Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 26 z 28

Sortuj:

Zadanie 27

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

36%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez 17.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik jest wielokrotnością \(4^{2017}\), więc wyłączamy tę potęgę przed nawias.

\[4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}=4^{2017}(1+4+4^2+4^3)\]

2 Oblicz sumę w nawiasie

Suma w nawiasie wynosi \(85=17\cdot5\), zatem cała liczba ma czynnik \(17\).

\[4^{2017}(1+4+16+64)=4^{2017}\cdot85=17\cdot(5\cdot4^{2017})\]

Odpowiedź

Podana liczba jest podzielna przez 17.

\[17\mid\left(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\right)\]

Sprawdzenie

Iloraz przez 17 wynosi \(5\cdot4^{2017}\), czyli jest liczbą całkowitą.

\[\frac{4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}}{17}=5\cdot4^{2017}\in\mathbb{Z}\]

Zadanie 31

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

35%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \(36\) metrów bieżących siatki.

Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Schemat trzech sąsiadujących prostokątnych wybiegów. Wspólną wysokość oznaczono x, a szerokość każdego wybiegu y. Linia przerywana oznacza siatkę, także na dwóch ścianach wewnętrznych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość siatki

Siatka tworzy cztery odcinki długości x (dwa zewnętrzne i dwa wewnętrzne) oraz sześć odcinków długości y.

\[4x+6y=36,\qquad x=9-\frac{3}{2}y,\qquad 0<y<6\]

2 Pole trzech wybiegów

Każdy wybieg ma pole xy. Po podstawieniu zależności między wymiarami otrzymujemy funkcję kwadratową.

\[P(y)=3xy=3y\left(9-\frac{3}{2}y\right)=27y-\frac{9}{2}y^2\]

3 Największe pole

Po sprowadzeniu funkcji do postaci kanonicznej widać, że jej największa wartość występuje dla y=3 m. Z równania na długość siatki obliczamy x.

\[P(y)=-\frac{9}{2}(y-3)^2+\frac{81}{2},\qquad y=3\ \mathrm{m},\qquad x=9-\frac{3}{2}\cdot3=\frac{9}{2}\ \mathrm{m}\]

Odpowiedź

Wymiary jednego wybiegu to x = 4,5 m oraz y = 3 m.

\[x=\frac{9}{2}\ \mathrm{m},\qquad y=3\ \mathrm{m}\]

Sprawdzenie

Dla tych wymiarów zużycie siatki wynosi 36 m. Ponieważ od kwadratu odejmowana jest liczba nieujemna, pole trzech wybiegów nie przekracza 40,5 m²; dla y = 3 m osiąga tę wartość.

\[4\cdot\frac{9}{2}+6\cdot3=36\ \mathrm{m},\qquad P(y)=\frac{81}{2}-\frac{9}{2}(y-3)^2\leq\frac{81}{2}\ \mathrm{m}^2\]

Zadanie 36

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

35%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\), \(|AB|=8\). Wysokość trójkąta \(ABC\), poprowadzona z wierzchołka \(C\), ma długość 3. Przekątna \(CE\) ściany bocznej tworzy z krawędzią \(CB\) podstawy \(ABC\) kąt \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prostego ABCDEF o podstawie trójkąta równoramiennego ABC, z oznaczeniami długości 3 i 8 oraz kąta 60° między CB i CE.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Boki podstawy

Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli bok AB na połowy. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość równych ramion.

\[|AC|=|BC|=\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2+3^2}=5\]

2 Wysokość graniastosłupa

Graniastosłup jest prosty, więc trójkąt CBE jest prostokątny w B. Korzystamy z tangensa podanego kąta.

\[\tan 60^\circ=\frac{|BE|}{|BC|},\qquad |BE|=5\tan 60^\circ=5\sqrt{3}\]

3 Pole całkowite i objętość

Pole całkowite to suma pól dwóch podstaw i ścian bocznych. Objętość jest iloczynem pola podstawy i wysokości graniastosłupa.

\[P_p=\frac{8\cdot3}{2}=12,\quad P_c=2P_p+(8+5+5)\cdot5\sqrt{3}=24+90\sqrt{3},\quad V=P_p\cdot5\sqrt{3}=60\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi 24+90√3 jednostek kwadratowych, a objętość 60√3 jednostek sześciennych.

\[P_c=24+90\sqrt{3},\qquad V=60\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

W trójkącie CBE przekątna ma długość 10, więc stosunek CB do CE wynosi 1/2, zgodnie z cosinusem kąta 60°.

\[|CE|=\sqrt{5^2+(5\sqrt{3})^2}=10,\qquad \cos 60^\circ=\frac{|CB|}{|CE|}=\frac{5}{10}=\frac12\]

Zadanie 31

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

35%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa \(f\) przyjmuje wartość \(2\) dla argumentu \(0\), a ponadto \(f(4)-f(2)=6\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Funkcję liniową zapisujemy w postaci ogólnej. Ponieważ wartość dla argumentu zero jest równa wyrazowi wolnemu, otrzymujemy \(b=2\).

\[f(x)=ax+b,\quad f(0)=b=2\]

2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Podstawiamy wzór funkcji do podanej różnicy wartości i rozwiązujemy równanie.

\[f(4)-f(2)=(4a+2)-(2a+2)=2a=6,\quad a=3\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to \(f(x)=3x+2\).

\[f(x)=3x+2\]

Sprawdzenie

Dla wyznaczonej funkcji \(f(0)=2\), a różnica \(f(4)-f(2)\) wynosi \(14-8=6\), więc oba warunki są spełnione.

\[f(0)=2,\quad f(4)-f(2)=14-8=6\]

Zadanie 26

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

34%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Z wierzchołków sześcianu \(ABCDEFGH\) losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu \(ABCDEFGH\), jest równe

\(\frac{1}{7}\)

\(\frac{4}{7}\)

\(\frac{1}{14}\)

\(\frac{3}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wszystkie pary

Losowanie jest jednoczesne, więc kolejność wierzchołków nie ma znaczenia. Z ośmiu wierzchołków można wybrać dwie na 28 sposobów.

\[\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28\]

2 Pary sprzyjające

Sześcian ma cztery przekątne łączące przeciwległe wierzchołki. Każda wyznacza jedną parę sprzyjającą.

\[4\]

3 Prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę par sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych par.

\[P=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{1}{7}\]

Sprawdzenie

Każdy z ośmiu wierzchołków ma dokładnie jeden przeciwległy. Licząc w ten sposób, otrzymujemy osiem wskazań, lecz każdą parę liczymy dwa razy, więc są cztery pary sprzyjające.

\[\frac{8}{2}=4\]

Zadanie 34

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

34%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny z wierzchołkami oznaczonymi A, B, C, D, E, F.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pola podstawy

Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i trzy jednakowe ściany boczne. Każda ściana boczna ma pole równe polu podstawy, więc pole całkowite jest pięciokrotnością pola podstawy.

\[5P_p=45\sqrt{3},\qquad P_p=9\sqrt{3}\]

2 Obliczenie boku podstawy

Podstawa jest trójkątem równobocznym o boku \(a\), zatem korzystamy ze wzoru na jego pole.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=36\quad\Rightarrow\quad a=6\]

3 Obliczenie wysokości i objętości

Ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a\) i \(h\). Z równości pól wyznaczamy wysokość, a następnie mnożymy pole podstawy przez wysokość.

\[ah=P_p\quad\Rightarrow\quad h=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2},\qquad V=P_ph=9\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{81}{2}\]

Odpowiedź

Objętość graniastosłupa wynosi \(\frac{81}{2}\).

\[V=\frac{81}{2}\]

Sprawdzenie

Pole jednej ściany bocznej wynosi \(6\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\), tyle samo co pole podstawy. Pole całkowite wynosi więc \(2\cdot9\sqrt{3}+3\cdot9\sqrt{3}=45\sqrt{3}\), zgodnie z treścią.

\[P_b=9\sqrt{3}=P_p,\qquad P_c=5\cdot9\sqrt{3}=45\sqrt{3}\]

Zadanie 31

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

34%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log\frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\,\mathrm{cm}\) jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie amplitudy

Logarytm dziesiętny jest równy 6,2, więc jego argument wynosi \(10^{6,2}\). Mnożymy przez amplitudę wzorcową, aby obliczyć \(A\).

\[\frac{A}{A_0}=10^{6,2},\qquad A=10^{6,2}\cdot10^{-4}\,\mathrm{cm}=10^{2,2}\,\mathrm{cm}\]

2 Porównanie ze 100 cm

Ponieważ \(10^{0,2}>1\), otrzymana amplituda jest większa od 100 cm.

\[A=10^2\cdot10^{0,2}\,\mathrm{cm}>100\,\mathrm{cm}\]

Odpowiedź

Amplituda wynosi \(10^{2,2}\,\mathrm{cm}\) i jest większa od 100 cm.

\[A=10^{2,2}\,\mathrm{cm}>100\,\mathrm{cm}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanej amplitudy do podanego wzoru uzyskujemy siłę 6,2; amplituda jest dodatnia i ma jednostkę centymetrów.

\[\log\frac{10^{2,2}\,\mathrm{cm}}{10^{-4}\,\mathrm{cm}}=\log 10^{6,2}=6,2\]

Zadanie 2

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

33%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma

14 cyfr

15 cyfr

16 cyfr

30 cyfr

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz potęgi

Iloczyn 2 i 5 jest równy 10, więc łączymy czternaście takich par.

\[2^{14}\cdot5^{15}=(2\cdot5)^{14}\cdot5=5\cdot10^{14}\]

2 Policz cyfry

Liczba 5 pomnożona przez \(10^{14}\) to cyfra 5 i czternaście zer, czyli łącznie 15 cyfr.

\[5\cdot10^{14}=500000000000000\]

Odpowiedź

B — 15 cyfr.

\[15\]

Sprawdzenie

Otrzymana liczba jest co najmniej równa \(10^{14}\) i mniejsza od \(10^{15}\), więc ma dokładnie 15 cyfr.

\[10^{14}\leq 5\cdot10^{14}<10^{15}\]

Zadanie 23

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

33%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W zestawie \(\underbrace{2,2,2,\ldots,2}_{m\text{ liczb}},\underbrace{4,4,4,\ldots,4}_{m\text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb (\(m\geq 1\)), w tym \(m\) liczb 2 i \(m\) liczb 4.

Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

\(2\)

\(1\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Średnia jest potrzebna do obliczenia odchylenia standardowego. W zestawie jest po tyle samo dwójek i czwórek.

\[\overline{x}=\frac{2m+4m}{2m}=3\]

2 Obliczenie odchylenia standardowego

Każda liczba różni się od średniej o 1, więc średnia kwadratów tych różnic wynosi 1. Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z tej średniej.

\[s=\sqrt{\frac{m(2-3)^2+m(4-3)^2}{2m}}=\sqrt{1}=1\]

Odpowiedź

Odchylenie standardowe wynosi 1. Odpowiedź B.

\[s=1\]

Sprawdzenie

Dla każdego m ≥ 1 suma kwadratów odchyleń wynosi 2m, czyli dokładnie tyle, ile jest liczb. Ich średnia wynosi więc 1, co potwierdza wynik.

\[\frac{m\cdot 1^2+m\cdot 1^2}{2m}=1\]

Zadanie 5

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

32%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^2+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapis liczby nieparzystej

Każdą nieparzystą liczbę naturalną można zapisać w tej postaci dla pewnej liczby całkowitej nieujemnej \(k\).

\[n=2k+1\]

2 Wyłączenie czynnika 4

Podstawiamy tę postać do wyrażenia i wyłączamy wspólny czynnik.

\[3n^2+2n+7=3(2k+1)^2+2(2k+1)+7=12k^2+16k+12=4(3k^2+4k+3)\]

Odpowiedź

Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) wyrażenie \(3n^2+2n+7\) jest podzielne przez \(4\), ponieważ \(3k^2+4k+3\) jest liczbą całkowitą.

\[4\mid(3n^2+2n+7)\]

Sprawdzenie

Niezależnie, dla nieparzystego \(n\) mamy \(n^2\equiv1\pmod 4\) oraz \(2n\equiv2\pmod 4\). Suma reszt wynosi \(3+2+3=8\), czyli jest podzielna przez \(4\).

\[3n^2+2n+7\equiv3\cdot1+2+3\equiv0\pmod 4\]

Zadanie 33

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciągi

32%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2},3\sqrt{2}\rangle\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów przez iloraz

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez q. Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, a₁>0.

\[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2\]

2 Wyznaczenie możliwych ilorazów

Podstawiamy te wyrazy do warunku i dzielimy przez niezerowe a₁.

\[6a_1-5a_1q+a_1q^2=0\quad\Longrightarrow\quad q^2-5q+6=(q-2)(q-3)=0\quad\Longrightarrow\quad q=2\ \text{lub}\ q=3\]

3 Wybór ilorazu z przedziału

Liczba 2 jest mniejsza od lewego końca przedziału. Liczba 3 należy do przedziału, gdyż 2√2<3<3√2.

\[2<2\sqrt{2},\qquad 2\sqrt{2}<3<3\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi 3.

\[q=3\]

Sprawdzenie

Dla q=3 warunek zadania daje zero, a q należy do wskazanego przedziału. Ponieważ a₁>0 i q>0, wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie.

\[6a_1-5(3a_1)+9a_1=0\]

Zadanie 33

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

32%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku podstawy

Dla boku \(a\) wysokość trójkąta równobocznego, a więc także ostrosłupa, wynosi \(\frac{a\sqrt3}{2}\). Podstawiamy te wartości do wzoru na objętość.

\[27=\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^3}{8},\qquad a=6\]

2 Wysokość ściany bocznej

Niech \(M\) będzie środkiem boku \(AB\). Punkt \(O\) jest środkiem trójkąta równobocznego, więc \(OM\) stanowi jedną trzecią wysokości podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOM\) obliczamy \(SM\).

\[SO=3\sqrt3,\qquad OM=\sqrt3,\qquad SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{27+3}=\sqrt{30}\]

3 Pole powierzchni bocznej

Trzy ściany boczne są przystającymi trójkątami o podstawie \(6\) i wysokości \(\sqrt{30}\).

\[P_b=3\cdot\frac12\cdot6\cdot\sqrt{30}=9\sqrt{30}\]

4 Cosinus kąta

Rzutem wysokości ściany \(SM\) na płaszczyznę podstawy jest \(OM\). Szukany kąt to zatem kąt \(SMO\), którego cosinus obliczamy w trójkącie prostokątnym \(SOM\).

\[\cos\angle SMO=\frac{OM}{SM}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni bocznej wynosi 9√30, a cosinus szukanego kąta wynosi √10/10.

\[P_b=9\sqrt{30},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}\]

Sprawdzenie

Dla boku 6 objętość wynosi 27. Ponadto kwadrat obliczonej wysokości ściany jest równy sumie kwadratów SO i OM, a cosinus należy do przedziału od 0 do 1.

\[V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot3\sqrt3=27,\qquad (\sqrt{30})^2=(3\sqrt3)^2+(\sqrt3)^2=30,\qquad 0<\frac{\sqrt{10}}{10}<1\]

Zadanie 28

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

32%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków – odpowiednio – \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).

Kwadrat ABCD z przekątnymi AC i BD przecinającymi się w punkcie E oraz czworokątem KLMN.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość przekątnej KM

Punkt E jest środkiem przekątnej AC kwadratu. Ponieważ K i M są środkami odcinków AE i EC, odcinek KM ma połowę długości AC.

\[|KM|=|KE|+|EM|=\frac12|AE|+\frac12|EC|=\frac12|AC|\]

2 Długość przekątnej LN

W kwadracie E jest także środkiem BD, więc BE i DE mają po połowie długości BD. Odcinamy od BD części BL i DN.

\[|LN|=|BD|-|BL|-|DN|=|BD|-\frac16|BD|-\frac16|BD|=\frac23|BD|\]

3 Porównanie pól

Przekątne obu czworokątów leżą na prostopadłych przekątnych kwadratu. Pole każdego z nich jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.

\[\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}}=\frac{\frac12|KM|\cdot|LN|}{\frac12|AC|\cdot|BD|}=\frac{\frac12|AC|\cdot\frac23|BD|}{|AC|\cdot|BD|}=\frac13\]

Odpowiedź

Stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD wynosi 1:3.

\[P_{KLMN}:P_{ABCD}=1:3\]

Sprawdzenie

Dla boku kwadratu długości a obie jego przekątne mają długość a√2. Otrzymane długości KM i LN dają pole wewnętrznego czworokąta równe a²/3, a pole kwadratu wynosi a².

\[P_{KLMN}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\frac{2a\sqrt2}{3}=\frac{a^2}{3},\qquad P_{ABCD}=a^2\]

Zadanie 32

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

31%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są punkty \(A=(-4,0)\) i \(M=(2,9)\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(y=-2x+10\). Wierzchołek \(B\) trójkąta \(ABC\) to punkt przecięcia prostej \(k\) z osią \(Ox\) układu współrzędnych, a wierzchołek \(C\) jest punktem przecięcia prostej \(k\) z prostą \(AM\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu B

Punkt na osi Ox ma drugą współrzędną równą zero, więc podstawiamy y=0 do równania prostej k.

\[0=-2x+10\quad\Rightarrow\quad x=5,\qquad B=(5,0)\]

2 Równanie prostej AM

Obliczamy współczynnik kierunkowy z dwóch danych punktów, a następnie podstawiamy punkt A do równania prostej.

\[a=\frac{9-0}{2-(-4)}=\frac32,\qquad y=\frac32(x+4)=\frac32x+6\]

3 Wyznaczenie punktu C

Punkt C należy do obu prostych, dlatego przyrównujemy ich prawe strony.

\[\frac32x+6=-2x+10\quad\Rightarrow\quad \frac72x=4\quad\Rightarrow\quad x=\frac87,\qquad y=\frac32\cdot\frac87+6=\frac{54}{7}\]

4 Obliczenie pola

Odcinek AB leży na osi Ox, więc jego długość jest podstawą, a druga współrzędna punktu C jest wysokością trójkąta.

\[|AB|=5-(-4)=9,\qquad P=\frac12\cdot9\cdot\frac{54}{7}=\frac{243}{7}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ABC wynosi 243/7 jednostek kwadratowych.

\[P_{ABC}=\frac{243}{7}\]

Sprawdzenie

Punkt C spełnia równanie prostej k, a podstawa AB i wysokość są dodatnie.

\[-2\cdot\frac87+10=\frac{54}{7},\qquad |AB|=9>0,\qquad h=\frac{54}{7}>0\]

Zadanie 34

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

31%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych losowań

Liczb dwucyfrowych jest 90. Ponieważ losujemy bez zwracania, w drugim losowaniu pozostaje 89 liczb.

\[|\Omega|=90\cdot89=8010\]

2 Liczba losowań sprzyjających

Jeśli pierwsza liczba wynosi a, druga musi wynosić 30−a. Obie są dwucyfrowe dla a od 10 do 20. Spośród tych 11 możliwości odrzucamy a=15, bo liczby 15 nie można wylosować dwa razy.

\[10\leq a\leq20,\qquad 11-1=10\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę losowań sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych losowań i skracamy ułamek.

\[P=\frac{10}{8010}=\frac{1}{801}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 1/801.

\[\frac{1}{801}\]

Sprawdzenie

Pary różnych liczb o sumie 30 to (10, 20), (11, 19), (12, 18), (13, 17) i (14, 16). Każdą można wylosować w dwóch kolejnościach, co daje 10 losowań sprzyjających. Ułamek 1/801 jest nieskracalny.

\[5\cdot2=10,\qquad \frac{10}{90\cdot89}=\frac{1}{801}\]