Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 16 z 98

Sortuj:

Zadanie 30

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym czwarty wyraz jest o trzy różnice większy od pierwszego.

\[a_4=a_1+3r,\quad 8=-1+3r,\quad r=3\]

2 Obliczenie setnego wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego.

\[a_{100}=a_1+99r=-1+99\cdot3=296\]

3 Obliczenie sumy

Suma stu wyrazów jest równa połowie ich liczby pomnożonej przez sumę pierwszego i ostatniego wyrazu.

\[S_{100}=\frac{100(a_1+a_{100})}{2}=50(-1+296)=14750\]

Odpowiedź

Suma stu początkowych wyrazów wynosi 14750.

\[S_{100}=14750\]

Sprawdzenie

Wyznaczona różnica daje wymagany czwarty wyraz. Ponadto każda z 50 par wyrazów od początku i końca ciągu ma sumę 295, więc wynik sumowania się zgadza.

\[a_4=-1+3\cdot3=8,\quad 50\cdot(-1+296)=14750\]

Zadanie 8

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.

Układ współrzędnych z dwiema prostymi. Prosta rosnąca przecina oś y w punkcie 1, a prosta malejąca w punkcie 4. Proste przecinają się w punkcie (1, 2).

\(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równanie prostej rosnącej

Z wykresu odczytujemy punkty (0,1) i (1,2). Przy wzroście x o 1 wartość y rośnie o 1, więc współczynnik kierunkowy wynosi 1.

\[a=\frac{2-1}{1-0}=1,\qquad y=x+1\]

2 Równanie prostej malejącej

Ta prosta przechodzi przez punkty (0,4) i (1,2). Jej współczynnik kierunkowy wynosi −2.

\[a=\frac{2-4}{1-0}=-2,\qquad y=-2x+4\]

Odpowiedź

Układ A.

\[\boxed{\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}}\]

Sprawdzenie

Punkt przecięcia (1,2) spełnia oba równania.

\[2=1+1,\qquad 2=-2\cdot1+4\]

Zadanie 16

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) iloczyn \(\frac{\cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}\cdot\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\) jest równy

\(\sin\alpha\)

\(\operatorname{tg}\alpha\)

\(\cos\alpha\)

\(\sin^2\alpha\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby uprościć oba ułamki.

\[1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha,\qquad 1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\]

2 Skrócenie iloczynu

Dla kąta ostrego sinus i cosinus są dodatnie, więc możemy skrócić ułamki.

\[\frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha\]

Odpowiedź

B — tangens kąta α.

\[\operatorname{tg}\alpha\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego oba pierwotne mianowniki są dodatnie: pierwszy jest równy kwadratowi cosinusa, a drugi sinusowi. Skracanie jest więc dozwolone.

\[1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha>0,\qquad \sin\alpha>0\]

Zadanie 5

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1-x)>2(3x-1)-12x\) jest przedział

\(\left(-\frac{5}{3},+\infty\right)\)

\(\left(-\infty,\frac{5}{3}\right)\)

\(\left(\frac{5}{3},+\infty\right)\)

\(\left(-\infty,-\frac{5}{3}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń nawiasy

Rozwijamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne, aby uprościć nierówność.

\[3-3x>6x-2-12x\quad\Longrightarrow\quad 3-3x>-6x-2\]

2 Wyznacz x

Dodajemy \(6x\) i odejmujemy 3 po obu stronach. Następnie dzielimy przez dodatnie 3, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[3+3x>-2\quad\Longrightarrow\quad 3x>-5\quad\Longrightarrow\quad x>-\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \(\left(-\frac{5}{3},+\infty\right)\), czyli odpowiedź A.

\[x\in\left(-\frac{5}{3},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-\frac{5}{3}\) obie strony nierówności są równe 8, więc koniec przedziału jest wyłączony. Liczba \(x=0\) należy do otrzymanego przedziału i spełnia nierówność \(3>-2\).

\[3\left(1+\frac{5}{3}\right)=8=2\left(3\left(-\frac{5}{3}\right)-1\right)-12\left(-\frac{5}{3}\right)\]

Zadanie 7

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

Układ współrzędnych z osiami, grotami, podziałką i etykietami oraz fragmentem paraboli z zaznaczonym wierzchołkiem W=(2,1).

\(1\)

\(2\)

\(-2\)

\(-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych wierzchołka

Ponieważ punkt W=(2,1) należy do wykresu, mamy f(2)=1.

\[1=a(2-1)(2-3)=-a\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Mnożymy obie strony równania przez −1.

\[a=-1\]

Odpowiedź

Współczynnik a jest równy −1. Odpowiedź D.

\[a=-1\]

Sprawdzenie

Dla a=−1 funkcja ma miejsca zerowe 1 i 3, a f(2)=1. Zgadza się to z podanym wierzchołkiem i rysunkiem.

\[f(1)=0,\quad f(3)=0,\quad f(2)=-(2-1)(2-3)=1\]

Zadanie 24

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

\(96\)

\(24\sqrt{3}\)

\(192\)

\(16\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie krawędzi

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\). Podstawiamy podaną długość i dzielimy przez \(\sqrt{3}\).

\[a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a=4\]

2 Obliczenie pola

Sześcian ma sześć kwadratowych ścian o boku \(a\), więc sumujemy ich pola.

\[P=6a^2=6\cdot4^2=96\]

Odpowiedź

Pole powierzchni wynosi 96. Odpowiedź A.

\[P=96\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi 4 przekątna ma długość \(4\sqrt{3}\), zgodną z treścią zadania.

\[d=a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\]

Zadanie 8

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\)

nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x=0\quad\text{lub}\quad x^2-4=0\quad\text{lub}\quad x^2+4=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Drugie równanie daje dwa rozwiązania. Trzecie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.

\[x^2-4=0\iff x^2=4\iff x=-2\ \text{lub}\ x=2;\qquad x^2+4\geq 4>0\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste: −2, 0 i 2. Odpowiedź C.

\[x\in\{-2,0,2\}\]

Sprawdzenie

Dla każdej z liczb −2, 0 i 2 jeden z czynników iloczynu jest zerem. Są to wszystkie rozwiązania, bo czynnik x²+4 nigdy nie jest zerem dla liczby rzeczywistej, a pozostałe czynniki dają tylko te trzy liczby.

\[(-2)^2-4=0,\qquad 0=0,\qquad 2^2-4=0,\qquad x^2+4>0\ \text{dla}\ x\in\mathbb{R}\]

Zadanie 31

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są: wyraz \(a_1=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_3=33\). Oblicz różnicę \(a_{16}-a_{13}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy ciągu

Kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego różnią się o tę samą wartość \(d\), więc z podanej sumy obliczamy \(d\).

\[8+(8+d)+(8+2d)=33\;\Rightarrow\;24+3d=33\;\Rightarrow\;d=3\]

2 Obliczenie żądanej różnicy

Między trzynastym a szesnastym wyrazem są trzy odstępy, zatem ich różnica wynosi \(3d\).

\[a_{16}-a_{13}=3d=3\cdot 3=9\]

Odpowiedź

Różnica wynosi 9.

\[a_{16}-a_{13}=9\]

Sprawdzenie

Dla różnicy 3 trzy początkowe wyrazy to 8, 11 i 14; ich suma wynosi 33. Ponadto szesnasty wyraz to 53, a trzynasty 44, więc ich różnica wynosi 9.

\[8+11+14=33,\qquad a_{16}-a_{13}=53-44=9\]

Zadanie 20

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy

\(m=2\)

\(m=\frac{1}{2}\)

\(m=\frac{1}{3}\)

\(m=-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie warunków

Mianowniki muszą być różne od zera, więc wykluczamy wartości 1 i −1.

\[m-1\ne 0,\quad m+1\ne 0,\quad m\ne 1,\quad m\ne -1\]

2 Warunek prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych prostopadłych wynosi −1. Podstawiamy współczynniki z równań prostych.

\[\frac{2}{m-1}\cdot m=-1\quad\Longrightarrow\quad 2m=-(m-1)\quad\Longrightarrow\quad 3m=1\quad\Longrightarrow\quad m=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: m = 1/3.

\[m=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Wartość 1/3 spełnia warunki. Współczynniki kierunkowe wynoszą odpowiednio −3 i 1/3, a ich iloczyn jest równy −1.

\[\frac{2}{\frac{1}{3}-1}=-3,\qquad -3\cdot\frac{1}{3}=-1\]

Zadanie 26

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Objętość sześcianu jest równa \(729\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

\(9\sqrt{3}\)

\(9\sqrt{2}\)

\(3\sqrt{3}\)

\(3\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Objętość sześcianu o krawędzi a wynosi a³, więc wyznaczamy dodatnią długość krawędzi.

\[a^3=729=9^3,\quad a=9\]

2 Obliczenie przekątnej

Twierdzenie Pitagorasa zastosowane do trzech prostopadłych krawędzi daje kwadrat przekątnej równy sumie kwadratów ich długości.

\[d^2=a^2+a^2+a^2=3a^2,\quad d=a\sqrt{3}=9\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[d=9\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Krawędź 9 daje objętość 729, a kwadrat otrzymanej przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech krawędzi.

\[9^3=729,\quad (9\sqrt{3})^2=243=9^2+9^2+9^2\]

Zadanie 22

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trójkącie \(ABC\), wpisanym w okrąg o środku w punkcie \(S\), kąt \(ACB\) ma miarę \(42^\circ\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(BAS\) jest równa

Trójkąt ABC wpisany w okrąg o środku S. Przy wierzchołku C oznaczono kąt 42°. Z punktu A poprowadzono półprostą przez S, a kąt BAS zaznaczono kolorem.

\(42^\circ\)

\(45^\circ\)

\(48^\circ\)

\(69^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt środkowy

Kąt środkowy ASB i kąt wpisany ACB są oparte na tym samym łuku AB, więc kąt środkowy jest dwa razy większy.

\[\angle ASB=2\angle ACB=2\cdot42^\circ=84^\circ\]

2 Kąt przy podstawie

Odcinki SA i SB są promieniami okręgu, zatem trójkąt ASB jest równoramienny. Jego kąty przy A i B są równe.

\[\angle BAS=\frac{180^\circ-84^\circ}{2}=48^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta BAS wynosi 48°. Odpowiedź C.

\[\angle BAS=48^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie ASB kąty 48°, 48° i 84° sumują się do 180°, a otrzymany kąt BAS jest ostry.

\[48^\circ+48^\circ+84^\circ=180^\circ\]

Zadanie 30

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K = \{5, 6, 7, 8, 9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(K\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie wyniki

Losujemy dwukrotnie ze zwracaniem, więc za każdym razem mamy 5 możliwości. Kolejność losowania ma znaczenie.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Policz wyniki sprzyjające

Suma jest parzysta, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste. W zbiorze są 2 liczby parzyste i 3 nieparzyste.

\[|A|=2\cdot2+3\cdot3=4+9=13\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{13}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo otrzymania parzystej sumy wynosi 13/25.

\[P(A)=\frac{13}{25}\]

Sprawdzenie

Nieparzystą sumę dają pary liczb o różnej parzystości: jest ich 2·3+3·2=12. Razem z 13 parami o parzystej sumie daje to wszystkie 25 wyników.

\[13+(2\cdot3+3\cdot2)=25\]

Zadanie 7

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

\(3\)

\(2\)

\(\sqrt{3}\)

\(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż równanie na czynniki

Ponieważ \(\sqrt{3}\neq 0\), iloczyn jest równy zeru wtedy, gdy zeruje się jeden z pozostałych czynników.

\[x^2-2=0\quad\text{lub}\quad x+3=0\]

2 Wyznacz rozwiązania

Z pierwszego równania otrzymujemy dwa pierwiastki, a z drugiego jeden.

\[x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2},\qquad x+3=0\Rightarrow x=-3\]

Odpowiedź

Jednym z rozwiązań jest \(\sqrt{2}\), czyli odpowiedź D.

\[x=\sqrt{2}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(x=\sqrt{2}\) czynnik \(x^2-2\) jest równy zeru, więc całe wyrażenie także jest równe zeru.

\[\sqrt{3}\bigl((\sqrt{2})^2-2\bigr)(\sqrt{2}+3)=\sqrt{3}(2-2)(\sqrt{2}+3)=0\]

Zadanie 12.2

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([-4,1]\) jest równa

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, wspólny dla podzadań 12.1–12.3.

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości z wykresu

W przedziale od −4 do −3 funkcja przyjmuje wartość 2. Puste kółko przy x=−3 oznacza, że tego punktu nie wliczamy, ale wartość 2 jest osiągana dla innych argumentów.

\[f(x)=2\quad\text{dla }x\in[-4,-3)\]

2 Porównanie z pozostałą częścią przedziału

Od x=−3 do x=1 wykres jest rosnącym odcinkiem, więc jego największa wartość to 1, osiągana przy x=1. Porównujemy ją z wartością 2.

\[\max_{x\in[-3,1]}f(x)=f(1)=1<2\]

Odpowiedź

Największa wartość funkcji wynosi 2. Odpowiedź C.

\[\max_{x\in[-4,1]}f(x)=2\]

Sprawdzenie

Wartość 2 jest osiągana, na przykład dla x=−4. Punkt o wysokości 5 przy x=1 jest pusty, więc f(1)=1 i nie zwiększa maksimum.

\[f(-4)=2,\qquad f(1)=1\]

Zadanie 6

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}11x-11y=1\\22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb: \(x=x_0\), \(y=y_0\). Wtedy

\(x_0>0\) i \(y_0>0\)

\(x_0>0\) i \(y_0<0\)

\(x_0<0\) i \(y_0>0\)

\(x_0<0\) i \(y_0<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie układu

Dzielimy każde równanie przez współczynnik przy niewiadomych, aby łatwiej je dodać.

\[\begin{cases}x-y=\frac{1}{11}\\x+y=-\frac{1}{22}\end{cases}\]

2 Obliczenie niewiadomych

Po dodaniu równań znika \(y\). Następnie podstawiamy otrzymane \(x\) do drugiego równania.

\[2x=\frac{1}{11}-\frac{1}{22}=\frac{1}{22},\quad x=\frac{1}{44},\quad y=-\frac{1}{22}-\frac{1}{44}=-\frac{3}{44}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(x_0>0\) i \(y_0<0\).

\[(x_0,y_0)=\left(\frac{1}{44},-\frac{3}{44}\right)\]

Sprawdzenie

Podstawienie obu liczb daje prawe strony równań układu.

\[11\cdot\frac{1}{44}-11\cdot\left(-\frac{3}{44}\right)=1,\qquad 22\cdot\frac{1}{44}+22\cdot\left(-\frac{3}{44}\right)=-1\]