Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 28 z 28

Sortuj:

Zadanie 30

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

23%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\geq 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kolejnego wyrazu

Podstawiamy \(n+1\) do wzoru ciągu, aby dodać dwa kolejne wyrazy.

\[a_{n+1}=2(n+1)^2+2(n+1)=2(n+1)(n+2)\]

2 Wyznaczenie sumy

Wyłączamy wspólny czynnik, aby zapisać sumę jako kwadrat.

\[a_n+a_{n+1}=2n(n+1)+2(n+1)(n+2)=2(n+1)(2n+2)=[2(n+1)]^2\]

Odpowiedź

Suma każdych dwóch kolejnych wyrazów jest kwadratem liczby naturalnej \(2(n+1)\).

\[a_n+a_{n+1}=[2(n+1)]^2\]

Sprawdzenie

Dla każdego naturalnego \(n\geq 1\) liczba \(2(n+1)\) jest naturalna. Po rozwinięciu otrzymanego kwadratu dostajemy \(4n^2+8n+4\), tyle samo co z bezpośredniego dodania wyrazów.

\[(2n^2+2n)+[2(n+1)^2+2(n+1)]=4n^2+8n+4=[2(n+1)]^2\]

Zadanie 32

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

22%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równanie przekątnej AC

Przekątne kwadratu są prostopadłe. Prosta BD ma współczynnik kierunkowy \(\frac{4}{3}\), więc prosta AC, przechodząca przez A, ma współczynnik \(-\frac{3}{4}\).

\[y+\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}(x-5)\]

2 Punkt przecięcia przekątnych

Podstawiamy równanie prostej BD do równania AC. Otrzymane współrzędne wyznaczają środek kwadratu O.

\[\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}(x-5)\;\Longrightarrow\;16x+20=-9x+45\;\Longrightarrow\;x=1,\quad y=\frac{4}{3}\]

3 Pole kwadratu

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, zatem \(AC=2AO\). Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości przekątnej.

\[AO^2=(5-1)^2+\left(-\frac{5}{3}-\frac{4}{3}\right)^2=16+9=25,\quad AC=10,\quad P=\frac{AC^2}{2}=50\]

Odpowiedź

Punkt przecięcia przekątnych ma współrzędne \(\left(1,\frac{4}{3}\right)\), a pole kwadratu wynosi \(50\).

\[O=\left(1,\frac{4}{3}\right),\qquad P=50\]

Sprawdzenie

Punkt O leży na BD. Wektor AO ma kierunek prostopadły do BD, a długość przekątnej wynosi 10, co potwierdza obliczone pole.

\[\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\cdot1,\qquad (O-A)\cdot(3,4)=(-4,3)\cdot(3,4)=0,\qquad \frac{10^2}{2}=50\]

Zadanie 8

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

22%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych z osiami x i y oraz siatką. Lewa część biegnie od punktu zamkniętego (-3,-1) przez (-2,-1) i (-1,0) do punktu otwartego (0,-2). Prawa część biegnie od punktu otwartego (0,2) przez (1,2) i (2,-1) do punktu zamkniętego (4,-1).

\((-2,2)\)

\(\langle-2,2)\)

\(\langle-2,2\rangle\)

\((-2,2\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wartości lewej części wykresu

Wykres zbliża się do wysokości −2, ale punkt na tej wysokości jest otwarty. Osiąga natomiast wysokość 0.

\[W_1=(-2,0]\]

2 Wartości prawej części wykresu

Ta część wykresu osiąga zarówno wysokość −1, jak i 2, oraz wszystkie wartości pomiędzy nimi.

\[W_2=[-1,2]\]

3 Połączenie przedziałów

Zbiór wartości całej funkcji jest sumą wartości obu części wykresu.

\[W_f=(-2,0]\cup[-1,2]=(-2,2]\]

Odpowiedź

Zbiór wartości funkcji to przedział od −2 bez tej liczby do 2 włącznie. Odpowiedź D.

\[W_f=(-2,2]\]

Sprawdzenie

Wartość −2 nie jest przyjmowana, bo odpowiada jej punkt otwarty. Wartość 2 jest przyjmowana dla x=1. Odcinki wykresu obejmują wszystkie wysokości między tymi wartościami.

\[f(1)=2,\qquad -2\notin W_f\]

Zadanie 18

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha\) jest równe

\(\sin^2\alpha\)

\(\sin^6\alpha\cdot\cos^2\alpha\)

\(\sin^4\alpha+1\)

\(\sin^2\alpha\cdot(\sin\alpha+\cos\alpha)\cdot(\sin\alpha-\cos\alpha)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Oba składniki zawierają \(\sin^2\alpha\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\]

2 Zastosuj tożsamość trygonometryczną

Dla każdego kąta zachodzi \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha\cdot1=\sin^2\alpha\]

Odpowiedź

A. Wyrażenie jest równe \(\sin^2\alpha\).

\[\sin^2\alpha\]

Sprawdzenie

Dla \(\alpha=30^\circ\) wyrażenie ma wartość \(\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac14\), a \(\sin^2 30^\circ=\frac14\).

\[\sin^4 30^\circ+\sin^2 30^\circ\cos^2 30^\circ=\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac14=\sin^2 30^\circ\]

Zadanie 34

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rysunek ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS z krawędzią boczną SC oznaczoną liczbą 6.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Niech O będzie środkiem kwadratu ABCD, a M środkiem boku BC. W ostrosłupie prawidłowym SO jest wysokością, a kąt SMO jest kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy. Ponieważ OM jest połową boku podstawy, z definicji tangensa wyznaczamy wysokość h.

\[OM=\frac a2,\qquad \tan\angle SMO=\frac{SO}{OM}=\sqrt7,\qquad h=SO=\frac{a\sqrt7}{2}\]

2 Obliczenie boku podstawy

Przekątna kwadratu ma długość a√2, więc OC jest połową przekątnej. W trójkącie prostokątnym SOC stosujemy twierdzenie Pitagorasa; SC=6.

\[OC=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad 6^2=\left(\frac{a\sqrt7}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{9a^2}{4},\qquad a=4,\quad h=2\sqrt7\]

3 Obliczenie objętości

Pole kwadratowej podstawy wynosi a². Podstawiamy je i wysokość do wzoru na objętość ostrosłupa.

\[V=\frac13a^2h=\frac13\cdot 4^2\cdot 2\sqrt7=\frac{32\sqrt7}{3}\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(\frac{32\sqrt7}{3}\) jednostek sześciennych.

\[V=\frac{32\sqrt7}{3}\]

Sprawdzenie

Dla boku podstawy 4 odległość O od boku BC wynosi 2, więc tangens kąta nachylenia to \(2\sqrt7/2=\sqrt7\). Krawędź boczna ma długość \(\sqrt{(2\sqrt7)^2+(2\sqrt2)^2}=6\), zgodnie z danymi.

\[\frac{h}{OM}=\frac{2\sqrt7}{2}=\sqrt7,\qquad SC=\sqrt{28+8}=6\]

Zadanie 28

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq\frac{2}{a+b}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uwzględnienie warunków

Ponieważ a i b są dodatnie, wszystkie mianowniki są dodatnie. Możemy więc sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika.

\[a>0,\quad b>0,\quad 2ab(a+b)>0\]

2 Obliczenie różnicy stron

Jeśli różnica lewej i prawej strony jest nieujemna, nierówność jest prawdziwa.

\[\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}-\frac{2}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich dodatnich a i b. Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy a=b.

\[\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq\frac{2}{a+b}\quad\text{dla }a,b>0\]

Sprawdzenie

Licznik otrzymanej różnicy jest kwadratem, więc jest nieujemny, a mianownik jest dodatni. Dla a=b obie strony wynoszą 1/a, co potwierdza warunek równości.

\[a=b\implies\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a}\]

Zadanie 28

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach \(P\) i \(R\), styczne zewnętrznie w punkcie \(C\). Prosta \(AB\) jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\) oraz \(|\angle APC|=\alpha\) i \(|\angle ABC|=\beta\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(\alpha=180^{\circ}-2\beta\).

Dwa okręgi o środkach P i R, styczne zewnętrznie w C oraz styczne do prostej AB w punktach A i B; zaznaczono kąty α i β.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Położenie punktu przecięcia stycznych

Niech T będzie punktem przecięcia prostej AB ze wspólną styczną w C. Proste te się przecinają: gdyby były równoległe, prosta PR byłaby prostopadła do AB, a rzuty P i R na AB pokrywałyby się, czyli A=B. Odcinki stycznych poprowadzonych z T do każdego okręgu mają równe długości. Zatem T jest środkiem odcinka AB.

\[TA=TC=TB\quad\Longrightarrow\quad T\in AB\ \text{oraz}\ TA=TB\]

2 Kąty trójkąta BTC

Ponieważ T leży między A i B, kąt TBC ma miarę β. Trójkąt BTC jest równoramienny, więc wyznaczamy kąt przy T. Kąty BTC i ATC są przyległe.

\[\angle BTC=180^{\circ}-2\beta,\qquad \angle ATC=2\beta\]

3 Kąty trójkąta PAC

Z równości TA=TC wynika, że kąt TAC ma miarę 90°−β. Promień PA jest prostopadły do stycznej AB, więc kąt PAC ma miarę β. Ponieważ PA=PC, taki sam jest kąt PCA.

\[\angle TAC=\frac{180^{\circ}-2\beta}{2}=90^{\circ}-\beta,\qquad \angle PAC=\angle PCA=\beta\]

4 Wyznaczenie α

Kąt APC ma miarę α. Stosujemy sumę kątów w trójkącie PAC.

\[\alpha+\beta+\beta=180^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad\alpha=180^{\circ}-2\beta\]

Odpowiedź

Udowodniono żądaną równość.

\[\boxed{\alpha=180^{\circ}-2\beta}\]

Sprawdzenie

Równość odcinków stycznych uzasadnia położenie T między A i B, więc kąt TBC rzeczywiście jest kątem ABC. W trójkącie PAC otrzymane kąty β, β i 180°−2β sumują się do 180°.

\[\beta+\beta+(180^{\circ}-2\beta)=180^{\circ}\]

Zadanie 28

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

20%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a-2b)+2b^{2}>0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uzupełnienie kwadratu

Przekształcamy wyrażenie w sumę kwadratów, aby ustalić jego znak.

\[a(a-2b)+2b^{2}=a^{2}-2ab+2b^{2}=(a-b)^{2}+b^{2}\]

2 Wykazanie nierówności

Ponieważ \(a\ne b\), kwadrat \((a-b)^{2}\) jest dodatni, a \(b^{2}\) jest nieujemny.

\[(a-b)^{2}>0,\quad b^{2}\ge 0\quad\Longrightarrow\quad (a-b)^{2}+b^{2}>0\]

Odpowiedź

Dla każdych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) podana nierówność jest prawdziwa.

\[a(a-2b)+2b^{2}>0\]

Sprawdzenie

Suma mogłaby być równa zeru tylko wtedy, gdy jednocześnie \(a-b=0\) i \(b=0\). Pierwszy z tych warunków oznacza \(a=b\), co przeczy założeniu.

\[(a-b)^{2}+b^{2}=0\ \Longrightarrow\ a=b\]

Zadanie 28

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

20%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2-2ab+3b^2\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie jako sumy kwadratów

Szukamy postaci, w której każdy składnik jest nieujemny.

\[3a^2-2ab+3b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2\]

2 Wykazanie nierówności

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma po prawej stronie jest nieujemna.

\[(a-b)^2+2a^2+2b^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\). Równość występuje tylko dla \(a=b=0\).

\[3a^2-2ab+3b^2\geq 0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Suma składników nieujemnych jest zerem dokładnie wtedy, gdy \(a=b=0\).

\[(a-b)^2+2a^2+2b^2=a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2=3a^2-2ab+3b^2\]

Zadanie 29

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

20%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy \(2\).

Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).

Dwa okręgi o środkach A i B, styczne zewnętrznie oraz styczne do obu ramion kąta prostego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Położenie środków

Środek okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego jest oddalony od każdego ramienia o długość promienia. Przyjmując wierzchołek kąta za początek układu, otrzymujemy współrzędne środków. Z rysunku wynika, że okrąg B jest bliżej wierzchołka, więc jego promień r jest mniejszy od 2.

\[A=(2,2),\quad B=(r,r),\quad 0<r<2\]

2 Obliczenie promienia

Przy styczności zewnętrznej odległość między środkami jest sumą promieni. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy tę odległość i rozwiązujemy równanie.

\[\sqrt{(2-r)^2+(2-r)^2}=2+r\quad\Longrightarrow\quad \sqrt2(2-r)=2+r\quad\Longrightarrow\quad r=\frac{2(\sqrt2-1)}{\sqrt2+1}=6-4\sqrt2\]

3 Porównanie

Przenosimy wyrazy na odpowiednie strony. Obie strony otrzymanej nierówności są dodatnie, więc można je podnieść do kwadratu.

\[6-4\sqrt2<\sqrt2-1\quad\Longleftrightarrow\quad 7<5\sqrt2\quad\Longleftrightarrow\quad 49<50\]

Odpowiedź

Promień okręgu B wynosi \(6-4\sqrt2\), zatem jest mniejszy od \(\sqrt2-1\).

\[r_B=6-4\sqrt2<\sqrt2-1\]

Sprawdzenie

Otrzymany promień jest dodatni i mniejszy od 2, zgodnie z położeniem okręgów na rysunku. Po podstawieniu odległość między środkami jest równa sumie promieni.

\[0<6-4\sqrt2<2,\qquad \sqrt2\bigl(2-(6-4\sqrt2)\bigr)=8-4\sqrt2=2+(6-4\sqrt2)\]

Zadanie 29

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

19%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).

Okrąg o środku S; cięciwa AB przedłużona przez B do C; prosta przez C i S przecina okrąg w D i E. Zaznaczono odcinki AS, SB oraz cztery oznaczenia r.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty w trójkącie BCS

Odcinki BC i BS mają długość r, więc trójkąt BCS jest równoramienny. Kąty przy podstawie CS są równe.

\[\angle BCS=\angle BSC=\alpha\]

2 Kąt przy wierzchołku B

Obliczamy trzeci kąt trójkąta BCS, a następnie korzystamy z tego, że punkty A, B, C leżą na jednej prostej.

\[\angle SBC=180^\circ-2\alpha,\qquad \angle ABS=180^\circ-\angle SBC=2\alpha\]

3 Kąt przy wierzchołku A

Ponieważ AS=BS=r, trójkąt ASB jest równoramienny. Zatem kąt przy A jest równy kątowi przy B. Półproste AB i AC mają ten sam kierunek.

\[\angle SAC=\angle SAB=\angle ABS=2\alpha\]

4 Szukany kąt

Z sumy kątów trójkąta ASC obliczamy kąt przy S. Półproste SC i SD są przeciwne, więc kąty ASC i ASD sumują się do kąta półpełnego.

\[\angle ASC=180^\circ-2\alpha-\alpha=180^\circ-3\alpha,\qquad \angle ASD=180^\circ-\angle ASC=3\alpha\]

Odpowiedź

Miara kąta ASD wynosi 3α.

\[\angle ASD=3\alpha\]

Sprawdzenie

Z trójkąta ASB wynika 4α<180°, więc 0°<3α<135°. Otrzymana miara jest dodatnia i odpowiada kątowi ASD na rysunku.

\[2\alpha+2\alpha+\angle ASB=180^\circ\;\Longrightarrow\;0^\circ<\alpha<45^\circ\]

Zadanie 27

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

18%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie jako sumy kwadratów

Uzupełniamy wyrażenie do kwadratu, aby wykazać, że jest nieujemne dla dowolnych liczb rzeczywistych.

\[4x^2-8xy+5y^2=(2x-2y)^2+y^2\]

2 Zastosowanie nieujemności kwadratów

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ich suma również jest nieujemna.

\[(2x-2y)^2\geq 0,\quad y^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-8xy+5y^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\).

\[\forall x,y\in\mathbb{R}\quad 4x^2-8xy+5y^2\geq 0\]

Sprawdzenie

Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy oba kwadraty są równe zeru, czyli gdy \(x=y=0\). Po podstawieniu otrzymujemy \(0=0\).

\[(2x-2y)^2+y^2=0\iff y=0\ \text{oraz}\ 2x-2y=0\iff x=y=0\]

Zadanie 34

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

17%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kwadracie \(ABCD\) punkty \(A=(-8,-2)\) oraz \(C=(0,4)\) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Środek przekątnych

Przekątne kwadratu przecinają się w swoich środkach, więc prosta BD przechodzi przez środek odcinka AC.

\[S=\left(\frac{-8+0}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=(-4,1)\]

2 Kierunek prostej BD

Przekątne kwadratu są prostopadłe. Wektor AC ma współrzędne (8,6), więc prostopadłym do niego wektorem kierunkowym BD jest (3,-4).

\[\overrightarrow{AC}=(8,6),\qquad 8\cdot3+6\cdot(-4)=0\]

3 Równanie prostej

Podstawiamy punkt S i współczynnik kierunkowy -4/3 do równania prostej.

\[y-1=-\frac{4}{3}(x+4)\quad\Longleftrightarrow\quad 4x+3y+13=0\]

Odpowiedź

Prosta zawierająca przekątną BD ma równanie 4x+3y+13=0.

\[4x+3y+13=0\]

Sprawdzenie

Środek przekątnej AC należy do otrzymanej prostej, a jej kierunek jest prostopadły do AC.

\[4\cdot(-4)+3\cdot1+13=0,\qquad (8,6)\cdot(3,-4)=0\]

Zadanie 29

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

16%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).

Trójkąt równoboczny ABC z wysokością CD, punktem E na CD i punktem F na boku BC. Odcinek EF jest prostopadły do BC.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

W trójkącie równobocznym wysokość dzieli podstawę na połowy. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy stosunek wysokości do boku.

\[|DB|=\frac12|CB|,\qquad |CD|^2=|CB|^2-|DB|^2=\frac34|CB|^2\]

2 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty \(CEF\) i \(CBD\) są prostokątne i mają wspólny kąt przy \(C\), więc są podobne. Odpowiadają sobie boki \(CF\) i \(CD\) oraz \(CE\) i \(CB\).

\[\frac{|CF|}{|CD|}=\frac{|CE|}{|CB|}\]

3 Wyznaczenie długości \(CF\)

Podstawiamy podaną długość \(CE\) oraz obliczony kwadrat wysokości.

\[|CF|=\frac{|CE|\,|CD|}{|CB|}=\frac34\frac{|CD|^2}{|CB|}=\frac34\cdot\frac34|CB|=\frac9{16}|CB|\]

Odpowiedź

Wykazano żądaną równość.

\[|CF|=\frac9{16}|CB|\]

Sprawdzenie

Otrzymany stosunek spełnia warunek, że punkt \(F\) leży na boku \(BC\).

\[0<\frac{|CF|}{|CB|}=\frac9{16}<1\]

Zadanie 32

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

6%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(x^2+y^2+5>2x+4y\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, wystarczy udowodnić, że różnica jej stron jest dodatnia.

\[x^2+y^2+5-2x-4y>0\]

2 Uzupełnij do kwadratów

Zapisujemy różnicę jako sumę kwadratów, których znaki łatwo ustalić.

\[x^2+y^2+5-2x-4y=(x-1)^2+(y-2)^2\]

3 Wykorzystaj warunek

Ponieważ \(x\neq 1\), pierwszy kwadrat jest dodatni. Drugi jest nieujemny dla każdego rzeczywistego \(y\).

\[(x-1)^2>0,\quad (y-2)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2+(y-2)^2>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x\neq 1\) i każdego \(y\in\mathbb{R}\).

\[x^2+y^2+5>2x+4y\]

Sprawdzenie

Równość mogłaby zachodzić tylko wtedy, gdy oba kwadraty byłyby zerowe, czyli dla \(x=1\) i \(y=2\). Warunek \(x\neq 1\) wyklucza ten przypadek.

\[(x-1)^2+(y-2)^2=0\iff x=1\ \land\ y=2\]