Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 34 z 70

Sortuj:

Zadanie 32

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $y$ takiej, że $x>2y$, prawdziwa jest nierówność \[x^{2}+3xy-10y^{2}>0\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wyrażenie na czynniki

Postać iloczynu pozwala ustalić znak wyrażenia z założeń.

\[x^{2}+3xy-10y^{2}=(x+5y)(x-2y)\]

2 Ustal znaki czynników

Z założenia $x>2y$ wynika $x-2y>0$. Ponieważ $y>0$, mamy też $x>0$, więc $x+5y>0$. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni.

\[x-2y>0,\quad x+5y>0\quad\Longrightarrow\quad (x+5y)(x-2y)>0\]

Odpowiedź

Dla wszystkich podanych $x$ i $y$ nierówność jest prawdziwa.

\[x^{2}+3xy-10y^{2}>0\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu czynników otrzymujemy wyrażenie z tezy. Warunek $x>2y$ zapewnia ścisłą dodatniość czynnika $x-2y$; przy $x=2y$ iloczyn byłby równy zeru.

\[(x+5y)(x-2y)=x^{2}+3xy-10y^{2}\]

Zadanie 33

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$, w którym podstawa $CD$ ma długość $6$, ramię $AD$ ma długość $4$, a kąty $BAD$ oraz $ABC$ mają miarę $60^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole tego trapezu.

Trapez równoramienny ABCD z oznaczeniami: CD = 6, AD = 4 oraz kąty przy podstawie AB po 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Po opuszczeniu wysokości z wierzchołka D powstaje trójkąt prostokątny. Ramię AD jest jego przeciwprostokątną.

\[h=AD\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\]

2 Obliczenie dłuższej podstawy

Poziomy rzut każdego ramienia ma długość 2. Dodajemy oba rzuty do krótszej podstawy.

\[AB=CD+2\cdot AD\cos 60^\circ=6+2\cdot4\cdot\frac12=10\]

3 Obliczenie pola

Pole trapezu jest równe połowie sumy podstaw pomnożonej przez wysokość.

\[P=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot2\sqrt{3}=16\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole trapezu wynosi 16√3 jednostek kwadratowych.

\[P=16\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Różnica podstaw wynosi 4, więc na każde ramię przypada poziomy rzut 2. Wraz z wysokością 2√3 daje to ramię długości 4, zgodnie z danymi.

\[\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16}=4\]

Zadanie 34

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie

$\frac{2x-3}{3x-2}=\frac{1}{2x}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianowniki muszą być różne od zera.

\[3x-2\ne 0,\quad 2x\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne\frac{2}{3},\;x\ne 0\]

2 Usunięcie mianowników

Dla liczb z dziedziny mnożymy obie strony przez $2x(3x-2)$ i porządkujemy równanie.

\[2x(2x-3)=3x-2\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-9x+2=0\]

3 Rozwiązanie równania kwadratowego

Obliczamy wyróżnik i wyznaczamy pierwiastki.

\[\Delta=(-9)^2-4\cdot4\cdot2=49,\qquad x=\frac{9\pm\sqrt{49}}{8}=2\;\text{ lub }\;\frac14\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami są $x=2$ oraz $x=\frac14$.

\[x\in\left\{\frac14,2\right\}\]

Sprawdzenie

Obie liczby należą do dziedziny. Po podstawieniu dla $x=2$ obie strony równania wynoszą $\frac14$, a dla $x=\frac14$ obie wynoszą $2$.

\[x=2:\ \frac{2x-3}{3x-2}=\frac14=\frac1{2x};\qquad x=\frac14:\ \frac{2x-3}{3x-2}=2=\frac1{2x}\]

Zadanie 35

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru pięciu liczb $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsze losowanie

W zbiorze są trzy liczby nieparzyste spośród pięciu, więc prawdopodobieństwo wylosowania liczby nieparzystej wynosi:

\[P(\text{pierwsza nieparzysta})=\frac{3}{5}\]

2 Drugie losowanie

Jeśli pierwsza liczba była nieparzysta, bez zwracania pozostają dwie liczby nieparzyste spośród czterech. Mnożymy prawdopodobieństwa kolejnych losowań:

\[P(A)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi $\frac{3}{10}$.

\[P(A)=\frac{3}{10}\]

Sprawdzenie

Możliwych uporządkowanych par jest $5\cdot4=20$, a par złożonych z liczb nieparzystych $3\cdot2=6$. Otrzymujemy ponownie ten sam wynik.

\[\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\]

Zadanie 36

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty $A=\left(\frac{22}{5},-\frac{21}{5}\right)$, $B=(6,7)$ oraz $C=(-9,2)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$.

Symetralna boku $AB$ tego trójkąta przecina bok $BC$ w punkcie $D$.

Oblicz współrzędne punktu $D$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Parametryzacja boku BC

Punkt D leży na boku BC, więc zapisujemy jego współrzędne za pomocą parametru t z przedziału od 0 do 1.

\[D=B+t(C-B)=(6-15t,\,7-5t),\quad 0\le t\le 1\]

2 Warunek symetralnej

Punkt na symetralnej odcinka AB jest jednakowo odległy od A i B. Po podstawieniu współrzędnych D rozwiązujemy równanie.

\[|DA|^2=|DB|^2\iff \left(\frac85-15t\right)^2+\left(\frac{56}5-5t\right)^2=(-15t)^2+(-5t)^2\iff 128-160t=0\iff t=\frac45\]

3 Współrzędne punktu D

Podstawiamy obliczoną wartość parametru do współrzędnych punktu D.

\[D=\left(6-15\cdot\frac45,\,7-5\cdot\frac45\right)=(-6,3)\]

Odpowiedź

Punkt D ma współrzędne (-6, 3).

\[D=(-6,3)\]

Sprawdzenie

Ponieważ 4/5 należy do przedziału od 0 do 1, punkt D leży na boku BC. Ponadto kwadraty odległości D od A i B są równe 160, więc D leży na symetralnej AB.

\[\frac45\in[0,1],\qquad |DA|^2=\left(-\frac{52}5\right)^2+\left(\frac{36}5\right)^2=160=12^2+4^2=|DB|^2\]

Zadanie 1

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}$ jest równa

$\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$2$

$\sqrt{2}$

$2\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy spod pierwiastka kwadratowego czynnik będący kwadratem liczby całkowitej i obliczamy pierwiastek sześcienny.

\[\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt2,\qquad \sqrt[3]{64}=4\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy uproszczone wartości pierwiastków.

\[\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}=\frac{8\sqrt2}{4}=2\sqrt2\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[2\sqrt2\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera. Mnożąc wynik przez 4, otrzymujemy pierwotny licznik.

\[4\cdot2\sqrt2=8\sqrt2=\sqrt{128}\]

Zadanie 2

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $\frac{2^{-3}\cdot 3^{-3}\cdot 4^{0}}{2^{-1}\cdot 3^{-4}\cdot 4^{-1}}$ jest równa

$1$

$3$

$24$

$48$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie praw działań na potęgach

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki, a potęga o wykładniku zero jest równa 1.

\[\frac{2^{-3}\cdot 3^{-3}\cdot 4^{0}}{2^{-1}\cdot 3^{-4}\cdot 4^{-1}}=2^{-3-(-1)}\cdot 3^{-3-(-4)}\cdot 4^{0-(-1)}=2^{-2}\cdot 3\cdot 4\]

2 Obliczenie wartości

Ponieważ $2^{-2}=\frac14$, iloczyn jest równy 3.

\[2^{-2}\cdot 3\cdot 4=\frac14\cdot 3\cdot 4=3\]

Odpowiedź

3, odpowiedź B.

\[3\]

Sprawdzenie

Bezpośrednie podstawienie wartości potęg daje ten sam wynik; wszystkie podstawy w mianowniku są różne od zera.

\[\frac{\frac18\cdot\frac1{27}\cdot1}{\frac12\cdot\frac1{81}\cdot\frac14}=\frac{1/216}{1/648}=3\]

Zadanie 3

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba dwukrotnie większa od $\log 3+\log 2$ jest równa

$\log 12$

$\log 36$

$\log 10$

$\log 25$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów jego czynników.

\[\log 3+\log 2=\log(3\cdot 2)=\log 6\]

2 Zastosuj wzór na logarytm potęgi

Dwukrotność logarytmu liczby to logarytm jej kwadratu.

\[2\log 6=\log(6^2)=\log 36\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: logarytm liczby 36.

\[\log 36\]

Sprawdzenie

Ponieważ 36 = (3·2)², własności logarytmów dają z powrotem dwukrotność podanej sumy.

\[\log 36=\log((3\cdot 2)^2)=2(\log 3+\log 2)\]

Zadanie 4

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

30% liczby $x$ jest o 2730 mniejsze od liczby $x$. Liczba $x$ jest równa

$3900$

$1911$

$9100$

$2100$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

30% liczby x to 0,3x. Jest ono o 2730 mniejsze od x, więc zapisujemy tę zależność jako równanie.

\[0{,}3x=x-2730\]

2 Oblicz x

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę i dzielimy przez 0,7.

\[2730=0{,}7x\quad\Rightarrow\quad x=\frac{2730}{0{,}7}=3900\]

Odpowiedź

Liczba x wynosi 3900. Odpowiedź A.

\[x=3900\]

Sprawdzenie

30% z 3900 to 1170, a różnica 3900 − 1170 wynosi 2730, zgodnie z treścią zadania.

\[0{,}3\cdot3900=1170,\qquad3900-1170=2730\]

Zadanie 5

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyrażenie $5-(4+2a)(4-2a)$ jest równe

$-4a^{2}-16a-11$

$4a^{2}-11$

$-4a^{2}-11$

$4a^{2}+16a-11$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Czynniki różnią się znakiem przy $2a$, więc ich iloczyn jest różnicą kwadratów.

\[(4+2a)(4-2a)=4^2-(2a)^2=16-4a^2\]

2 Uproszczenie wyrażenia

Podstawiamy obliczony iloczyn, opuszczamy nawias i redukujemy liczby.

\[5-(16-4a^2)=5-16+4a^2=4a^2-11\]

Odpowiedź

Wyrażenie jest równe $4a^2-11$. Odpowiedź B.

\[4a^2-11\]

Sprawdzenie

Dla $a=1$ wyrażenie z zadania i otrzymany wynik mają wartość $-7$. Przekształcenia są prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej $a$.

\[5-(4+2)(4-2)=-7=4\cdot1^2-11\]

Zadanie 6

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Jedną z liczb spełniających nierówność $x^{4}-3x^{3}+3<0$ jest

$1$

$(-1)$

$2$

$(-2)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie odpowiedzi

Sprawdzamy podane liczby w lewej stronie nierówności. Dla liczby 2 otrzymujemy wartość ujemną.

\[2^4-3\cdot 2^3+3=16-24+3=-5<0\]

Odpowiedź

C. Liczba 2.

\[x=2\]

Sprawdzenie

Pozostałe odpowiedzi nie spełniają nierówności, bo dają wartości dodatnie.

\[1^4-3\cdot1^3+3=1,\quad (-1)^4-3(-1)^3+3=7,\quad (-2)^4-3(-2)^3+3=43\]

Zadanie 7

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Informacja do zadań 7. i 8. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=2x^{2}+5x$.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

$Fragment wykresu funkcji kwadratowej $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

$x=-\frac{5}{4}$

$x=\frac{5}{4}$

$y=-\frac{5}{4}$

$y=-\frac{25}{16}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Dla funkcji kwadratowej oś symetrii przechodzi przez wierzchołek i ma równanie $x=-\frac{b}{2a}$. Tutaj $a=2$ i $b=5$.

\[x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2\cdot 2}=-\frac{5}{4}\]

Odpowiedź

Osią symetrii jest prosta $x=-\frac{5}{4}$. Odpowiedź A.

\[x=-\frac{5}{4}\]

Sprawdzenie

Miejsca zerowe to $0$ i $-\frac{5}{2}$. Oś symetrii leży dokładnie w połowie między nimi.

\[\frac{0+\left(-\frac{5}{2}\right)}{2}=-\frac{5}{4}\]

Zadanie 8

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=2x^{2}+5x$.

Funkcja kwadratowa $g$ jest określona wzorem $g(x)=2x^{2}-5x$. Wykres funkcji $g$ jest

Fragment wykresu funkcji kwadratowej f w układzie współrzędnych.

symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem osi $Ox$.

symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem osi $Oy$.

symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem początku układu współrzędnych.

przesunięty względem wykresu funkcji $f$ o $10$ jednostek w kierunku przeciwnym do zwrotu osi $Ox$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie przeciwnej liczby

Aby sprawdzić symetrię względem osi $Oy$, obliczamy wartość $f$ dla argumentu $-x$.

\[f(-x)=2(-x)^2+5(-x)=2x^2-5x=g(x)\]

2 Rozpoznanie przekształcenia

Równość $g(x)=f(-x)$ oznacza, że punktowi $(x,f(x))$ odpowiada punkt $(-x,f(x))$, czyli jego odbicie względem osi $Oy$.

\[g(x)=f(-x)\]

Odpowiedź

B. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy.

\[\boxed{\mathrm{B}}\]

Sprawdzenie

Miejsce zerowe funkcji f równe −5/2 po odbiciu względem osi Oy przechodzi w 5/2, które jest miejscem zerowym funkcji g.

\[f\!\left(-\frac52\right)=0,\qquad g\!\left(\frac52\right)=2\cdot\frac{25}{4}-5\cdot\frac52=0\]

Zadanie 9

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie $(x^{2}-27)(x^{2}+16)=0$ ma dokładnie

jedno rozwiązanie rzeczywiste.

dwa rozwiązania rzeczywiste.

trzy rozwiązania rzeczywiste.

cztery rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozdzielenie iloczynu

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^{2}-27=0\quad\text{lub}\quad x^{2}+16=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Pierwsze równanie ma dwa rozwiązania, a drugie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny.

\[x^{2}=27\Rightarrow x=\pm3\sqrt{3};\qquad x^{2}=-16\;\text{— brak rozwiązań rzeczywistych}\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. Odpowiedź B.

\[x\in\{-3\sqrt{3},\,3\sqrt{3}\}\]

Sprawdzenie

Dla obu podanych liczb kwadrat wynosi 27, więc pierwszy czynnik jest zerem. Drugi czynnik jest dodatni dla każdego rzeczywistego x i nie daje dalszych rozwiązań.

\[(\pm3\sqrt{3})^{2}-27=0,\qquad x^{2}+16\geq16>0\]

Zadanie 10

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{4}{x}-4$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$. Liczba $f(2)-f(-2)$ jest równa

$-8$

$-4$

$4$

$0$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości funkcji

Liczby 2 i −2 należą do dziedziny, więc podstawiamy je do wzoru funkcji.

\[f(2)=\frac{4}{2}-4=-2,\qquad f(-2)=\frac{4}{-2}-4=-6\]

2 Obliczenie różnicy

Odejmujemy otrzymane wartości, pamiętając o znaku liczby ujemnej.

\[f(2)-f(-2)=-2-(-6)=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, odpowiedź C.

\[f(2)-f(-2)=4\]

Sprawdzenie

Kontrola: składniki −4 we wzorze funkcji znoszą się przy odejmowaniu, a 2 i −2 spełniają warunek dziedziny.

\[\left(\frac{4}{2}-4\right)-\left(\frac{4}{-2}-4\right)=2-(-2)=4\]