Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 24 z 28

Sortuj:

Zadanie 12.3

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3,6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$.

$Fragment wykresu paraboli $y=f(x)$ w układzie współrzędnych$

Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x)=f(x)-3$. Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma $x_1+x_2$ jest równa ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsze miejsce zerowe

Miejsca zerowe funkcji g spełniają warunek f(x)=3. Ponieważ parabola przecina oś Oy w punkcie (0,3), jednym z nich jest 0.

\[g(0)=f(0)-3=3-3=0,\quad x_1=0\]

2 Drugie miejsce zerowe

Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek i ma równanie x=3. Punkty wykresu o tej samej wartości y leżą w równej odległości od tej osi, więc drugim miejscem zerowym jest 6.

\[\frac{x_1+x_2}{2}=3\quad\Longrightarrow\quad x_2=6\]

Odpowiedź

Suma miejsc zerowych jest równa 6.

\[x_1+x_2=0+6=6\]

Sprawdzenie

Liczby 0 i 6 są różne, a ich średnia wynosi 3, czyli leżą symetrycznie względem osi paraboli. Ponieważ f(0)=3, symetria daje także f(6)=3; obie liczby są więc miejscami zerowymi g.

\[g(0)=g(6)=0,\qquad \frac{0+6}{2}=3\]

Zadanie 14.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: \[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie początkowych wyrazów

Do oceny obu stwierdzeń wystarczą trzy pierwsze wyrazy ciągu. Korzystamy z podanego wzoru rekurencyjnego.

\[a_1=2,\quad a_2=2\cdot2+1=5,\quad a_3=2\cdot5+1=11\]

2 Sprawdzenie arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe. Tutaj otrzymujemy różne różnice.

\[a_2-a_1=5-2=3,\qquad a_3-a_2=11-5=6,\qquad 3\ne6\]

3 Sprawdzenie geometryczności

W ciągu geometrycznym ilorazy kolejnych wyrazów są równe. Wyznaczone wyrazy są niezerowe, więc możemy obliczyć ilorazy.

\[\frac{a_2}{a_1}=\frac52,\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{11}{5},\qquad \frac52\ne\frac{11}{5}\]

Odpowiedź

Ciąg arytmetyczny — F. Ciąg geometryczny — F.

\[\text{arytmetyczny: F, geometryczny: F}\]

Sprawdzenie

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego środkowy jest średnią sąsiednich, a dla geometrycznego jego kwadrat jest iloczynem sąsiednich. Żaden z tych warunków nie zachodzi.

\[2a_2=10\ne13=a_1+a_3,\qquad a_2^2=25\ne22=a_1a_3\]

Zadanie 8

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie $\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $-1$.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $1$.

ma dokładnie dwa rozwiązania: $-1$ oraz $1$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy obie wartości zerujące jego czynniki.

\[(x-1)(x+1)^2\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 1\ \text{oraz}\ x\neq -1\]

2 Sprawdzenie warunku równości zero

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[(x+1)(x-1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Odpowiedź A.

\[\varnothing\]

Sprawdzenie

Obie wartości zerujące licznik są wykluczone z dziedziny, ponieważ zerują także mianownik. Zatem żadna liczba rzeczywista nie spełnia równania.

\[x=-1\ \text{lub}\ x=1\quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x+1)^2=0\]

Zadanie 19

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej $f$. Na wykresie tej funkcji leżą punkty $A=(0,4)$ i $B=(2,2)$.

Obrazem prostej $AB$ w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji $g$ określonej wzorem

Wykres funkcji liniowej w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi punktami A i B

$g(x)=x+4$

$g(x)=x-4$

$g(x)=-x-4$

$g(x)=-x+4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktów po symetrii

Symetria względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych każdego punktu.

\[(x,y)\mapsto(-x,-y),\quad A'=(0,-4),\quad B'=(-2,-2)\]

2 Wyznaczenie wzoru funkcji

Obraz prostej przechodzi przez punkty A' i B'. Z ich współrzędnych obliczamy współczynnik kierunkowy, a z punktu A' odczytujemy wyraz wolny.

\[a=\frac{-2-(-4)}{-2-0}=-1,\quad b=-4,\quad g(x)=-x-4\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[g(x)=-x-4\]

Sprawdzenie

Oba obrazy punktów leżą na wykresie otrzymanej funkcji.

\[g(0)=-4,\qquad g(-2)=2-4=-2\]

Zadanie 7

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie $\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0$

ma trzy rozwiązania: $x=-2$, $x=0$, $x=2$

ma dwa rozwiązania: $x=0$, $x=-2$

ma dwa rozwiązania: $x=-2$, $x=2$

ma jedno rozwiązanie: $x=0$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[x^2-4=(x-2)(x+2)\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -2,\;x\neq 2\]

2 Wyzerowanie licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera. Spośród dwóch kandydatów tylko $x=0$ należy do dziedziny.

\[x^2+2x=x(x+2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\;\text{lub}\;x=-2\]

Odpowiedź

Równanie ma jedno rozwiązanie: $x=0$. Odpowiedź D.

\[x=0\]

Sprawdzenie

Dla $x=0$ mianownik wynosi $-4$, a wartość ułamka wynosi $0$. Wartość $x=-2$ jest wykluczona, bo zeruje mianownik.

\[\frac{0^2+2\cdot 0}{0^2-4}=\frac{0}{-4}=0\]

Zadanie 5

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równość $\left(x\sqrt{2}-2\right)^2=\left(2+\sqrt{2}\right)^2$ jest

prawdziwa dla $x=-\sqrt{2}$.

prawdziwa dla $x=\sqrt{2}$.

prawdziwa dla $x=-1$.

fałszywa dla każdej liczby $x$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie kwadratów

Kwadraty dwóch liczb są równe, gdy liczby te są równe lub przeciwne.

\[x\sqrt{2}-2=2+\sqrt{2}\quad\text{lub}\quad x\sqrt{2}-2=-(2+\sqrt{2})\]

2 Rozwiązanie obu równań

W każdym równaniu wyznaczamy x, dzieląc przez niezerową liczbę $\sqrt{2}$.

\[x\sqrt{2}=4+\sqrt{2}\Rightarrow x=2\sqrt{2}+1;\qquad x\sqrt{2}=-\sqrt{2}\Rightarrow x=-1\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C. Równość jest prawdziwa dla $x=-1$.

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Dla $x=-1$ lewa strona jest kwadratem liczby przeciwnej do $2+\sqrt{2}$, więc strony są równe. Drugi otrzymany wynik nie występuje w odpowiedziach.

\[(-\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2\]

Zadanie 25

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

$p=\frac{1}{4}$

$p=\frac{3}{8}$

$p=\frac{1}{2}$

$p=\frac{2}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich wyników

Z każdego pojemnika można wylosować kulę czerwoną albo niebieską, więc liczba jednakowo prawdopodobnych wyników wynosi:

\[2\cdot2\cdot2=8\]

2 Policzenie wyników sprzyjających

Wybieramy dwa spośród trzech pojemników, z których wypadną kule czerwone. Każdy taki wynik ma prawdopodobieństwo jednej ósmej.

\[p=\frac{\binom{3}{2}}{8}=\frac{3}{8}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/8. Odpowiedź B.

\[p=\frac{3}{8}\]

Sprawdzenie

Wyniki z dokładnie dwiema czerwonymi kulami to: czerwona–czerwona–niebieska, czerwona–niebieska–czerwona i niebieska–czerwona–czerwona. Są trzy spośród ośmiu wyników.

\[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\]

Zadanie 33

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletów	Liczba osób
ulgowe	76
normalne	41

Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba osób, które kupiły bilet

Osoby, które kupiły oba rodzaje biletów, zostały policzone dwa razy, więc odejmujemy je raz.

\[76+41-27=90\]

2 Liczba osób, które nie kupiły żadnego biletu

Od liczby wszystkich ankietowanych odejmujemy liczbę osób, które kupiły co najmniej jeden bilet.

\[115-90=25\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę osób, które nie kupiły biletu, przez liczbę wszystkich ankietowanych, a następnie skracamy ułamek.

\[P=\frac{25}{115}=\frac{5}{23}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 5/23.

\[\frac{5}{23}\]

Sprawdzenie

90 osób kupiło co najmniej jeden bilet, a 25 osób żadnego; razem daje to 115. Liczby 5 i 23 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, więc ułamek jest nieskracalny.

\[90+25=115,\qquad \gcd(5,23)=1\]

Zadanie 21

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

46%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wynika stąd, że miara $\alpha$ kąta $DAS$ jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B, C i D na obwodzie; zaznaczone kąty przy B, C i D oraz kąt α między AD i AS.

$25^\circ$

$30^\circ$

$35^\circ$

$40^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy A

W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przeciwległe sumują się do 180°.

\[|\angle DAB|=180^\circ-110^\circ=70^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta BAC

Promienie SB i SC są równe, więc trójkąt SBC jest równoramienny. Jego kąty przy B i C mają po 60°, zatem kąt środkowy BSC ma 60°. Kąt wpisany BAC oparty na tym samym łuku BC jest dwa razy mniejszy.

\[|\angle BSC|=180^\circ-2\cdot60^\circ=60^\circ,\qquad |\angle BAC|=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\]

3 Obliczenie α

Kąt CDA jest prosty, więc CA jest średnicą okręgu, a punkt S leży na CA. Stąd kąt DAS jest kątem DAC.

Odpowiedź

α = 40°, odpowiedź D.

\[\boxed{\alpha=40^\circ}\]

Sprawdzenie

W trójkącie ACD pozostały kąt ACD ma 50°. Ponieważ CA jest średnicą, kąt ABC ma 90°, więc BCA ma 60°. Otrzymujemy BCD = 60° + 50° = 110°, zgodnie z danymi.

\[|\angle ACD|=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ,\quad |\angle BCA|=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ,\quad 50^\circ+60^\circ=110^\circ\]

Zadanie 30

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

46%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=a^x$ (gdzie $a>0$ i $a\neq 1$), należy punkt $P=(2,9)$. Oblicz $a$ i zapisz zbiór wartości funkcji $g$, określonej wzorem $g(x)=f(x)-2$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie podstawy

Punkt $P=(2,9)$ należy do wykresu, więc $f(2)=9$. Ponieważ $a>0$, wybieramy dodatni pierwiastek.

\[a^2=9\quad\Longrightarrow\quad a=3\]

2 Zbiór wartości funkcji g

Funkcja $3^x$ przyjmuje wszystkie wartości dodatnie. Odjęcie 2 od każdej wartości przesuwa zbiór wartości o 2 w dół.

\[3^x\in(0,\infty)\quad\Longrightarrow\quad g(x)=3^x-2\in(-2,\infty)\]

Odpowiedź

Podstawa wynosi $a=3$, a zbiorem wartości funkcji $g$ jest $(-2,\infty)$.

\[a=3,\qquad W_g=(-2,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla $a=3$ otrzymujemy $f(2)=3^2=9$. Ponadto $g(x)>-2$ dla każdego $x$, a każdą wartość $y>-2$ otrzymujemy dla $x=\log_3(y+2)$.

\[f(2)=3^2=9,\qquad g(\log_3(y+2))=y\quad\text{dla }y>-2\]

Zadanie 32

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

46%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy $\frac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przekątnej podstawy

Przekątna podstawy jest rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę. Z podanego cosinusa otrzymujemy sinus kąta równy $\frac45$, więc przekątna podstawy ma długość 12.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45,\qquad d=\frac{16}{\sin\alpha}=20,\qquad p=d\cos\alpha=20\cdot\frac35=12\]

2 Obliczenie boku kwadratu

Podstawą jest kwadrat, którego przekątna ma długość $a\sqrt2$.

\[a\sqrt2=12\quad\Rightarrow\quad a=6\sqrt2\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Dodajemy pola dwóch kwadratowych podstaw i czterech ścian bocznych o wymiarach $a$ i 16.

\[P_c=2a^2+4a\cdot16=2\left(6\sqrt2\right)^2+64\cdot6\sqrt2=144+384\sqrt2\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi $144+384\sqrt2$ jednostek kwadratowych.

\[P_c=144+384\sqrt2\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanego boku przekątna podstawy wynosi 12, a przekątna graniastosłupa 20. Jej cosinus kąta nachylenia do podstawy jest więc równy podanej wartości.

\[\sqrt{(6\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2}=12,\qquad \sqrt{12^2+16^2}=20,\qquad \cos\alpha=\frac{12}{20}=\frac35\]

Zadanie 22

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

45%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|BC|=6$. Miara kąta $ACB$ jest równa $150^\circ$ (zobacz rysunek).

Wysokość trójkąta $ABC$ opuszczona z wierzchołka $B$ jest równa

Trójkąt ABC z bokiem BC oznaczonym 6 i kątem ACB oznaczonym 150°.

$3$

$4$

$3\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Wysokość z wierzchołka B jest odległością punktu B od prostej AC. Ponieważ kąt przy C jest rozwarty, podstawa wysokości leży na przedłużeniu boku AC. Korzystamy z sinusa kąta 150°.

\[h=|BC|\sin\angle ACB=6\sin150^\circ=6\cdot\frac12=3\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi 3. Odpowiedź A.

\[h=3\]

Sprawdzenie

Kąt ostry między BC a przedłużeniem AC ma 30°, więc w powstałym trójkącie prostokątnym wysokość jest połową przeciwprostokątnej długości 6.

\[h=6\sin30^\circ=3\]

Zadanie 10

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

45%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej na zbiorze $\langle -4,5\rangle$.

Funkcję $g$ określono za pomocą funkcji $f$. Wykres funkcji $g$ przedstawiono na rysunku 2.

Wynika stąd, że

Rysunek 1. Wykres y=f(x) w układzie współrzędnych; łamana przechodzi przez punkty (-4,1), (-2,-1), (0,2), (5,-3), z zamalowanymi końcami.

Rysunek 2. Wykres y=g(x) w układzie współrzędnych; łamana przechodzi przez punkty (-6,1), (-4,-1), (-2,2), (3,-3), z zamalowanymi końcami.

$g(x)=f(x)-2$

$g(x)=f(x-2)$

$g(x)=f(x)+2$

$g(x)=f(x+2)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie punktów wykresów

Odpowiadające sobie punkty mają te same wartości funkcji, a ich argumenty na wykresie g są o 2 mniejsze.

\[(-4,1)\mapsto(-6,1),\quad (0,2)\mapsto(-2,2),\quad (5,-3)\mapsto(3,-3)\]

2 Zapis przesunięcia

Przesunięcie wykresu funkcji f o 2 jednostki w lewo otrzymujemy, zastępując x przez x+2.

\[g(x)=f(x+2)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[g(x)=f(x+2)\]

Sprawdzenie

Dziedzina po przesunięciu to przedział od −6 do 3, zgodny z końcami wykresu g.

\[-4\le x+2\le 5\iff -6\le x\le 3\]

Zadanie 34

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

45%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta $\alpha$.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wierzchołku S i podstawie ABCD. Krawędzie AB i BC oznaczono liczbą 6; przy wierzchołku A zaznaczono kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola ścian bocznych

Pole podstawy wynosi 36, a pole całkowite 144. Odejmujemy pole podstawy i dzielimy wynik przez cztery jednakowe ściany boczne.

\[P_p=6^2=36,\qquad P_b=4\cdot36-36=108,\qquad P_{\triangle SAB}=\frac{108}{4}=27\]

2 Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Niech O będzie środkiem podstawy, a M środkiem boku AB. Wysokość ściany bocznej SM obliczamy z jej pola. Następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOM.

\[27=\frac{1}{2}\cdot6\cdot SM\Rightarrow SM=9,\qquad OM=3,\qquad SO^2=SM^2-OM^2=9^2-3^2=72\]

3 Obliczenie cosinusa kąta

Rzutem krawędzi AS na podstawę jest AO, więc $\alpha=\angle SAO$. Połowa przekątnej kwadratu ma długość $AO=3\sqrt2$. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy AS, a następnie cosinus w trójkącie prostokątnym ASO.

\[AO=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2,\qquad AS=\sqrt{SO^2+AO^2}=\sqrt{72+18}=3\sqrt{10},\qquad \cos\alpha=\frac{AO}{AS}=\frac{3\sqrt2}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt5}{5}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi $\frac{\sqrt5}{5}$.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\]

Sprawdzenie

W trójkącie ASO zachodzi $AO^2+SO^2=18+72=90=AS^2$. Otrzymany cosinus należy do przedziału $(0,1)$, zgodnie z ostrym kątem nachylenia.

\[(3\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2=(3\sqrt{10})^2,\qquad 0<\frac{\sqrt5}{5}<1\]

Zadanie 26

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

44%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$. Punkty $E, F, G, B$ są wierzchołkami ostrosłupa $EFGB$ (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa $EFGB$ jest równe

Sześcian ABCDEFGH z zaznaczonym ostrosłupem EFGB i krawędzią a

$a^2$

$\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$

$\frac{3}{2}a^2$

$\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Trzy ściany prostokątne

Trójkąty EFG, EFB i FGB są prostokątne. W każdym przyprostokątne są krawędziami sześcianu długości a, więc każdy ma pole $\frac{a^2}{2}$.

\[P_{EFG}+P_{EFB}+P_{FGB}=3\cdot\frac{a\cdot a}{2}=\frac{3a^2}{2}\]

2 Czwarta ściana

Odcinki EG, EB i BG są przekątnymi ścian sześcianu. Trójkąt EGB jest zatem równoboczny o boku $a\sqrt{2}$.

\[P_{EGB}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\]

3 Pole całkowite

Dodajemy pola czterech trójkątnych ścian ostrosłupa.

\[P_c=\frac{3a^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[P_c=\frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2\]

Sprawdzenie

Dla a > 0 każda z trzech ścian prostokątnych ma pole $\frac{a^2}{2}$, a ściana równoboczna ma pole $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$. Ich suma ma jednostkę pola i zgadza się z odpowiedzią D.

\[3\cdot\frac{a^2}{2}+\frac{\sqrt{3}a^2}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2\]

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.	P	F