Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 4 z 28

Sortuj:

Zadanie 22

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

82%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa

\(27\pi\sqrt{3}\)

\(9\pi\sqrt{3}\)

\(18\pi\)

\(6\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Podstawa przekroju osiowego jest średnicą podstawy stożka. Wysokość stożka jest wysokością trójkąta równobocznego.

\[2r=6\Rightarrow r=3,\qquad h=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy wyznaczone wymiary do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 3\sqrt{3}=9\pi\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[V=9\pi\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Promień 3 daje średnicę 6, a wysokość przekroju spełnia twierdzenie Pitagorasa dla połowy trójkąta równobocznego.

\[3^2+(3\sqrt{3})^2=9+27=36=6^2\]

Zadanie 18.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(AB\) ma długość \(6\), a środkowa \(CD\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD oraz oznaczeniami kątów alfa przy D i beta przy B. Na rysunku podano długości CD równe 5 i AB równe 6.

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości AD

Ponieważ CD jest środkową trójkąta ABC, punkt D jest środkiem boku AB.

\[AD=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\]

2 Obliczenie przyprostokątnej AC

Trójkąt ACD jest prostokątny w A, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC^2=CD^2-AD^2=5^2-3^2=16,\quad AC=4\]

3 Obliczenie tangensa

W trójkącie ACD bok AC leży naprzeciw kąta α, a AD jest przy nim.

\[\tan\alpha=\frac{AC}{AD}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi 4/3. Odpowiedź D.

\[\tan\alpha=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Długości 3, 4 i 5 spełniają twierdzenie Pitagorasa, a AD + DB = 3 + 3 = 6, zgodnie z danymi.

\[3^2+4^2=5^2,\qquad 3+3=6\]

Zadanie 19

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Miara kąta \(BCA\) jest równa \(50^\circ\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(ABO\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C na okręgu. Zaznaczono kąt BCA równy 50° oraz kąt ABO.

\(20^\circ\)

\(35^\circ\)

\(40^\circ\)

\(50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy AOB oparty na tym samym łuku AB ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego BCA.

\[\angle AOB=2\angle BCA=2\cdot50^\circ=100^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta ABO

Promienie OA i OB są równe, więc trójkąt AOB jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie AB mają równe miary.

\[\angle ABO=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ABO ma miarę 40°, więc poprawna odpowiedź to C.

\[\angle ABO=40^\circ\quad\text{(C)}\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta AOB sumują się do 180°, a połowa kąta środkowego 100° daje podany kąt wpisany 50°.

\[40^\circ+40^\circ+100^\circ=180^\circ,\qquad\frac{100^\circ}{2}=50^\circ\]

Zadanie 28

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0\), \(5\), \(7\) (np. \(57\ 075\), \(55\ 555\)), jest

\(5^3\)

\(2\cdot4^3\)

\(2\cdot3^4\)

\(3^5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrą jest 5 albo 7.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z czterech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 0, 5 albo 7. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich zapisów.

\[2\cdot 3^4=2\cdot 81=162\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C, czyli 162 liczby.

\[2\cdot 3^4=162\]

Sprawdzenie

Spośród wszystkich zapisów z pięciu dozwolonych cyfr odjęcie tych, które zaczynają się od zera, daje ten sam wynik.

\[3^5-3^4=243-81=162\]

Zadanie 25

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pudełku jest \(40\) kul. Wśród nich jest \(35\) kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe

\(\frac{1}{8}\)

\(\frac{1}{5}\)

\(\frac{1}{40}\)

\(\frac{1}{35}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba kul czerwonych

Odejmujemy liczbę kul białych od liczby wszystkich kul.

\[40-35=5\]

2 Prawdopodobieństwo

Przy jednakowych szansach wylosowania każdej kuli dzielimy liczbę kul czerwonych przez liczbę wszystkich kul.

\[P(\text{czerwona})=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{1}{8}\]

Sprawdzenie

Prawdopodobieństwa wylosowania kuli białej i czerwonej sumują się do 1.

\[\frac{35}{40}+\frac{5}{40}=1\]

Zadanie 10

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Informacja do zadań 10. i 11.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Wykres paraboli skierowanej ramionami w dół w układzie współrzędnych, z widocznymi osiami, grotami, etykietami i siatką.

\(( -\infty,-2\rangle\)

\(\langle-2,4\rangle\)

\(\langle4,+\infty)\)

\(( -\infty,9\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wartości największej

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc wierzchołek W=(1,9) wyznacza największą wartość funkcji.

\[f(1)=9\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Funkcja przyjmuje wartość 9, a jej wartości maleją bez ograniczenia. Zatem należą do zbioru wszystkie liczby nie większe od 9.

\[y\leq 9\quad\Longrightarrow\quad W_f=(-\infty,9\rangle\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości jest przedział od minus nieskończoności do 9 włącznie. Odpowiedź D.

\[W_f=(-\infty,9\rangle\]

Sprawdzenie

Wierzchołek daje wartość 9, a miejsca zerowe −2 i 4 potwierdzają, że funkcja przyjmuje także wartości mniejsze od 9.

\[f(-2)=f(4)=0<9\]

Zadanie 17

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}\). Wtedy

\(\sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{26}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{13}}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boków trójkąta

Tangens kąta ostrego jest stosunkiem przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie. Możemy więc przyjąć, że mają one długości 2 i 3.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}\]

2 Obliczenie przeciwprostokątnej

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć długość potrzebną do wyznaczenia sinusa.

\[c=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\]

3 Obliczenie sinusa

Sinus to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.

\[\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\sin\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Sprawdzenie

Dla tego samego trójkąta cosinus wynosi 3 podzielone przez pierwiastek z 13, więc iloraz sinusa i cosinusa daje wymagany tangens. Sinus jest dodatni, zgodnie z tym, że kąt jest ostry.

\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2/\sqrt{13}}{3/\sqrt{13}}=\frac{2}{3}\]

Zadanie 25.2

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowe odcinki łączą górny tylny lewy wierzchołek z dolnym przednim prawym oraz dolny lewy skrajny wierzchołek z dolnym przednim prawym. Przy dolnym przednim prawym wierzchołku zaznaczono kąt.

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowe odcinki łączą górny prawy skrajny wierzchołek z dolnym przednim lewym oraz dolny przedni lewy wierzchołek z dolnym prawym skrajnym. Przy dolnym przednim lewym wierzchołku zaznaczono kąt.

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowy odcinek łączy górny tylny lewy wierzchołek z dolnym przednim prawym. Przy dolnym przednim prawym wierzchołku zaznaczono kąt między tym odcinkiem a przednią krawędzią podstawy.

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowe odcinki łączą górny tylny prawy wierzchołek z dolnym przednim lewym oraz dolny przedni lewy wierzchołek z dolnym tylnym prawym. Przy dolnym przednim lewym wierzchołku zaznaczono kąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór przekątnej

Najdłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołek górnej podstawy z wierzchołkiem dolnej podstawy leżącym naprzeciwko jego rzutu. Jej rzutem na podstawę jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego.

\[d_{\text{rzutu}}=2a\]

2 Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny jest kątem między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Na rysunku D oba ramiona kąta są zaznaczone w ten sposób.

\[\alpha=\angle(\text{przekątna graniastosłupa},\text{jej rzut na podstawę})\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D górny koniec fioletowej przekątnej rzutuje się pionowo na dolny tylny prawy wierzchołek. Łączący go z dolnym przednim lewym wierzchołkiem fioletowy odcinek jest najdłuższą przekątną podstawy, więc zaznaczony kąt jest właściwy.

Zadanie 11

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Informacja do zadań 11.–13.

W układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór

Wykres funkcji y=f(x): odcinek poziomy od punktu pełnego (-6,2) do pustego (-3,2); odcinek rosnący od (-3,-3) do (1,1), oba końce pełne; odcinek poziomy od punktu pustego (1,5) do (2,5), następnie odcinek malejący do punktu pełnego (5,3).

\(\langle-6,5\rangle\)

\((-6,5)\)

\((-3,5\rangle\)

\(\langle-3,5\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziałów

Dziedzina obejmuje wartości x, dla których na wykresie leży punkt funkcji. Pełne kółko oznacza, że koniec odcinka należy do dziedziny, a puste — że nie należy do tego odcinka.

\[D_1=[-6,-3),\quad D_2=[-3,1],\quad D_3=(1,5]\]

2 Połączenie przedziałów

Wartości x=-3 i x=1 należą do sąsiednich odcinków, więc między najmniejszą a największą wartością x nie ma przerwy.

\[D_f=[-6,-3)\cup[-3,1]\cup(1,5]=[-6,5]\]

Odpowiedź

Dziedziną jest przedział od -6 do 5 wraz z końcami. Odpowiedź A.

\[D_f=\langle-6,5\rangle\]

Sprawdzenie

Na wykresie są pełne punkty dla x=-6 oraz x=5. Każda wartość x pomiędzy nimi występuje na co najmniej jednym odcinku wykresu.

\[-6\in D_f,\quad 5\in D_f,\quad D_f=\langle-6,5\rangle\]

Zadanie 15

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

\(28\)

\(29\)

\(33\)

\(40\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sąsiednich wyrazów

W ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o tę samą wartość r, więc trzeci i piąty wyraz leżą o r od czwartego.

\[a_3=a_4-r,\qquad a_5=a_4+r\]

2 Obliczenie czwartego wyrazu

Po dodaniu tych wyrazów różnice się znoszą.

\[58=a_3+a_5=(a_4-r)+(a_4+r)=2a_4,\qquad a_4=29\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz wynosi 29. Odpowiedź B.

\[a_4=29\]

Sprawdzenie

Dla dowolnej różnicy r suma wyrazów sąsiadujących z 29 wynosi 58, więc warunek zadania jest spełniony.

\[(29-r)+(29+r)=58\]

Zadanie 14

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2\) dla \(n\geq 1\). Różnica \(a_5-a_4\) jest równa

\(4\)

\(20\)

\(36\)

\(18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wyrazów

Podstawiamy numery wyrazów do wzoru ciągu.

\[a_5=2\cdot5^2=50,\qquad a_4=2\cdot4^2=32\]

2 Obliczenie różnicy

Odejmujemy czwarty wyraz od piątego.

\[a_5-a_4=50-32=18\]

Odpowiedź

Różnica wynosi 18. Odpowiedź D.

\[a_5-a_4=18\]

Sprawdzenie

Korzystając bezpośrednio ze wzoru na różnicę kwadratów, otrzymujemy ten sam wynik.

\[2(5^2-4^2)=2(5-4)(5+4)=18\]

Zadanie 17

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt środkowy \(DOC\) ma miarę \(118^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(ABC\) jest równa

Okrąg ze środkiem O i punktami A, B, C, D na okręgu; zaznaczono kąt środkowy DOC o mierze 118°.

\(59^\circ\)

\(48^\circ\)

\(62^\circ\)

\(31^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Punkty A, O i D leżą na jednej prostej, więc kąty AOC i DOC sumują się do 180°.

\[\angle AOC=180^\circ-118^\circ=62^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta wpisanego

Kąt ABC i kąt środkowy AOC opierają się na tym samym łuku AC. Kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

\[\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{62^\circ}{2}=31^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta ABC wynosi 31°, odpowiedź D.

\[\angle ABC=31^\circ\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy oparty na łuku AC ma 62°, a jego połowa to 31°, zgodnie z własnością kąta wpisanego.

\[2\cdot31^\circ=62^\circ=180^\circ-118^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Proste o równaniach \(y=(2m+2)x-2019\) oraz \(y=(3m-3)x+2019\) są równoległe, gdy

\(m=-1\)

\(m=0\)

\(m=1\)

\(m=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste zapisane w postaci \(y=ax+b\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Przyrównujemy więc współczynniki stojące przy \(x\).

\[2m+2=3m-3\]

2 Obliczenie parametru

Przenosimy wyrazy z \(m\) na jedną stronę, a liczby na drugą.

\[2m+2=3m-3\quad\Longrightarrow\quad m=5\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(m=5\).

\[m=5\]

Sprawdzenie

Dla \(m=5\) oba współczynniki kierunkowe wynoszą \(12\). Wyrazy wolne \(-2019\) i \(2019\) są różne, więc są to dwie różne proste równoległe.

\[2\cdot5+2=12=3\cdot5-3\]

Zadanie 6

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

\(x_1+x_2=-8\)

\(x_1+x_2=-2\)

\(x_1+x_2=2\)

\(x_1+x_2=8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Ponieważ czynnik −2 jest różny od zera, iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z nawiasów jest równy zeru.

\[-2(x+3)(x-5)=0\iff x+3=0\ \text{lub}\ x-5=0\iff x=-3\ \text{lub}\ x=5\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy otrzymane miejsca zerowe i wybieramy odpowiadającą im odpowiedź.

\[x_1+x_2=-3+5=2\]

Odpowiedź

C. Suma miejsc zerowych wynosi 2.

\[x_1+x_2=2\]

Sprawdzenie

Dla obu otrzymanych liczb jeden z czynników wzoru funkcji jest zerem, więc są to jej różne miejsca zerowe.

\[f(-3)=-2\cdot0\cdot(-8)=0,\qquad f(5)=-2\cdot8\cdot0=0\]

Zadanie 9

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x-3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

\((-6,-3)\)

\((-6,69)\)

\((3,-12)\)

\((6,-3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszej współrzędnej

Dla funkcji kwadratowej \(ax^2+bx+c\) pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \(-\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a=1\) i \(b=-6\).

\[x_w=-\frac{-6}{2\cdot1}=3\]

2 Obliczenie drugiej współrzędnej

Druga współrzędna wierzchołka to wartość funkcji dla \(x=3\).

\[y_w=f(3)=3^2-6\cdot3-3=9-18-3=-12\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne \((3,-12)\). Odpowiedź C.

\[W=(3,-12)\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej otrzymujemy \(f(x)=(x-3)^2-12\). Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest dodatni, wierzchołek rzeczywiście leży w punkcie \((3,-12)\).

\[x^2-6x-3=(x-3)^2-12\]