Matematyka — zadania maturalne

Ze zbioru ośmiu liczb \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(15\).

Rozwiąż równanie:

\(\frac{3x+2}{3x-2}=4-x\)

Pole prostokąta \(ABCD\) jest równe 90. Na bokach \(AB\) i \(CD\) wybrano – odpowiednio – punkty \(P\) i \(R\), takie, że \(\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}\) (zobacz rysunek).

Pole czworokąta \(APCR\) jest równe

Równość \(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1\) jest prawdziwa dla

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Różnica tego ciągu jest liczbą \(r=-4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\), jest równa \(16\).

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Różnica tego ciągu jest liczbą \(r=-4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\), jest równa 16.

Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_k=-78\).

Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?

W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze \(31^\circ\) (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(-2k+3)x+k-1\), gdzie \(k\in\mathbb{R}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) jest malejąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału

W układzie współrzędnych zaznaczono kąt \(\alpha\) o wierzchołku w punkcie \(O=(0,0)\). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez punkt \(P=(-3,1)\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja \(L(n)=-n^{2}+22n+279\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n\geq 1\) i \(n\leq 30\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^2}{2x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 1\). Wtedy dla argumentu \(x=\sqrt{3}-1\) wartość funkcji \(f\) jest równa

Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)>x-1\).

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \(n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).