Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 14 z 28

Sortuj:

Zadanie 1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \((\sqrt{32}-\sqrt{2})^2\) jest równa

\(16\)

\(18\)

\(30\)

\(34\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastka

Wyłączamy czynnik 16 spod pierwiastka, aby odjąć podobne wyrażenia.

\[\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2\]

2 Obliczenie kwadratu

Odejmujemy współczynniki przy pierwiastku i podnosimy wynik do kwadratu.

\[(\sqrt{32}-\sqrt2)^2=(4\sqrt2-\sqrt2)^2=(3\sqrt2)^2=9\cdot2=18\]

Odpowiedź

Wynik to 18, odpowiedź B.

\[18\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy również 18.

\[(\sqrt{32}-\sqrt2)^2=32-2\sqrt{64}+2=32-16+2=18\]

Zadanie 11.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla } x\in[-4,-2],\\3 & \text{dla } x\in(-2,2],\\-3x+9 & \text{dla } x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w kartezjańskim układzie współrzędnych, z osiami, grotami, oznaczeniami i etykietą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz przedziały

Dziedzina obejmuje wszystkie wartości x wymienione w definicji funkcji. Przedziały stykają się w punktach −2 i 2, które należą do dziedziny.

\[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4)=[-4,4)\]

Odpowiedź

1. Dziedziną funkcji f jest przedział [−4,4).

\[D_f=[-4,4)\]

Sprawdzenie

Liczba −4 należy do pierwszego przedziału, a 4 nie należy do żadnego. Punkty −2 i 2 są uwzględnione, więc w dziedzinie nie ma przerw.

\[-4\in D_f,\quad -2\in D_f,\quad 2\in D_f,\quad 4\notin D_f\]

Zadanie 11.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla }x\in[-4,-2]\\3 & \text{dla }x\in(-2,2]\\-3x+9 & \text{dla }x\in(2,4)\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi osiami, podziałką oraz końcami wykresu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wartości na poszczególnych przedziałach

Każdy wzór jest liniowy, więc o jego wartościach decydują wartości na końcach podanego przedziału oraz to, czy końce do niego należą.

\[x\in[-4,-2]\Rightarrow f(x)\in[1,3],\qquad x\in(-2,2]\Rightarrow f(x)=3,\qquad x\in(2,4)\Rightarrow f(x)\in(-3,3).\]

2 Połączenie otrzymanych zbiorów

Łączymy wartości przyjmowane przez wszystkie części funkcji.

\[[1,3]\cup\{3\}\cup(-3,3)=(-3,3].\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-3,3]\).

\[W_f=(-3,3]\]

Sprawdzenie

Wartość \(3\) jest przyjmowana, na przykład dla \(x=-2\). Wartość \(-3\) wymagałaby \(x=4\), który nie należy do dziedziny. Każda wartość pomiędzy \(-3\) a \(3\) jest przyjmowana na odcinku, gdzie \(f(x)=-3x+9\).

\[f(-2)=3,\qquad -3\cdot4+9=-3,\quad 4\notin(2,4)\]

Zadanie 11.3

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla } x\in[-4,-2]\\3 & \text{dla } x\in(-2,2]\\-3x+9 & \text{dla } x\in(2,4)\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, podziałką i oznaczeniami punktów końcowych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie wartości na kolejnych częściach dziedziny

Szukamy argumentów, dla których \(f(x)>0\). Na dwóch pierwszych przedziałach wartości funkcji są dodatnie, a na trzecim rozwiązujemy nierówność.

\[\begin{aligned}x\in[-4,-2]&:\quad f(x)=x+5\ge 1>0,\\x\in(-2,2]&:\quad f(x)=3>0,\\x\in(2,4)&:\quad -3x+9>0\iff x<3,\text{ więc }x\in(2,3).\end{aligned}\]

2 Połączenie przedziałów

Łączymy wszystkie otrzymane przedziały argumentów.

\[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,3)=[-4,3)\]

Odpowiedź

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału \([-4,3)\).

\[[-4,3)\]

Sprawdzenie

Lewy koniec należy do zbioru, bo \(f(-4)=1>0\). Prawy koniec nie należy, bo \(f(3)=0\); dla \(3<x<4\) wartości funkcji są ujemne.

\[f(-4)=1>0,\qquad f(3)=0,\qquad -3x+9<0\ \text{dla }3<x<4\]

Zadanie 11.4

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla }x\in[-4,-2],\\3 & \text{dla }x\in(-2,2],\\-3x+9 & \text{dla }x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=3\) jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie pierwszego przedziału

Na przedziale \([-4,-2]\) rozwiązujemy równanie wynikające ze wzoru funkcji.

\[x+5=3\iff x=-2\]

2 Sprawdzenie pozostałych przedziałów

Funkcja ma wartość \(3\) dla każdego \(x\in(-2,2]\). Z ostatniego wzoru otrzymujemy \(x=2\), ale ta część funkcji obowiązuje tylko dla \(x\in(2,4)\).

\[-3x+9=3\iff x=2\notin(2,4)\]

3 Połączenie rozwiązań

Do przedziału \((-2,2]\) dołączamy punkt \(-2\) uzyskany z pierwszego wzoru.

\[\{-2\}\cup(-2,2]=[-2,2]\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \([-2,2]\).

\[[-2,2]\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-2\) i \(x=2\) wartość funkcji wynosi \(3\), a dla każdego punktu między nimi funkcja jest stale równa \(3\). Poza tym przedziałem żaden z obowiązujących wzorów nie daje wartości \(3\).

\[f(-2)=-2+5=3,\qquad f(2)=3\]

Zadanie 21

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przez punkty \(A\) i \(B\), leżące na okręgu o środku \(O\), poprowadzono proste styczne do tego okręgu, przecinające się w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(ACB\) jest równa

Okrąg o środku O i styczne w punktach A i B przecinające się w punkcie C; zaznaczony kąt AOB ma miarę 140°.

\(20^\circ\)

\(35^\circ\)

\(40^\circ\)

\(70^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty przy punktach styczności

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc kąty przy A i B są proste.

\[\angle OAC=\angle OBC=90^\circ\]

2 Suma kątów czworokąta

W czworokącie AOBC suma kątów wynosi 360°, a z rysunku odczytujemy, że kąt AOB ma 140°.

\[\angle ACB=360^\circ-90^\circ-140^\circ-90^\circ=40^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ACB ma miarę 40°, czyli odpowiedź C.

\[\angle ACB=40^\circ\quad\text{(C)}\]

Sprawdzenie

Otrzymane kąty czworokąta AOBC sumują się do 360°.

\[90^\circ+140^\circ+90^\circ+40^\circ=360^\circ\]

Zadanie 27

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna liczb \(x, y, z\) jest równa 4.

Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(1+x\), \(2+y\), \(3+z\), \(14\), jest równa

\(6\)

\(9\)

\(8\)

\(13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy liczb

Ze wzoru na średnią arytmetyczną wyznaczamy sumę liczb x, y, z.

\[\frac{x+y+z}{3}=4\quad\Rightarrow\quad x+y+z=12\]

2 Obliczenie nowej średniej

Dodajemy cztery podane liczby i dzielimy ich sumę przez 4.

\[\frac{(1+x)+(2+y)+(3+z)+14}{4}=\frac{12+20}{4}=8\]

Odpowiedź

Średnia jest równa 8. Odpowiedź C.

\[8\]

Sprawdzenie

Suma czterech liczb wynosi 32, a średnia 8 pomnożona przez 4 również daje 32.

\[4\cdot 8=32=12+1+2+3+14\]

Zadanie 3

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozważamy przedziały liczbowe \((−\infty,5)\) i \(\langle−1,+\infty)\). Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedziałów?

\(6\)

\(5\)

\(4\)

\(7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie części wspólnej

Liczba należąca do obu przedziałów musi być co najmniej równa −1 i mniejsza od 5.

\[x\geq -1\quad\text{i}\quad x<5\]

2 Policzenie liczb całkowitych

Kolejne liczby całkowite spełniające te warunki to −1, 0, 1, 2, 3 i 4, czyli jest ich sześć.

\[4-(-1)+1=6\]

Odpowiedź

Do obu przedziałów należy 6 liczb całkowitych. Odpowiedź A.

\[6\]

Sprawdzenie

Liczba −1 należy do obu przedziałów, a 4 jest ostatnią liczbą całkowitą mniejszą od 5. Liczba 5 nie należy do pierwszego przedziału. Wyliczone liczby to dokładnie −1, 0, 1, 2, 3, 4.

\[\{-1,0,1,2,3,4\}\]

Zadanie 3

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

25%

33%

75%

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Nowa prowizja

Obniżenie o 1 punkt procentowy oznacza odjęcie 1% od dotychczasowej stawki 4%.

\[4\%-1\%=3\%\]

2 Procentowy spadek

Wielkość obniżki odnosimy do prowizji przed zmianą.

\[\frac{4\%-3\%}{4\%}\cdot100\%=25\%\]

Odpowiedź

Prowizja zmniejszyła się o 25%. Odpowiedź B.

\[25\%\]

Sprawdzenie

25% początkowej prowizji 4% to 1 punkt procentowy, więc po obniżce prowizja wynosi 3%.

\[\frac14\cdot4\%=1\%,\qquad4\%-1\%=3\%\]

Zadanie 9

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1,4\rangle\) jest równa

Wykres paraboli z wierzchołkiem W=(2,-4), miejscami zerowymi 0 i 4 oraz oznaczonymi osiami współrzędnych.

\(-3\)

\(-4\)

\(4\)

\(0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wzoru funkcji

Miejsca zerowe pozwalają zapisać funkcję w postaci iloczynowej. Podstawiamy współrzędne wierzchołka, aby obliczyć współczynnik.

\[f(x)=a x(x-4),\qquad -4=f(2)=a\cdot2\cdot(-2)=-4a,\qquad a=1.\]

2 Wyznaczenie największej wartości

Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc na przedziale domkniętym największą wartość przyjmuje na jednym z końców. Obliczamy obie wartości.

\[f(1)=1\cdot(1-4)=-3,\qquad f(4)=4\cdot(4-4)=0,\qquad \max_{x\in[1,4]}f(x)=0.\]

Odpowiedź

Największa wartość wynosi 0. Odpowiedź D.

\[\boxed{0}\]

Sprawdzenie

Dla liczb od 1 do 4 czynnik x jest dodatni, a czynnik x−4 niedodatni, więc f(x)≤0. W punkcie x=4 funkcja osiąga 0.

\[1\le x\le4\ \Longrightarrow\ x>0\ \land\ x-4\le0\ \Longrightarrow\ f(x)=x(x-4)\le0,\qquad f(4)=0.\]

Zadanie 12

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(3\)

\(\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz iloraz wyrazów

W ciągu geometrycznym przejście od trzeciego do piątego wyrazu oznacza dwukrotne pomnożenie przez iloraz q.

\[a_5=a_3q^2,\qquad \frac{a_5}{a_3}=q^2=\frac{1}{9}\]

2 Wyznacz iloraz

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc iloraz q też jest dodatni. Wybieramy dodatni pierwiastek.

\[q=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi 1/3. Odpowiedź A.

\[q=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Dla q = 1/3 iloraz piątego i trzeciego wyrazu wynosi 1/9, a dodatni iloraz zachowuje dodatniość wyrazów.

\[\frac{a_5}{a_3}=q^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\]

Zadanie 23

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Mediana zestawu sześciu danych liczb: \(4, 8, 21, a, 16, 25\), jest równa \(14\). Zatem

\(a=7\)

\(a=12\)

\(a=14\)

\(a=20\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal środkowe liczby

Przy sześciu danych mediana jest średnią trzeciej i czwartej liczby po uporządkowaniu. Aby wynosiła 14, liczba a musi leżeć między 8 a 16: dla a mniejszego lub równego 8 mediana wynosi 12, a dla a większego lub równego 16 jest co najmniej 16.

\[8<a<16\]

2 Oblicz a

W tym przedziale środkowymi liczbami są a i 16, więc ich średnia musi wynosić 14.

\[\frac{a+16}{2}=14\quad\Longrightarrow\quad a+16=28\quad\Longrightarrow\quad a=12\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: a = 12.

\[a=12\]

Sprawdzenie

Po uporządkowaniu liczb otrzymujemy 4, 8, 12, 16, 21, 25. Średnia dwóch środkowych liczb wynosi 14, a 12 należy do przyjętego przedziału.

\[\frac{12+16}{2}=14\]

Zadanie 33

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są dwa zbiory: \(A=\{100,200,300,400,500,600,700\}\) i \(B=\{10,11,12,13,14,15,16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Z każdego siedmioelementowego zbioru wybieramy jedną liczbę, więc wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne.

\[|A|\cdot|B|=7\cdot7=49\]

2 Reszty z dzielenia przez 3

Suma jest podzielna przez 3, gdy reszty składników wynoszą odpowiednio 0 i 0, 1 i 2 albo 2 i 1. W każdym zbiorze są dwie liczby o reszcie 0, trzy o reszcie 1 i dwie o reszcie 2.

\[A:\ (2,3,2),\qquad B:\ (2,3,2)\quad\text{dla reszt }(0,1,2)\]

3 Prawdopodobieństwo

Liczymy pary o pasujących resztach i dzielimy ich liczbę przez liczbę wszystkich par.

\[P=\frac{2\cdot2+3\cdot2+2\cdot3}{49}=\frac{16}{49}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 16/49.

\[\frac{16}{49}\]

Sprawdzenie

Pary o resztach (0,0), (1,2) i (2,1) dają odpowiednio 4, 6 i 6 wyników, razem 16. Liczby 16 i 49 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, więc ułamek jest nieskracalny.

\[4+6+6=16,\qquad \operatorname{NWD}(16,49)=1\]

Zadanie 19

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste \(k\) i \(l\) przecinają się pod kątem prostym w punkcie \(A=(-2,4)\). Prosta \(k\) jest określona równaniem \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\). Zatem prostą \(l\) opisuje równanie

\(y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\)

\(y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}\)

\(y=4x-12\)

\(y=4x+12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych mają iloczyn równy −1. Skoro dla prostej k wynosi on −1/4, to dla prostej l wynosi 4.

\[-\frac{1}{4}\cdot a_l=-1\quad\Rightarrow\quad a_l=4\]

2 Wyznaczenie równania prostej

Prosta l przechodzi przez punkt A=(-2,4), więc podstawiamy jego współrzędne do równania y=4x+b.

\[4=4\cdot(-2)+b\quad\Rightarrow\quad b=12\quad\Rightarrow\quad y=4x+12\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[y=4x+12\]

Sprawdzenie

Punkt A należy do obu prostych, a iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi −1.

\[4=4\cdot(-2)+12,\qquad 4=-\frac{1}{4}\cdot(-2)+\frac{7}{2},\qquad 4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1\]

Zadanie 15

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeżeli \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) oraz \(\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\), to

\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos\alpha=1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana tangensa na iloraz

Korzystamy z definicji tangensa, aby otrzymać równanie z sinusem i cosinusem.

\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\]

2 Wyznaczenie cosinusa

Ponieważ kąt jest ostry, \(\sin\alpha>0\) i \(\cos\alpha>0\). Możemy podzielić przez sinus, a następnie pomnożyć przez cosinus.

\[\frac{1}{\cos\alpha}=2\quad\Longrightarrow\quad\cos\alpha=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\cos\alpha=\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla ostrego kąta o cosinusie równym \(\frac{1}{2}\) mamy \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wtedy obie strony podanego równania są równe \(\sqrt{3}\).

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sin\alpha\]