Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 30 z 70

Sortuj:

Zadanie 8

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

jedno rozwiązanie.

dwa rozwiązania.

trzy rozwiązania.

cztery rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[x^2-25\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne -5\ \text{ i }\ x\ne 5\]

2 Wyznaczenie rozwiązań

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru. Ponieważ dla liczb rzeczywistych \(x^2+1>0\), rozwiązujemy równanie \(x^2-3x=0\).

\[(x^2-3x)(x^2+1)=0\quad\Longrightarrow\quad x(x-3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{ lub }\ x=3\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: 0 i 3. Odpowiedź B.

\[\{0,3\}\]

Sprawdzenie

Liczby 0 i 3 należą do dziedziny. Dla każdej z nich licznik jest równy zeru, a mianownik odpowiednio −25 i −16, więc obie spełniają równanie.

\[\frac{(0^2-3\cdot0)(0^2+1)}{0^2-25}=0,\qquad \frac{(3^2-3\cdot3)(3^2+1)}{3^2-25}=0\]

Zadanie 9

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-3x+2=0\).

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Wyłączamy wspólny czynnik z dwóch par wyrazów, aby otrzymać iloczyn.

\[3x^3-2x^2-3x+2=x^2(3x-2)-(3x-2)=(x^2-1)(3x-2)\]

2 Rozkład na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

\[(x^2-1)(3x-2)=(x-1)(x+1)(3x-2)\]

3 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.

\[x-1=0\ \lor\ x+1=0\ \lor\ 3x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \lor\ x=-1\ \lor\ x=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są −1, 2/3 i 1.

\[x\in\left\{-1,\frac{2}{3},1\right\}\]

Sprawdzenie

Dla każdej podanej liczby jeden z czynników otrzymanego iloczynu jest zerem. Rozkład jest równoważny wyjściowemu równaniu, więc wszystkie trzy liczby je spełniają i innych rozwiązań nie ma.

\[(x-1)(x+1)(3x-2)=0\]

Zadanie 10

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), punkt \((-8,6)\) jest punktem przecięcia prostych o równaniach

\(2x+3y=2\) i \(-x+y=-14\).

\(3x+2y=-12\) i \(2x+y=10\).

\(x+y=-2\) i \(x-2y=4\).

\(x-y=-14\) i \(-2x+y=22\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych

Punkt należy do prostej wtedy, gdy jego współrzędne spełniają jej równanie. Podstawiamy więc x=-8 i y=6 do równań z odpowiedzi D.

\[x-y=-8-6=-14,\qquad -2x+y=-2(-8)+6=22\]

2 Wybór odpowiedzi

Punkt spełnia oba równania z odpowiedzi D, więc jest punktem wspólnym tych prostych.

\[\begin{cases}x-y=-14\\-2x+y=22\end{cases}\]

Odpowiedź

D — proste x−y=−14 i −2x+y=22.

\[\boxed{\mathrm{D}}\]

Sprawdzenie

Rozwiązanie układu daje y=6 oraz x=−8, więc wskazane proste przecinają się w podanym punkcie.

\[x=y-14,\quad -2(y-14)+y=22\Rightarrow y=6\Rightarrow x=-8\]

Zadanie 11

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba \(1\). Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt \((-1,4)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzór funkcji \(f\) ma postać

\(f(x)=-\frac{1}{2}x+1\)

\(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\)

\(f(x)=-2x+2\)

\(f(x)=-3x+1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dwóch punktów

Miejsce zerowe oznacza, że dla argumentu 1 wartość funkcji wynosi 0. Znamy więc dwa punkty wykresu.

\[f(1)=0,\qquad (1,0),\;(-1,4)\]

2 Obliczenie współczynników

Podstawiamy współrzędne punktów do wzoru funkcji liniowej i odejmujemy równania, aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy.

\[f(x)=ax+b,\qquad \begin{cases}a+b=0\\-a+b=4\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad -2a=4\quad\Longrightarrow\quad a=-2,\;b=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[f(x)=-2x+2\]

Sprawdzenie

Dla argumentu 1 funkcja przyjmuje wartość 0, a dla argumentu −1 wartość 4, więc spełnia oba warunki zadania.

\[f(1)=-2+2=0,\qquad f(-1)=2+2=4\]

Zadanie 12

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=\frac{x-k}{x^2+1}\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek \(f(1)=2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość współczynnika \(k\) we wzorze tej funkcji jest równa

\((-3)\)

\(3\)

\((-4)\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie warunku

Ponieważ \(f(1)=2\), podstawiamy \(x=1\) do wzoru funkcji.

\[\frac{1-k}{1^2+1}=2\quad\Longrightarrow\quad\frac{1-k}{2}=2\]

2 Obliczenie współczynnika

Mnożymy obie strony przez 2 i rozwiązujemy równanie.

\[1-k=4\quad\Longrightarrow\quad k=-3\]

Odpowiedź

Współczynnik k jest równy −3. Odpowiedź A.

\[k=-3\]

Sprawdzenie

Dla k = −3 mianownik przy x = 1 jest różny od zera, a otrzymana wartość funkcji wynosi 2.

\[1^2+1=2\ne 0,\qquad f(1)=\frac{1-(-3)}{2}=2\]

Zadanie 13

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-13)^2-256\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \((-3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

\((-29)\)

\((-23)\)

\(23\)

\(29\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Przyrównujemy wzór funkcji do zera i przenosimy 256 na drugą stronę równania.

\[(x-13)^2-256=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-13)^2=256\]

2 Rozwiązanie równania

Ponieważ \(256=16^2\), wyrażenie \(x-13\) może być równe \(16\) albo \(-16\).

\[x-13=16\ \text{lub}\ x-13=-16\quad\Longleftrightarrow\quad x=29\ \text{lub}\ x=-3\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest 29. Odpowiedź D.

\[x=29\]

Sprawdzenie

Dla obu liczb wartość funkcji wynosi zero: \(f(-3)=(-16)^2-256=0\) oraz \(f(29)=16^2-256=0\).

\[f(-3)=0,\qquad f(29)=0\]

Zadanie 14.1

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

\([-5,4]\)

\([5,7]\)

\([1,5]\)

\([-1,5]\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziału

Na odcinku od x=5 do x=7 wykres wznosi się: gdy x rośnie, wartość f(x) również rośnie.

\[f(5)=1,\quad f(7)=6,\quad \frac{6-1}{7-5}=\frac{5}{2}>0\]

Odpowiedź

Funkcja f jest rosnąca w przedziale [5,7]. Odpowiedź B.

\[[5,7]\]

Sprawdzenie

Na całym przedziale [5,7] wykres jest odcinkiem o dodatnim nachyleniu. Pozostałe podane przedziały obejmują fragment malejący.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5}{2}>0\]

Zadanie 14.2

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Zapisz poniżej w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe od \(1\).

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Szukamy części wykresu leżących powyżej prostej y=1. Na dwóch poziomych odcinkach funkcja ma wartość 4.

\[x\in[-7,-5]\cup[-4,-1]\]

2 Wyznaczenie granic pozostałych przedziałów

Odcinek malejący przecina prostą y=1 przy x=2, a odcinek rosnący zaczyna się w punkcie (5,1). Ponieważ nierówność jest ostra, argumentów 2 i 5 nie włączamy.

\[f(x)>1\quad\text{dla}\quad x\in[-1,2)\cup(5,7]\]

Odpowiedź

Zbiór szukanych argumentów to [-7,-5] ∪ [-4,2) ∪ (5,7].

\[[-7,-5]\cup[-4,2)\cup(5,7]\]

Sprawdzenie

Na krańcach x=-7, -5, -4 i 7 wartości funkcji są większe od 1, więc należą do zbioru. Dla x=2 oraz x=5 wartość wynosi dokładnie 1, więc te argumenty są wykluczone.

\[f(-7)=f(-5)=f(-4)=4>1,\qquad f(7)=6>1,\qquad f(2)=f(5)=1\]

Zadanie 14.3

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(-x)\) dla każdego \(x\in[-7,-5]\cup[-4,4]\cup[5,7]\). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), wykres funkcji \(y=g(x)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres funkcji \(y=g(x)\) przedstawiono na rysunku

Wspólny wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych.

Wariant A: wykres funkcji w układzie współrzędnych.

Wariant B: wykres funkcji w układzie współrzędnych.

Wariant C: wykres funkcji w układzie współrzędnych.

Wariant D: wykres funkcji w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odbicie wykresu

We wzorze g(x)=f(-x) punkt wykresu f o współrzędnych (a,b) przechodzi w punkt (-a,b). Odbijamy więc wykres względem osi y.

\[(a,f(a))\mapsto(-a,f(a))\]

2 Porównanie charakterystycznych punktów

Odcinek od (5,1) do (7,6) przechodzi w odcinek od (-5,1) do (-7,6). Po prawej stronie odbitego wykresu, dla x od 5 do 7, wartość wynosi 4. Te cechy ma rysunek B.

\[(5,1)\mapsto(-5,1),\quad(7,6)\mapsto(-7,6),\quad g(x)=4\ \text{dla }x\in[5,7]\]

Odpowiedź

Wykres funkcji g przedstawiono na rysunku B.

\[\boxed{B}\]

Sprawdzenie

Dodatkowo f(4)=-1, więc g(-4)=-1, a f(-4)=4, więc g(4)=4. Oba punkty należą do wykresu B.

\[g(-4)=f(4)=-1,\qquad g(4)=f(-4)=4\]

Zadanie 15

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Funkcje

Funkcje \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) oraz \(F\) są określone dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wzory tych funkcji podano poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział \((−\infty,2]\) jest zbiorem wartości funkcji .......... oraz .......... .

\(A(x)=−(x−3)^2+2\)

\(B(x)=x^2+2\)

\(C(x)=−5(x−2)^2\)

\(D(x)=(x−2)^2\)

\(E(x)=2x^2−8x+10\)

\(F(x)=−2x^2+4x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie największych wartości

Kwadrat jest nieujemny, więc w funkcji A największą wartością jest 2. Funkcję F sprowadzamy do postaci kanonicznej, aby odczytać jej największą wartość.

\[A(x)=-(x-3)^2+2\leq 2,\qquad F(x)=-2(x-1)^2+2\leq 2\]

2 Ustalenie zbiorów wartości

Funkcja A osiąga wartość 2 dla x=3, a funkcja F dla x=1. Gdy odległość x od tych liczb rośnie, wartości obu funkcji maleją bez ograniczenia. Pozostałe funkcje mają inne zbiory wartości.

\[A(3)=F(1)=2,\qquad B,E:[2,\infty),\quad C:(-\infty,0],\quad D:[0,\infty)\]

Odpowiedź

A oraz F.

\[W_A=W_F=(-\infty,2]\]

Sprawdzenie

Dla obu wybranych funkcji wartość 2 jest osiągana, żadna wartość jej nie przekracza, a każda liczba mniejsza od 2 jest osiągana dzięki odpowiedniemu kwadratowi.

\[A(3)=2,\quad F(1)=2;\qquad (x-3)^2,(x-1)^2\in[0,\infty)\]

Zadanie 16

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot\frac{n+1}{2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

\(2\)

\((-2)\)

\(3\)

\((-1)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Aby obliczyć trzeci wyraz, podstawiamy \(n=3\) do wzoru ciągu.

\[a_3=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}\]

2 Obliczenie wartości

Trzecia potęga liczby \(-1\) wynosi \(-1\), a ułamek jest równy \(2\).

\[a_3=-1\cdot\frac{4}{2}=-2\]

Odpowiedź

Trzeci wyraz ciągu wynosi \(-2\). Odpowiedź B.

\[a_3=-2\]

Sprawdzenie

Numer \(3\) jest nieparzysty, więc wyraz jest ujemny; jego wartość bezwzględna wynosi \(\frac{3+1}{2}=2\). Zatem wynik \(-2\) się zgadza.

\[|a_3|=2\]

Zadanie 17

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(128\), natomiast iloraz ciągu jest równy \(\left(-\frac{1}{2}\right)\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyraz \(a_{2023}\) jest liczbą ujemną.	P	F
Różnica \(a_3-a_2\) jest równa \(96\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak wyrazu a_{2023}

Wyraz ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru ogólnego. Wykładnik 2022 jest parzysty, więc wyraz jest dodatni.

\[a_{2023}=128\left(-\frac{1}{2}\right)^{2022}>0\]

2 Różnica wyrazów

Mnożymy pierwszy wyraz kolejno przez iloraz, aby obliczyć drugi i trzeci wyraz, a następnie ich różnicę.

\[a_2=128\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-64,\quad a_3=-64\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=32,\quad a_3-a_2=32-(-64)=96\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[a_{2023}>0,\qquad a_3-a_2=96\]

Sprawdzenie

Dodatniość a_{2023} wynika też z tego, że od a_1 do a_{2023} znak zmienia się parzystą liczbę razy. Obliczone wyrazy spełniają warunek na iloraz: 32:(-64)=-1/2.

\[(-1)^{2022}=1,\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{32}{-64}=-\frac{1}{2}\]

Zadanie 18

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Ciąg \((3x^2+5x, x^2, 20-x^2)\) jest arytmetyczny.

Oblicz \(x\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym podwojony wyraz środkowy jest sumą wyrazów skrajnych.

\[2x^2=(3x^2+5x)+(20-x^2)\]

2 Obliczenie x

Upraszczamy równanie i odejmujemy 2x² od obu stron.

\[2x^2=2x^2+5x+20\quad\Longrightarrow\quad 5x+20=0\quad\Longrightarrow\quad x=-4\]

Odpowiedź

x = −4

\[x=-4\]

Sprawdzenie

Dla x = −4 wyrazy ciągu to 28, 16, 4. Obie różnice są równe −12, więc ciąg jest arytmetyczny.

\[16-28=4-16=-12\]

Zadanie 19

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{7}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta \(\alpha\) jest równy

\(\frac{24}{49}\)

\(\frac{5}{7}\)

\(\frac{25}{49}\)

\(\frac{\sqrt{6}}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej

Z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) obliczamy kwadrat sinusa.

\[\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}\]

2 Wybór pierwiastka

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\sin\alpha=\frac{5}{7}\]

Sprawdzenie

Otrzymany sinus jest dodatni, a suma kwadratów sinusa i podanego cosinusa wynosi 1.

\[\left(\frac{5}{7}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=\frac{25}{49}+\frac{24}{49}=1\]

Zadanie 20

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Trapez \(T_1\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_2\). Pole trapezu \(T_2\) jest równe \(13\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trapezu \(T_2\) jest równy

\(18\)

\(9\)

\(\frac{169}{9}\)

\(\frac{52}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skali podobieństwa

Stosunek pól figur podobnych jest kwadratem skali podobieństwa, więc obliczamy dodatnią skalę trapezu \(T_2\) względem \(T_1\).

\[k^2=\frac{13}{52}=\frac14,\qquad k=\frac12\]

2 Obliczenie obwodu

Obwody figur podobnych są w stosunku równym skali podobieństwa.

\[O_2=kO_1=\frac12\cdot36=18\]

Odpowiedź

A. Obwód trapezu \(T_2\) wynosi \(18\).

\[O_2=18\]

Sprawdzenie

Stosunek obwodów wynosi \(18:36=1:2\), a kwadrat tej skali daje stosunek pól \(13:52=1:4\).

\[\left(\frac{18}{36}\right)^2=\frac14=\frac{13}{52}\]