Zadanie 21 — matura 2021, maj

Zadanie 21 — matura 2021, maj. Matematyka podstawowa, F-2015. Treść zadania i rozwiązanie krok po kroku.

← Wszystkie zadania z matematyki
Zadanie 21
Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
46%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Miary kątów \(SBC\), \(BCD\), \(CDA\) są równe odpowiednio: \(|\angle SBC|=60^\circ\), \(|\angle BCD|=110^\circ\), \(|\angle CDA|=90^\circ\) (zobacz rysunek).

Wynika stąd, że miara \(\alpha\) kąta \(DAS\) jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B, C i D na obwodzie; zaznaczone kąty przy B, C i D oraz kąt α między AD i AS.

A
\(25^\circ\)
B
\(30^\circ\)
C
\(35^\circ\)
D
\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy A

W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przeciwległe sumują się do 180°.

\[|\angle DAB|=180^\circ-110^\circ=70^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta BAC

Promienie SB i SC są równe, więc trójkąt SBC jest równoramienny. Jego kąty przy B i C mają po 60°, zatem kąt środkowy BSC ma 60°. Kąt wpisany BAC oparty na tym samym łuku BC jest dwa razy mniejszy.

\[|\angle BSC|=180^\circ-2\cdot60^\circ=60^\circ,\qquad |\angle BAC|=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\]

3 Obliczenie α

Kąt CDA jest prosty, więc CA jest średnicą okręgu, a punkt S leży na CA. Stąd kąt DAS jest kątem DAC.

\[\alpha=|\angle DAC|=|\angle DAB|-|\angle BAC|=70^\circ-30^\circ=40^\circ\]

Odpowiedź

α = 40°, odpowiedź D.

\[\boxed{\alpha=40^\circ}\]

Sprawdzenie

W trójkącie ACD pozostały kąt ACD ma 50°. Ponieważ CA jest średnicą, kąt ABC ma 90°, więc BCA ma 60°. Otrzymujemy BCD = 60° + 50° = 110°, zgodnie z danymi.

\[|\angle ACD|=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ,\quad |\angle BCA|=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ,\quad 50^\circ+60^\circ=110^\circ\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz