Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 11 z 28

Sortuj:

Zadanie 30.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

70%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 30, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa .......... .

Diagram słupkowy liczby uczniów według oceny: ocena 1 — 1 uczeń, 2 — 3, 3 — 4, 4 — 4, 5 — 5, 6 — 7. Oś pozioma: ocena; oś pionowa: liczba uczniów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środkowych pozycji

Ponieważ uczniów jest 24, mediana jest średnią ocen na pozycjach 12. i 13. po uporządkowaniu wyników.

\[\frac{24}{2}=12\]

2 Odczytanie ocen i obliczenie mediany

Oceny od 1 do 4 otrzymało łącznie 12 uczniów, więc 12. ocena to 4, a 13. ocena to 5.

\[1+3+4+4=12,\qquad \operatorname{Me}=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5\]

Odpowiedź

Mediana ocen jest równa 4,5.

\[\operatorname{Me}=4{,}5\]

Sprawdzenie

Suma liczebności wynosi 24. Pierwszych 12 uporządkowanych ocen nie przekracza 4, a kolejnych 5 ocen to 5, więc środkowe oceny to rzeczywiście 4 i 5.

\[1+3+4+4+5+7=24\]

Zadanie 30.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

70%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 30, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ………… .

Diagram słupkowy wyników sprawdzianu. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 8. Liczby uczniów dla kolejnych ocen: 1, 3, 4, 4, 5, 7.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie największej liczby uczniów

Z diagramu odczytujemy, że ocenę 6 otrzymało 7 uczniów. Żadnej innej oceny nie otrzymało więcej uczniów.

\[7>5,\quad 7>4,\quad 7>3,\quad 7>1\]

2 Wyznaczenie dominanty

Dominanta to ocena występująca najczęściej, więc jest nią 6.

\[D=6\]

Odpowiedź

W wykropkowanym miejscu należy wpisać 6.

\[6\]

Sprawdzenie

Liczby uczniów z diagramu sumują się do 24, zgodnie z treścią zadania. Największa liczba uczniów, 7, przypada na ocenę 6.

\[1+3+4+4+5+7=24\]

Zadanie 20

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\), \(|LM|=b\) oraz \(a\neq b\). Dwusieczna kąta \(KML\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) takim, że \(|KN|=c\), \(|NL|=d\) oraz \(|MN|=e\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie \(KLM\) prawdziwa jest równość

Trójkąt KLM z punktem N na boku KL i dwusieczną MN. Boki KM i LM oznaczono a i b, odcinki KN i NL oznaczono c i d, a odcinek MN oznaczono e.

\(a\cdot b=c\cdot d\)

\(a\cdot d=b\cdot c\)

\(a\cdot c=b\cdot d\)

\(a\cdot b=e\cdot e\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej

Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przyległych do tego kąta.

\[\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|},\qquad \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\]

2 Usunięcie mianowników

Długości boków są dodatnie, więc można pomnożyć obie strony przez \(bd\).

\[\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\quad\Longrightarrow\quad bc=ad\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(a\cdot d=b\cdot c\).

\[a\cdot d=b\cdot c\]

Sprawdzenie

Równość \(ad=bc\) daje \(c/d=a/b\), czyli dokładnie stosunek wynikający z twierdzenia o dwusiecznej. Ponieważ \(a\ne b\), otrzymujemy też \(c\ne d\), zgodnie z nierównym podziałem boku \(KL\).

\[ad=bc\ \Longleftrightarrow\ \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\quad(b,d>0)\]

Zadanie 25.1

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15\sqrt{3}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Rysunek graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego z krawędzią boczną oznaczoną liczbą 6.

\(36\sqrt{10}\)

\(60\)

\(6\sqrt{10}\)

\(360\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku podstawy

Podstawa składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(a\), więc jej pole wynosi \(\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\). Podstawiamy dane i obliczamy \(a\).

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=15\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]

2 Pole ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a\) i \(6\), zatem mnożymy ich długości.

\[P=a\cdot 6=6\sqrt{10}\]

Odpowiedź

C. Pole jednej ściany bocznej wynosi \(6\sqrt{10}\).

\[6\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla boku \(\sqrt{10}\) wzór na pole sześciokąta daje dokładnie podane pole podstawy.

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{10})^2=15\sqrt{3}\]

Zadanie 2

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}\) jest równa

\(-\frac{3}{2}\)

\(\frac{3}{2}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(-\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połączenie pierwiastków

Pierwiastki sześcienne można pomnożyć pod jednym pierwiastkiem, także dla liczb ujemnych.

\[\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot 2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}\]

2 Obliczenie pierwiastka

Liczby 27 i 8 są sześcianami odpowiednio 3 i 2.

\[\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(-\frac{3}{2}\).

\[-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Sześcian otrzymanej liczby jest równy liczbie pod pierwiastkiem, więc wynik jest poprawny.

\[\left(-\frac{3}{2}\right)^3=-\frac{27}{8}\]

Zadanie 6

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\leq\frac{2-x}{3}\) jest przedział

\(( -\infty,-4]\)

\(( -\infty,4]\)

\([-4,\infty)\)

\([4,\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 3, więc kierunek nierówności się nie zmienia.

\[-6(x+3)\leq 2-x\quad\Longrightarrow\quad -6x-18\leq 2-x\]

2 Wyznacz x

Przenosimy wyrazy, a następnie dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniając kierunek nierówności.

\[-5x\leq 20\quad\Longrightarrow\quad x\geq -4\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −4 włącznie do nieskończoności. Odpowiedź C.

\[[-4,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x = −4 obie strony nierówności są równe 2, więc koniec przedziału należy do zbioru rozwiązań. Dla x = −5 nierówność jest fałszywa.

\[x=-4:\quad -2(-4+3)=2=\frac{2-(-4)}{3};\qquad x=-5:\quad 4>\frac{7}{3}\]

Zadanie 17

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku \(S\). Punkt \(D\) jest punktem przecięcia cięciwy \(AC\) i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu \(B\). Miara kąta \(BSC\) jest równa \(\alpha\), a miara kąta \(ADB\) jest równa \(\gamma\) (zobacz rysunek).

Wtedy kąt \(ABD\) ma miarę

Okrąg o środku S z punktami A, B i C na okręgu oraz punktem D w miejscu przecięcia cięciwy AC ze średnicą poprowadzoną z B. Zaznaczono kąty α i γ.

\(\frac{\alpha}{2}+\gamma-180^\circ\)

\(180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\)

\(180^\circ-\alpha-\gamma\)

\(\alpha+\gamma-180^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy A

Ponieważ D leży na cięciwie AC, kąt BAD jest kątem wpisanym opartym na łuku BC. Ma więc połowę miary kąta środkowego BSC.

\[\angle BAD=\angle BAC=\frac{\alpha}{2}\]

2 Suma kątów trójkąta ABD

Odejmujemy od 180° miary dwóch znanych kątów trójkąta ABD.

\[\angle ABD=180^\circ-\angle BAD-\angle ADB=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\]

Odpowiedź

Kąt ABD ma miarę \(180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\). Odpowiedź B.

\[\boxed{\angle ABD=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma}\quad\text{B}\]

Sprawdzenie

Otrzymane trzy kąty trójkąta ABD sumują się do 180°, a na rysunku kąt ABD jest dodatni.

\[\frac{\alpha}{2}+\gamma+\left(180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\right)=180^\circ\]

Zadanie 14

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\).

Zatem

Okrąg z trójkątem ABC, średnicą CD, punktem E, odcinkami DE i EB oraz kątem DEB oznaczonym α.

\(\alpha=30^\circ\)

\(\alpha<30^\circ\)

\(\alpha>45^\circ\)

\(\alpha=45^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy D

Kąty wpisane CAB i CDB opierają się na tym samym łuku CB, więc mają równe miary. Trójkąt ABC jest równoboczny.

\[\angle CDB=\angle CAB=60^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta przy C

Kąt CBD opiera się na średnicy CD, więc jest prosty. Z sumy kątów trójkąta CBD obliczamy kąt DCB.

\[\angle DCB=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\]

3 Wyznaczenie kąta α

Kąty DEB i DCB opierają się na tym samym łuku DB, dlatego są równe.

\[\alpha=\angle DEB=\angle DCB=30^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: α = 30°.

\[\boxed{\alpha=30^\circ}\]

Sprawdzenie

W trójkącie CBD otrzymane kąty 30°, 90° i 60° sumują się do 180°. Punkty C i E leżą po tej samej stronie cięciwy DB, więc użyte kąty wpisane są równe.

\[30^\circ+90^\circ+60^\circ=180^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=-4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=\left(\frac{1}{2},0\right)\), gdy

\(a=-4\) i \(b=-2\)

\(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)

\(a=-4\) i \(b=2\)

\(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\).

\[a\cdot(-4)=-1\quad\Rightarrow\quad a=\frac14\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu \(P\) do równania prostej.

\[0=\frac14\cdot\frac12+b\quad\Rightarrow\quad b=-\frac18\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(a=\frac14\), \(b=-\frac18\).

\[y=\frac14x-\frac18\]

Sprawdzenie

Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \(-1\), a punkt \(P\) spełnia otrzymane równanie.

\[\frac14\cdot(-4)=-1,\qquad \frac14\cdot\frac12-\frac18=0\]

Zadanie 5

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{1-2x}{2}>\frac{1}{3}\) jest przedział

\(\left(-\infty,\frac{1}{6}\right)\)

\(\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\)

\(\left(\frac{1}{6},+\infty\right)\)

\(\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianowniki

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 6, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{1-2x}{2}>\frac13\iff 3(1-2x)>2\iff 3-6x>2\]

2 Wyznacz x

Odejmujemy 3, a następnie dzielimy przez liczbę ujemną, więc odwracamy znak nierówności.

\[-6x>-1\iff x<\frac16\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: przedział od minus nieskończoności do 1/6, bez końca 1/6.

\[x\in\left(-\infty,\frac16\right)\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 nierówność jest prawdziwa. Dla x = 1/6 obie strony są równe 1/3, więc ten punkt nie należy do zbioru rozwiązań.

\[x=0:\ \frac12>\frac13;\qquad x=\frac16:\ \frac{1-2x}{2}=\frac13\]

Zadanie 14

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość 3, a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość 8 (zobacz rysunek).

Wtedy miara \(\alpha\) kąta ostrego \(LKM\) tego trójkąta spełnia warunek

Trójkąt prostokątny KLM z kątem prostym przy M, bokiem LM oznaczonym 3, przeciwprostokątną KL oznaczoną 8 i kątem α przy K.

\(27^\circ<\alpha\leq 30^\circ\)

\(24^\circ<\alpha\leq 27^\circ\)

\(21^\circ<\alpha\leq 24^\circ\)

\(18^\circ<\alpha\leq 21^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Bok LM leży naprzeciw kąta α, a KL jest przeciwprostokątną, więc korzystamy z definicji sinusa.

\[\sin\alpha=\frac{LM}{KL}=\frac{3}{8}=0{,}375\]

2 Wyznaczenie przedziału

Obliczamy miarę kąta ostrego o takim sinusie i porównujemy ją z przedziałami w odpowiedziach.

\[\alpha=\arcsin\left(\frac{3}{8}\right)\approx22{,}02^\circ,\qquad 21^\circ<\alpha\leq24^\circ\]

Odpowiedź

C. Miara kąta α należy do przedziału (21°, 24°].

\[\boxed{\mathrm{C}:\ 21^\circ<\alpha\leq24^\circ}\]

Sprawdzenie

Sinus rośnie dla kątów ostrych. Ponieważ sin 21° ≈ 0,3584 < 0,375 < 0,4067 ≈ sin 24°, wybrany przedział jest poprawny.

\[\sin21^\circ\approx0{,}3584<\frac38<0{,}4067\approx\sin24^\circ\]

Zadanie 5

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x<-2\), jest

\(1\)

\(-1\)

\(2\)

\(-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie liczby 2

Sprawdzamy odpowiedź C, obliczając lewą stronę nierówności dla x=2.

\[-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26\]

2 Porównanie stron

Otrzymana wartość jest mniejsza od −2, więc liczba 2 spełnia nierówność.

\[-26<-2\]

Odpowiedź

Liczba 2, odpowiedź C.

\[x=2\]

Sprawdzenie

Dla pozostałych odpowiedzi lewa strona wynosi odpowiednio −1, 1 i 26. Żadna z tych wartości nie jest mniejsza od −2.

\[x=1:\ -1;\quad x=-1:\ 1;\quad x=-2:\ 26\]

Zadanie 12

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ile liczb całkowitych \(x\) spełnia nierówność \(\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\)?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Mnożymy nierówność przez dodatnie 14, więc jej zwroty się nie zmieniają.

\[\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad 4<x<\frac{56}{3}\]

2 Policz liczby całkowite

Ponieważ \(\frac{56}{3}=18\frac{2}{3}\), najmniejszą możliwą liczbą jest 5, a największą 18.

\[x\in\{5,6,\ldots,18\},\qquad 18-5+1=14\]

Odpowiedź

Nierówność spełnia 14 liczb całkowitych. Odpowiedź A.

\[14\]

Sprawdzenie

Liczba 4 nie spełnia ostrej dolnej nierówności, a 19 przekracza górną granicę. Zatem wszystkie i tylko liczby od 5 do 18 są rozwiązaniami.

\[4\not>4,\qquad 18<\frac{56}{3}<19\]

Zadanie 14

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Tangens kąta \(\alpha\) zaznaczonego na rysunku jest równy

Układ współrzędnych z osiami x i y, prostą przechodzącą przez początek układu i punkt P=(-4,5) oraz kątem α zaznaczonym przy początku układu.

\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(-\frac{4}{5}\)

\(-1\)

\(-\frac{5}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie współrzędnych

Ramię kąta α przechodzi przez początek układu i punkt P=(-4,5), więc jego przesunięcie poziome wynosi -4, a pionowe 5.

\[\Delta x=-4,\qquad \Delta y=5\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens kąta między dodatnią półosią x a tym ramieniem jest ilorazem przesunięcia pionowego i poziomego.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{5}{4}\]

Sprawdzenie

Kąt α jest rozwarty, więc jego tangens powinien być ujemny. Otrzymany wynik jest ujemny i odpowiada punktowi P=(-4,5).

\[-4\cdot\left(-\frac{5}{4}\right)=5\]

Zadanie 24

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są punkty \(K=(-3,-7)\) oraz \(S=(5,3)\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(KL\). Wtedy punkt \(L\) ma współrzędne

\((13,10)\)

\((13,13)\)

\((1,-2)\)

\((7,-1)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na środek odcinka

Współrzędna środka jest średnią odpowiednich współrzędnych końców odcinka, więc oznaczamy szukany punkt przez \(L=(x,y)\).

\[5=\frac{-3+x}{2},\qquad 3=\frac{-7+y}{2}\]

2 Obliczenie współrzędnych punktu L

Mnożymy obie równości przez 2 i wyznaczamy niewiadome.

\[x=2\cdot5+3=13,\qquad y=2\cdot3+7=13\]

Odpowiedź

Punkt L ma współrzędne \((13,13)\). Odpowiedź B.

\[L=(13,13)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka o końcach \(K=(-3,-7)\) i \(L=(13,13)\) ma współrzędne \((5,3)\), zgodnie z treścią zadania.

\[\left(\frac{-3+13}{2},\frac{-7+13}{2}\right)=(5,3)=S\]