Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 13 z 70

Sortuj:

Zadanie 2

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(256\cdot\sqrt[3]{8^2}\) jest równa

\(2^8\)

\(2^{10}\)

\(2^{16}\)

\(2^{36}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczb jako potęg dwójki

Sprowadzamy czynniki do tej samej podstawy, aby łatwo obliczyć iloczyn.

\[256\cdot\sqrt[3]{8^2}=2^8\cdot\sqrt[3]{(2^3)^2}\]

2 Obliczenie pierwiastka i iloczynu

Pierwiastek trzeciego stopnia z szóstej potęgi daje drugą potęgę, a przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[2^8\cdot\sqrt[3]{2^6}=2^8\cdot2^2=2^{10}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{10}\]

Sprawdzenie

Ponieważ pierwiastek sześcienny z 64 wynosi 4, wyjściowy iloczyn to 256 · 4 = 1024, czyli 2 do potęgi 10.

\[256\cdot\sqrt[3]{8^2}=256\cdot4=1024=2^{10}\]

Zadanie 3

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \((\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}\) jest równa

\(4-4\sqrt{3}\)

\(4-2\sqrt{3}\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy, aby uprościć pierwszą część wyrażenia.

\[(\sqrt{3}+1)^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}\]

2 Uprość pierwiastek i odejmij

Wyłączamy czynnik będący kwadratem spod pierwiastka. Wyrazy z pierwiastkiem się redukują.

\[(\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}=4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, czyli odpowiedź D.

\[4\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), oba wyrazy z \(\sqrt{3}\) mają przeciwne znaki i ich suma wynosi zero. Pozostaje 4, zgodnie z odpowiedzią D.

\[2\sqrt{3}-\sqrt{12}=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0\]

Zadanie 4

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(2+\log_3 5\) jest równa

\(\log_3 7\)

\(\log_3 10\)

\(\log_3 25\)

\(\log_3 45\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz 2 jako logarytm

Ponieważ \(3^2=9\), możemy zapisać obie liczby jako logarytmy o podstawie 3.

\[2=\log_3 9\]

2 Dodaj logarytmy

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów jego czynników.

\[2+\log_3 5=\log_3 9+\log_3 5=\log_3(9\cdot5)=\log_3 45\]

Odpowiedź

\[\log_3 45\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(45=3^2\cdot5\), rozłożenie logarytmu ponownie daje wyrażenie z treści zadania.

\[\log_3 45=\log_3(3^2\cdot5)=2+\log_3 5\]

Zadanie 5

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dana jest nierówność

\[8-\frac{1-2x}{2}\geq 3x\]

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie nierówności

Rozdzielamy ułamek, aby zebrać wyrazy z \(x\).

\[8-\frac{1-2x}{2}\geq 3x\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{15}{2}+x\geq 3x\]

2 Wyznaczenie zakresu rozwiązań

Odejmujemy \(x\) od obu stron i dzielimy przez dodatnią liczbę \(2\), więc zwrot nierówności się nie zmienia.

\[\frac{15}{2}\geq 2x\quad\Longleftrightarrow\quad x\leq\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\]

Odpowiedź

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest 3. Odpowiedź C.

\[x=3\quad\text{(C)}\]

Sprawdzenie

Liczba 3 spełnia nierówność, a następna liczba całkowita, 4, już jej nie spełnia.

\[x=3:\quad 8-\frac{1-6}{2}=\frac{21}{2}\geq 9;\qquad x=4:\quad 8-\frac{1-8}{2}=\frac{23}{2}<12\]

Zadanie 6

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie \(4(x-1)^2(x^2-25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

dwa rozwiązania.

trzy rozwiązania.

cztery rozwiązania.

pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Stała 4 nie jest zerem, więc iloczyn jest równy zeru wtedy, gdy zeruje się jeden z pozostałych czynników.

\[4(x-1)^2(x^2-25)=0\iff (x-1)^2=0\ \text{lub}\ x^2-25=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań

Pierwsze równanie daje jedno rozwiązanie, a drugie rozwiązujemy przez rozkład różnicy kwadratów.

\[(x-1)^2=0\iff x=1,\qquad x^2-25=(x-5)(x+5)=0\iff x=5\ \text{lub}\ x=-5\]

Odpowiedź

Równanie ma trzy rozwiązania: −5, 1 i 5. Odpowiedź B.

\[x\in\{-5,1,5\}\]

Sprawdzenie

Liczby −5 i 5 zerują czynnik x²−25, a liczba 1 zeruje czynnik (x−1)². Są to trzy różne liczby rzeczywiste; zasada iloczynu zerowego wyklucza inne rozwiązania.

\[(-5)^2-25=0,\qquad (1-1)^2=0,\qquad 5^2-25=0\]

Zadanie 7

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, oznaczeniami i zaznaczonymi końcami odcinków.

\((-5,3\rangle\)

\(\langle-5,3)\)

\(\langle-1,2)\)

\(\langle-1,2\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt końców wykresu

Dziedzina to zbiór wartości x, dla których wykres ma punkt. Przy x=-5 jest kółko niezamalowane, więc -5 nie należy do dziedziny. Przy x=3 punkt jest zamalowany, więc 3 należy do dziedziny.

\[-5<x\leq 3\]

2 Sprawdzenie połączenia części wykresu

Dla x=1 punkt na wysokości -1 jest zamalowany, dlatego mimo niezamalowanego punktu na osi x nie ma przerwy w dziedzinie.

\[f(1)=-1\]

Odpowiedź

Dziedziną jest przedział (-5,3⟩. Odpowiedź A.

\[D_f=(-5,3\rangle\]

Sprawdzenie

Każdej liczbie x między -5 a 3 odpowiada punkt wykresu; -5 jest wyłączone, a 3 włączone.

\[1\in D_f,\quad -5\notin D_f,\quad 3\in D_f\]

Zadanie 8

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)<f(-3)\) jest przedział

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych z osiami, grotami, oznaczeniami i etykietami.

\((-5,-3)\)

\((-5,-3\rangle\)

\(\langle-3,1)\)

\((-3,1\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości funkcji

Wykres przecina oś \(x\) dla \(x=-3\), więc wartość, z którą porównujemy \(f(x)\), wynosi zero.

\[f(-3)=0\quad\Rightarrow\quad f(x)<f(-3)\iff f(x)<0\]

2 Odczyt rozwiązań

Szukamy punktów wykresu poniżej osi \(x\). Są one dla \(-3<x\leq 1\); punkt przy \(x=1\) jest zamalowany i ma wartość \(-1\).

\[-3<x\leq 1\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \((-3,1\rangle\), czyli odpowiedź D.

\[x\in(-3,1\rangle\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-3\) zachodzi równość \(f(-3)=0\), więc ten koniec wykluczamy. Dla \(x=1\) mamy \(f(1)=-1<0\), więc ten koniec włączamy.

\[f(-3)=0,\qquad f(1)=-1<0\]

Zadanie 9

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x-k\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest liczbą większą od \(2\).

Liczba \(k\) należy do przedziału

\((-\infty,-1)\)

\((-1,0)\)

\((0,1)\)

\((1,+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsca zerowego

W miejscu zerowym wartość funkcji jest równa zero, więc rozwiązujemy równanie \(f(x)=0\).

\[\frac{1}{2}x-k=0\quad\Longrightarrow\quad x=2k\]

2 Zastosowanie warunku z treści

Miejsce zerowe jest większe od \(2\), zatem rozwiązujemy nierówność dla \(k\).

\[2k>2\quad\Longrightarrow\quad k>1\]

Odpowiedź

Liczba \(k\) należy do przedziału \((1,+\infty)\). Odpowiedź D.

\[k\in(1,+\infty)\]

Sprawdzenie

Dla każdego \(k>1\) miejsce zerowe \(2k\) jest większe od \(2\). Wartość \(k=1\) daje miejsce zerowe równe \(2\), więc nie należy do szukanego przedziału.

\[k>1\Longrightarrow 2k>2;\qquad k=1\Longrightarrow 2k=2\]

Zadanie 10

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=5x\). W układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi \(Ox\) i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej \(g\).

Funkcja \(g\) jest określona wzorem

\(g(x)=5x-5\)

\(g(x)=5x-1\)

\(g(x)=5x+1\)

\(g(x)=5x+5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz przesunięcie

Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w prawo oznacza zastąpienie argumentu x przez x−1.

\[g(x)=f(x-1)\]

2 Oblicz wzór funkcji

Podstawiamy x−1 do wzoru funkcji f i usuwamy nawias.

\[g(x)=5(x-1)=5x-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[g(x)=5x-5\]

Sprawdzenie

Punkt (0,0) należący do wykresu f po przesunięciu w prawo przechodzi w (1,0). Otrzymany wzór daje g(1)=0.

\[g(1)=5\cdot1-5=0\]

Zadanie 11

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(500+50x)(16-x)\).

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,14\rangle\) jest równa

\(f(3)\)

\(f(4)\)

\(f(7)\)

\(f(14)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie wzoru

Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej, aby odczytać wierzchołek paraboli.

\[f(x)=(500+50x)(16-x)=-50x^2+300x+8000=-50(x-3)^2+8450\]

2 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc największą wartość otrzymujemy dla \(x=3\). Liczba \(3\) należy do przedziału \([0,14]\).

\[f(3)=8450\]

Odpowiedź

Największa wartość wynosi 8450. Odpowiedź A: \(f(3)\).

\[\max_{x\in[0,14]}f(x)=f(3)=8450\]

Sprawdzenie

Dla każdego \(x\) z podanego przedziału zachodzi \((x-3)^2\geq 0\), zatem \(f(x)\leq 8450\). Równość zachodzi dla \(x=3\), więc jest to maksimum w całym przedziale.

\[f(x)=8450-50(x-3)^2\leq 8450=f(3)\]

Zadanie 12

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=64^x\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Liczba \(f\left(-\frac{2}{3}\right)\) jest równa

\(\frac{1}{512}\)

\(\frac{1}{16}\)

\(16\)

\(512\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz podstawę jako potęgę dwójki

Ponieważ \(64=2^6\), łatwiej obliczyć potęgę o wykładniku ułamkowym.

\[f\left(-\frac{2}{3}\right)=\left(2^6\right)^{-\frac{2}{3}}\]

2 Oblicz potęgę

Mnożymy wykładniki, a ujemny wykładnik oznacza odwrotność.

\[\left(2^6\right)^{-\frac{2}{3}}=2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(\frac{1}{16}\).

\[f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{16}\]

Sprawdzenie

Po podniesieniu wyniku do trzeciej potęgi otrzymujemy \(64^{-2}\), zgodnie z wykładnikiem \(-\frac{2}{3}\).

\[\left(\frac{1}{16}\right)^3=\frac{1}{4096}=64^{-2}\]

Zadanie 13

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Suma \(S_3\) trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

\(18\)

\(24\)

\(60\)

\(90\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie trzech wyrazów

Podstawiamy do wzoru kolejno \(n=1,2,3\), ponieważ są to trzy początkowe wyrazy ciągu.

\[a_1=3\cdot1^2-3\cdot1=0,\quad a_2=3\cdot2^2-3\cdot2=6,\quad a_3=3\cdot3^2-3\cdot3=18\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy otrzymane wyrazy.

\[S_3=a_1+a_2+a_3=0+6+18=24\]

Odpowiedź

Suma wynosi 24. Odpowiedź B.

\[S_3=24\]

Sprawdzenie

Podstawienie sum liczb i ich kwadratów do wzoru na wyrazy daje ten sam wynik.

\[S_3=3(1^2+2^2+3^2)-3(1+2+3)=3\cdot14-3\cdot6=24\]

Zadanie 14

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((4,\ m,\ m-1)\) jest geometryczny, gdy liczba \(m\) jest równa

\((-3)\)

\((-2)\)

\(2\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[m^2=4(m-1)\]

2 Obliczenie wartości m

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na kwadrat.

\[m^2-4m+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad(m-2)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad m=2\]

Odpowiedź

m = 2, odpowiedź C.

\[m=2\]

Sprawdzenie

Dla m = 2 ciąg ma postać (4, 2, 1). Iloraz drugiego wyrazu przez pierwszy oraz trzeciego przez drugi wynosi 1/2, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]

Zadanie 15

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\) (zobacz rysunek).

Sinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{7}\).

Cosinus kąta \(\beta\) jest równy

Trójkąt prostokątny z kątem β przy górnym wierzchołku, kątem α przy prawym dolnym wierzchołku i oznaczonym kątem prostym przy lewym dolnym wierzchołku.

\(\frac{3}{7}\)

\(\frac{4}{7}\)

\(\frac{\sqrt{33}}{7}\)

\(\frac{4}{\sqrt{33}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal zależność między kątami

W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do \(90^\circ\).

\[\alpha+\beta=90^\circ\]

2 Zastosuj tożsamość dla kątów dopełniających

Cosinus jednego kąta ostrego jest sinusem drugiego, więc korzystamy z podanej wartości sinusa \(\alpha\).

\[\cos\beta=\sin\alpha=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta \(\beta\) wynosi \(\frac{4}{7}\). Odpowiedź B.

\[\boxed{\cos\beta=\frac{4}{7}}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(\beta=90^\circ-\alpha\), zachodzi \(\cos\beta=\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\frac{4}{7}\).

\[\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\frac{4}{7}\]

Zadanie 16

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Liczba \(\frac{\sin^3 25^\circ+\sin 25^\circ\cdot\cos^2 25^\circ}{\cos 25^\circ}\) jest równa

\(\sin 25^\circ\)

\(\cos 25^\circ\)

\(\operatorname{tg}25^\circ\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz sinus przed nawias

W obu składnikach licznika występuje \(\sin 25^\circ\), więc można go wyłączyć przed nawias.

\[\frac{\sin^3 25^\circ+\sin 25^\circ\cos^2 25^\circ}{\cos 25^\circ}=\frac{\sin 25^\circ(\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ)}{\cos 25^\circ}\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta wynosi 1. Ponieważ \(\cos 25^\circ\ne 0\), iloraz jest tangensem.

\[\frac{\sin 25^\circ(\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ)}{\cos 25^\circ}=\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}=\operatorname{tg}25^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\operatorname{tg}25^\circ\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy sinus kąta 25°, a licznik wyrażenia także jest równy temu sinusowi na mocy jedynki trygonometrycznej.

\[\operatorname{tg}25^\circ\cdot\cos 25^\circ=\sin 25^\circ=\sin 25^\circ(\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ)\]