \(27\), \(x\), jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa

\(26\)

\(27\)

\(28\)

\(29\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby x

Zapisujemy średnią sześciu liczb i przyrównujemy ją do podanej wartości.

\[\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad\frac{128+x}{6}=\frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad128+x=3x\quad\Longrightarrow\quad x=64\]

2 Wyznaczenie mediany

Porządkujemy liczby rosnąco. Przy sześciu liczbach mediana jest średnią trzeciej i czwartej.

\[16,25,27,29,31,64;\qquad \frac{27+29}{2}=28\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 28. Odpowiedź C.

\[\boxed{28}\]

Sprawdzenie

Dla x = 64 średnia wynosi 32, czyli tyle samo co x/2. Liczba 64 jest naturalna, a środkowe liczby w uporządkowanym ciągu to 27 i 29.

\[\frac{128+64}{6}=32=\frac{64}{2},\qquad\frac{27+29}{2}=28\]

Zadanie 2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa

\(30\)

\(31\)

\(5^{12}\)

\(5^{27}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik licznika jest wielokrotnością \(5^{12}\), więc można wyłączyć tę potęgę przed skróceniem ułamka.

\[\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=\frac{5^{12}(1+5+5^2)}{5^{12}}=1+5+25=31\]

Odpowiedź

Liczba jest równa 31. Odpowiedź B.

\[31\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy pierwotny licznik.

\[31\cdot 5^{12}=(1+5+25)5^{12}=5^{12}+5^{13}+5^{14}\]

Zadanie 6

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\(1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x\)

jest przedział

\((−\infty,−\frac{2}{3})\)

\((−\infty,\frac{2}{3})\)

\((−\frac{2}{3},+\infty)\)

\((\frac{2}{3},+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy

Dodajemy \(\frac{3}{2}x\) do obu stron i odejmujemy \(\frac{2}{3}\), aby oddzielić liczby od wyrazów z \(x\).

\[1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{1}{3}<\frac{1}{2}x\]

2 Wyznacz x

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{2}{3}<x\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: przedział \((\frac{2}{3},+\infty)\).

\[x\in\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) nierówność jest prawdziwa. Dla \(x=\frac{2}{3}\) obie strony są równe 0, więc koniec przedziału nie należy do zbioru rozwiązań.

\[x=1:\;-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3},\qquad x=\frac{2}{3}:\;0=0\]

Zadanie 20

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W rombie o boku długości \(6\sqrt{2}\) kąt rozwarty ma miarę \(150^\circ\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

\(24\)

\(72\)

\(36\)

\(36\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Pole rombu jest równe iloczynowi kwadratów długości boku i sinusa kąta między bokami.

\[P=(6\sqrt{2})^2\sin150^\circ=72\cdot\frac12=36\]

2 Wyznaczenie iloczynu przekątnych

Pole rombu jest też równe połowie iloczynu długości jego przekątnych, więc mnożymy pole przez 2.

\[P=\frac{d_1d_2}{2},\qquad d_1d_2=2\cdot36=72\]

Odpowiedź

B. Iloczyn długości przekątnych wynosi 72.

\[d_1d_2=72\]

Sprawdzenie

Kąt ostry rombu ma 30°. Obliczone z niego pole wynosi 36, tyle samo co połowa otrzymanego iloczynu przekątnych.

\[(6\sqrt{2})^2\sin30^\circ=72\cdot\frac12=36=\frac{72}{2}\]

Zadanie 25

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

\(15\sqrt{2}\)

\(45\)

\(5\sqrt{2}\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rzut przekątnej

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu o boku 15. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jej długość.

\[p=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}\]

2 Długość przekątnej graniastosłupa

Cosinus kąta nachylenia prostej do płaszczyzny jest stosunkiem długości rzutu do długości tej prostej. Stąd obliczamy przekątną d.

\[\frac{p}{d}=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad d=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{2}/3}=45\]

Odpowiedź

Długość przekątnej wynosi 45. Odpowiedź B.

\[d=45\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej długości stosunek przekątnej podstawy do przekątnej graniastosłupa jest równy podanemu cosinusowi kąta.

\[\frac{15\sqrt{2}}{45}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

Zadanie 1

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(100^5\cdot(0,1)^{-6}\) jest równa

\(10^{13}\)

\(10^{16}\)

\(10^{-1}\)

\(10^{-30}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie czynników jako potęg liczby 10

Ponieważ \(100=10^2\) oraz \(0{,}1=10^{-1}\), możemy zastosować wzór \((a^m)^n=a^{mn}\).

\[100^5\cdot(0{,}1)^{-6}=(10^2)^5\cdot(10^{-1})^{-6}=10^{10}\cdot10^6\]

2 Pomnożenie potęg

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[10^{10}\cdot10^6=10^{10+6}=10^{16}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[10^{16}\]

Sprawdzenie

Potęga liczby 100 daje wykładnik 10, a ujemny wykładnik przy liczbie 0,1 daje wykładnik 6. Ich suma wynosi 16, co zgadza się z odpowiedzią B.

\[5\cdot2+(-6)\cdot(-1)=10+6=16\]

Zadanie 13

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}\), \(a_2=2\sqrt{2}\), \(a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać

\(a_n=(\sqrt{2})^n\)

\(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

\(a_n=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\)

\(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\]

2 Wyznaczenie wzoru

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i przekształcamy go do postaci podanej w odpowiedziach.

\[a_n=a_1q^{n-1}=\sqrt{2}\cdot 2^{n-1}=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\]

Sprawdzenie

Dla n równego 1, 2 i 3 wzór daje odpowiednio trzy wyrazy podane w treści; obowiązuje dla n co najmniej 1.

\[a_1=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\quad a_2=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2},\quad a_3=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\]

Zadanie 18

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkt \(K=(2,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM|=|LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N=(4,3)\). Zatem

\(L=(5,3)\)

\(L=(6,4)\)

\(L=(3,5)\)

\(L=(4,6)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka podstawy

Ponieważ \(|KM|=|LM|\), odcinek \(KL\) jest podstawą trójkąta równoramiennego. Wysokość poprowadzona z wierzchołka \(M\) dzieli podstawę na połowy, więc \(N\) jest środkiem \(KL\).

\[N=\left(\frac{x_K+x_L}{2},\frac{y_K+y_L}{2}\right)\]

2 Obliczenie współrzędnych punktu L

Podstawiamy współrzędne punktów \(K\) i \(N\) do wzoru na środek odcinka.

\[4=\frac{2+x_L}{2}\Rightarrow x_L=6,\qquad 3=\frac{2+y_L}{2}\Rightarrow y_L=4\]

Odpowiedź

B. Punkt L ma współrzędne (6,4).

\[L=(6,4)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka o końcach K=(2,2) i L=(6,4) ma współrzędne (4,3), czyli jest punktem N.

\[\left(\frac{2+6}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(4,3)=N\]

Zadanie 31

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na sumę

Suma dwunastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa sześciokrotności sumy pierwszego i dwunastego wyrazu.

\[S_{12}=\frac{12(a_1+a_{12})}{2}=6(a_1+30)\]

2 Obliczenie pierwszego wyrazu

Podstawiamy podaną sumę i rozwiązujemy równanie.

\[162=6(a_1+30)\quad\Rightarrow\quad 27=a_1+30\quad\Rightarrow\quad a_1=-3\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz ciągu wynosi −3.

\[a_1=-3\]

Sprawdzenie

Dla pierwszego wyrazu −3 i dwunastego wyrazu 30 suma dwunastu wyrazów wynosi 162. Odpowiada im różnica ciągu równa 3.

\[\frac{12(-3+30)}{2}=162,\qquad -3+11\cdot3=30\]