Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 7 z 70

Sortuj:

Zadanie 20

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: \(k\), \(l\), \(m\) oraz \(n\). Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe. Prosta \(m\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(A\) oraz \(C\). Prosta \(n\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(D\) oraz \(B\). Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\). Ponadto \(|OA|=12\), \(|OB|=6\) oraz \(|OC|=8\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek \(OD\) ma długość

Dwie równoległe proste k i l przecięte prostymi m i n. Punkty A i D leżą na k, punkty C i B na l, a O jest punktem przecięcia odcinków AC i BD. Na rysunku oznaczono OA jako 12, OB jako 6 i OC jako 8.

\(4\)

\(9\)

\(10\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, a kąty przy O są wierzchołkowe, trójkąty AOD i COB są podobne. Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

\[\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{|OD|}{|OB|}\]

2 Obliczenie długości

Podstawiamy podane długości i mnożymy obie strony równania przez 6.

\[\frac{12}{8}=\frac{|OD|}{6}\quad\Rightarrow\quad |OD|=\frac{12\cdot6}{8}=9\]

Odpowiedź

Odcinek OD ma długość 9. Odpowiedź B.

\[|OD|=9\]

Sprawdzenie

Stosunki odpowiadających sobie boków są równe: 12 do 8 oraz 9 do 6 wynoszą 3 do 2.

\[\frac{12}{8}=\frac{9}{6}=\frac32\]

Zadanie 21

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\) oraz \(|LM|=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\frac{a}{b}\).

Trójkąt KLM z dwusieczną kąta LMK przecinającą bok KL w punkcie N. Bok KM oznaczono a, bok LM oznaczono b; przy wierzchołku M zaznaczono równe kąty.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie równych kątów

Odcinek MN jest dwusieczną kąta przy wierzchołku M, więc oba powstałe kąty mają tę samą miarę.

\[\angle KMN=\angle NML=\alpha\]

2 Obliczenie stosunku pól

Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi. W obu polach występują ten sam bok MN i ten sam sinus kąta, więc te czynniki się skracają.

\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac12\,a\cdot |MN|\sin\alpha}{\frac12\,b\cdot |MN|\sin\alpha}=\frac{a}{b}\]

Odpowiedź

Stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM wynosi \(\frac{a}{b}\).

\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}\]

Sprawdzenie

W trójkącie niedegenerowanym \(|MN|>0\) i \(\sin\alpha>0\), więc skrócenie wspólnych czynników jest poprawne.

\[\frac12|MN|\sin\alpha>0\]

Zadanie 22

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Planimetria

W okrąg \(O\) o promieniu \(9\sqrt{3}\) wpisano trójkąt równoboczny \(T\).

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta \(T\) ma długość ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Związek promienia z bokiem

Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym dzieli jego wysokość w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Wysokość trójkąta o boku a wynosi \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

\[R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]

2 Obliczenie boku

Podstawiamy podany promień i rozwiązujemy równanie względem a.

\[9\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad a=27\]

Odpowiedź

Bok trójkąta T ma długość 27.

\[a=27\]

Sprawdzenie

Dla boku 27 promień okręgu opisanego wynosi \(9\sqrt{3}\), zgodnie z treścią zadania.

\[R=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}\]

Zadanie 23

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

\(\frac{5}{8}\)

\(\frac{8}{3}\)

\(\frac{32}{5}\)

\(\frac{20}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie równania

Mnożymy obie strony przez \(4\cos\alpha\), a następnie przenosimy wyraz z cosinusem na prawą stronę.

\[3\sin\alpha+4\cos\alpha=24\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad 3\sin\alpha=20\cos\alpha\]

2 Obliczenie tangensa

Kąt jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\). Dzielimy przez \(3\cos\alpha\) i korzystamy z definicji tangensa.

\[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20}{3}\]

Odpowiedź

D. Tangens kąta α jest równy 20/3.

\[\tan\alpha=\frac{20}{3}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego o tangensie 20/3 mamy sinus 20/√409 i cosinus 3/√409. Po podstawieniu do warunku otrzymujemy 6.

\[\frac{3\cdot\frac{20}{\sqrt{409}}+4\cdot\frac{3}{\sqrt{409}}}{4\cdot\frac{3}{\sqrt{409}}}=\frac{72}{12}=6\]

Zadanie 24.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,-3)\), \(B=(2,1)\) oraz \(C=(0,2)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

\(3\)

\(5\)

\(6\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość podstawy

Punkty A i C mają tę samą współrzędną x, więc odcinek AC jest pionowy. Jego długość to różnica współrzędnych y.

\[|AC|=|2-(-3)|=5\]

2 Wysokość i pole

Wysokością opuszczoną z B na prostą AC jest odległość pozioma od tej prostej, równa 2. Stosujemy wzór na pole trójkąta.

\[h=|2-0|=2,\qquad P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5\]

Odpowiedź

B. Pole trójkąta ABC wynosi 5 jednostek kwadratowych.

\[P=5\]

Sprawdzenie

Wyznacznik wektorów AB=(2,4) i AC=(0,5) ma wartość 10, więc połowa jego wartości bezwzględnej daje ponownie pole 5.

\[P=\frac{1}{2}|2\cdot 5-4\cdot 0|=5\]

Zadanie 24.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,-3)\), \(B=(2,1)\) oraz \(C=(0,2)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Środek okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) ma współrzędne

\(\left(\frac{2}{3},0\right)\)

\(\left(-\frac{1}{2},0\right)\)

\(\left(0,-\frac{2}{3}\right)\)

\(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przeciwprostokątnej

Iloczyn skalarny wektorów wychodzących z punktu B jest równy zeru, więc kąt przy B jest prosty, a przeciwprostokątną jest AC.

\[\overrightarrow{BA}=(-2,-4),\quad \overrightarrow{BC}=(-2,1),\quad (-2)(-2)+(-4)\cdot1=0\]

2 Wyznaczenie środka okręgu

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej. Obliczamy więc środek odcinka AC.

\[S=\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: środek okręgu ma współrzędne (0, −1/2).

\[S=\left(0,-\frac12\right)\]

Sprawdzenie

Punkt S jest jednakowo odległy od wszystkich trzech wierzchołków: kwadraty odległości wynoszą 25/4.

\[SA^2=SC^2=\left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4},\qquad SB^2=2^2+\left(\frac32\right)^2=\frac{25}{4}\]

Zadanie 25

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S=(1,-3)\) i o promieniu \(5\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Punkt \(A=(4,-7)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\).	P	F
Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem \((x-1)^2+(y+3)^2=5\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie położenia punktu A

Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi.

\[|SA|=\sqrt{(4-1)^2+(-7-(-3))^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\]

2 Wyznaczenie równania okręgu

W równaniu okręgu prawa strona jest kwadratem promienia, więc wynosi 25, a nie 5.

\[(x-1)^2+(y+3)^2=5^2=25\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnych punktu A do poprawnego równania otrzymujemy 25. W równaniu podanym w drugim stwierdzeniu prawa strona wynosi 5, więc nie opisuje ono tego okręgu.

\[(4-1)^2+(-7+3)^2=9+16=25\]

Zadanie 26

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \((2,-2)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie

\((0,-3)\)

\(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)

\((0,-1)\)

\(\left(0,-\frac{4}{3}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Podstawiamy współrzędne punktu (2,−2), aby obliczyć wyraz wolny.

\[y=-\frac{1}{3}x+b,\qquad -2=-\frac{1}{3}\cdot2+b,\qquad b=-\frac{4}{3}\]

2 Przecięcie z osią Oy

Każdy punkt osi Oy ma pierwszą współrzędną równą zero, więc podstawiamy x=0.

\[y=-\frac{1}{3}\cdot0-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Prosta l przecina oś Oy w punkcie (0,−4/3). Odpowiedź D.

\[D:\ \left(0,-\frac{4}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Dla x=2 równanie prostej l daje y=−2, więc prosta przechodzi przez podany punkt. Jej współczynnik kierunkowy wynosi −1/3, tak samo jak prostej k.

\[-\frac{1}{3}\cdot2-\frac{4}{3}=-2\]

Zadanie 27

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość \(8\sqrt{3}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\).

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

W ostrosłupie prawidłowym wysokość pada na środek podstawy. Rzut krawędzi bocznej na podstawę ma długość równą połowie przekątnej kwadratu, więc korzystamy z tangensa kąta nachylenia.

\[h=\frac{8\sqrt{3}}{2}\cdot\tan 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=4\]

2 Obliczenie pola podstawy

Pole kwadratu o przekątnej d wynosi \(\frac{d^2}{2}\).

\[P_p=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2}=96\]

3 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac{1}{3}P_ph=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4=128\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi 128 jednostek sześciennych.

\[V=128\]

Sprawdzenie

Wysokość jest dodatnia, a stosunek wysokości do połowy przekątnej podstawy daje wymagany kąt 30°.

\[\tan 30^\circ=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

Zadanie 28

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

\(\frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie objętości

Oznaczamy promień walca przez r, a wspólną wysokość przez h. Promień stożka wynosi 2r, więc podstawiamy te wielkości do wzorów na objętość.

\[r>0,\quad h>0,\quad V_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi(2r)^2h=\frac{4}{3}\pi r^2h,\quad V_{\text{walca}}=\pi r^2h\]

2 Obliczenie stosunku

Dzielimy objętość stożka przez objętość walca i skracamy dodatni czynnik \(\pi r^2h\).

\[\frac{V_{\text{stożka}}}{V_{\text{walca}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^2h}{\pi r^2h}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Stosunek wynosi \(\frac{4}{3}\). Odpowiedź D.

\[\frac{V_{\text{stożka}}}{V_{\text{walca}}}=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Dla promienia walca 1 i wspólnej wysokości 3 promień stożka wynosi 2. Objętości są wtedy równe odpowiednio \(3\pi\) i \(4\pi\), więc ich stosunek to \(\frac{4}{3}\).

\[V_{\text{walca}}=\pi\cdot1^2\cdot3=3\pi,\quad V_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi\cdot2^2\cdot3=4\pi,\quad \frac{4\pi}{3\pi}=\frac{4}{3}\]

Zadanie 29

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 555), jest

\(6\cdot 7\cdot 3\)

\(6\cdot 7\cdot 7\)

\(7\cdot 7\cdot 3\)

\(7\cdot 7\cdot 7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Cyfra setek nie może być zerem, cyfra dziesiątek może być dowolną z podanych, a cyfra jedności musi być nieparzysta.

\[6\text{ możliwości dla setek},\quad 7\text{ dla dziesiątek},\quad 3\text{ dla jedności }(1,3,5)\]

2 Obliczenie liczby liczb

Wybory cyfr są niezależne, więc mnożymy liczby możliwości.

\[6\cdot 7\cdot 3=126\]

Odpowiedź

Jest 126 takich liczb. Odpowiedź A.

\[6\cdot 7\cdot 3=126\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech możliwych cyfr jedności jest 6 · 7 = 42 liczb trzycyfrowych. Łącznie daje to 3 · 42 = 126.

\[3\cdot(6\cdot 7)=126\]

Zadanie 30

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dane są dwa zbiory cyfr: \(X=\{1,3,5,7,9\}\) oraz \(Y=\{0,2,4,6,8\}\). Losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(Y\). Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru \(X\) jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru \(Y\) jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez \(6\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każdą z 5 cyfr dziesiątek można połączyć z każdą z 5 cyfr jedności. Wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Warunek podzielności przez 6

Liczba jest podzielna przez 6, gdy jest podzielna przez 2 i przez 3. Cyfra jedności zawsze pochodzi ze zbioru cyfr parzystych, więc wystarczy sprawdzić sumę cyfr.

\[6\mid(10x+y)\iff 3\mid(x+y)\]

3 Policzenie wyników sprzyjających

Dobieramy cyfry tak, aby ich suma była podzielna przez 3. Dla cyfr dziesiątek 1 i 7 są po 2 możliwości, dla 3 i 9 po 2, a dla 5 jedna.

\[|A|=2\cdot2+2\cdot2+1\cdot1=9\]

4 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{9}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 9/25.

\[P(A)=\frac{9}{25}\]

Sprawdzenie

Otrzymujemy dokładnie 9 liczb podzielnych przez 6: 12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90 i 96. Każda ma dozwolone cyfry i jest wielokrotnością 6.

\[12,18,30,36,54,72,78,90,96\]

Zadanie 31

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas. Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F

Diagram słupkowy wyników klasy IV A. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 7. Liczby uczniów dla ocen 1–6: 1, 6, 3, 3, 6, 1.

Diagram słupkowy wyników klasy IV B. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 7. Liczby uczniów dla ocen 1–6: 1, 3, 6, 6, 3, 1.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt liczby ocen

Z diagramów odczytujemy liczby uczniów dla kolejnych ocen od 1 do 6. W każdej klasie jest 20 uczniów.

\[A:(1,6,3,3,6,1),\quad B:(1,3,6,6,3,1),\quad n_A=n_B=20\]

2 Obliczenie średnich

Mnożymy każdą ocenę przez liczbę uczniów, którzy ją otrzymali, a sumę dzielimy przez 20. W obu klasach suma ocen wynosi 70.

\[\overline{x}_A=\frac{1+2\cdot6+3\cdot3+4\cdot3+5\cdot6+6}{20}=\frac{70}{20}=3{,}5,\quad \overline{x}_B=\frac{1+2\cdot3+3\cdot6+4\cdot6+5\cdot3+6}{20}=\frac{70}{20}=3{,}5\]

3 Wyznaczenie median

Przy 20 ocenach mediana jest średnią ocen na miejscach 10. i 11. W klasie IV A oceny 3 zajmują miejsca 8–10, a w IV B miejsca 5–10. W obu klasach na miejscu 11. jest ocena 4.

\[M_A=M_B=\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.

\[\overline{x}_A=\overline{x}_B=3{,}5,\qquad M_A=M_B=3{,}5\]

Sprawdzenie

Liczebności obu klas wynoszą 20. W każdej klasie liczby ocen 1 i 6, 2 i 5 oraz 3 i 4 są równe, więc średnia każdej takiej pary wynosi 3,5. Po uporządkowaniu ocen środkowe miejsca zajmują 3 i 4, co potwierdza obie mediany.

\[\frac{1+6}{2}=\frac{2+5}{2}=\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Zadanie 32

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,\ b,\ c\), jest równa \(2\). Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(d,\ e,\ f,\ g\), jest równa \(5{,}5\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g\), jest równa

\(3{,}5\)

\(3{,}75\)

\(4\)

\(4{,}25\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sum

Mnożymy każdą średnią przez liczbę składników, aby otrzymać sumę liczb w danej grupie.

\[a+b+c=3\cdot2=6,\qquad d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22\]

2 Średnia siedmiu liczb

Dodajemy obie sumy i dzielimy wynik przez 7.

\[\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7}=\frac{6+22}{7}=4\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 4. Odpowiedź C.

\[4\]

Sprawdzenie

Siedem liczb o średniej 4 ma sumę 28; tyle samo wynosi suma obu danych grup: 6+22=28.

\[7\cdot4=28=6+22\]

Zadanie 33.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W chwili \(t=0\) z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość \(h\), na której znajduje się piłeczka w danej chwili \(t\), jest określona wzorem

\[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\]

gdzie:

czas \(t\) jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od \(0\) do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość \(h\) jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

\(t=1{,}5\ \mathrm{s}\)

\(t=2\ \mathrm{s}\)

\(t=2{,}5\ \mathrm{s}\)

\(t=3\ \mathrm{s}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie chwil na poziomie ziemi

Piłeczka jest na poziomie ziemi, gdy jej wysokość wynosi zero. Wyłączamy wspólny czynnik, aby rozwiązać równanie.

\[-4{,}9t^2+14{,}7t=0\iff -4{,}9t(t-3)=0\iff t=0\ \text{lub}\ t=3\]

2 Wybór chwili uderzenia

Chwila 0 s oznacza wyrzut piłeczki. Pierwsze późniejsze zetknięcie z ziemią następuje po 3 s.

\[t=3\ \mathrm{s}\]

Odpowiedź

D. Piłeczka uderzy w ziemię po raz pierwszy po 3 s.

\[t=3\ \mathrm{s}\]

Sprawdzenie

Dla 3 s wysokość wynosi 0 m. Dla każdej chwili między 0 s a 3 s wysokość jest dodatnia, więc wcześniej piłeczka nie uderza w ziemię.

\[h(3)=-4{,}9\cdot 3^2+14{,}7\cdot 3=0\ \mathrm{m},\qquad h(t)=4{,}9t(3-t)>0\ \text{dla}\ 0<t<3\]