Zbiór zadań maturalnych

Wyrażenia algebraiczne — zadania maturalne

Wyrażenia algebraiczne: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

39 zadańStrona 1 z 3

Sortuj:

Zadanie 4

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(x^3-2x^2+x\) jest równa wartości wyrażenia

\(x(x-1)^2\)

\(x(x-1)(x+1)\)

\((x-1)(x^2+1)\)

\((x+1)(x-1)^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik wyrażenia zawiera \(x\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)\]

2 Zastosuj wzór skróconego mnożenia

Trójmian w nawiasie jest kwadratem różnicy.

\[x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[x(x-1)^2\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu otrzymanego wyrażenia dostajemy wyjściowy wielomian dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).

\[x(x-1)^2=x(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x\]

Zadanie 6

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dane są wielomiany \(W\), \(V\) oraz \(H\) określone wzorami:

\(W(x)=x^4\)
\(V(x)=x^3+1\)
\(H(x)=x-2\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian \(W(x)-V(x)\cdot H(x)\) jest określony wzorem

\(2x^3-x+2\)

\(2x^3+x-2\)

\(x^4-x^3+x-2\)

\(x^4-x^3-x+2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Mnożenie wielomianów

Mnożymy każdy składnik wielomianu \(V(x)\) przez każdy składnik \(H(x)\), korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

\[V(x)\cdot H(x)=(x^3+1)(x-2)=x^4-2x^3+x-2\]

2 Odjęcie iloczynu

Odejmujemy otrzymany wielomian od \(W(x)\), zmieniając znaki wszystkich składników w nawiasie, a następnie redukujemy wyrazy podobne.

\[W(x)-V(x)\cdot H(x)=x^4-(x^4-2x^3+x-2)=2x^3-x+2\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[2x^3-x+2\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) wartość z danych wzorów wynosi \(3\); otrzymany wzór również daje \(3\).

\[W(1)-V(1)H(1)=1-2\cdot(-1)=3=2\cdot1^3-1+2\]

Zadanie 4

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(x^3-2x^2+x\) jest równa wartości wyrażenia

\(x(x-1)^2\)

\(x(x-1)(x+1)\)

\((x-1)(x^2+1)\)

\((x+1)(x-1)^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłączenie wspólnego czynnika

Każdy wyraz zawiera x, więc wyłączamy go przed nawias.

\[x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)\]

2 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Trójmian w nawiasie jest kwadratem różnicy, ponieważ \((x-1)^2=x^2-2x+1\).

\[x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[x^3-2x^2+x=x(x-1)^2\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu wyrażenia z odpowiedzi A otrzymujemy wyjściowy wielomian dla każdej liczby rzeczywistej x.

\[x(x-1)^2=x(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x\]

Zadanie 6

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(x^2+10x+25\) dla \(x=\sqrt{2}-5\) jest równa

\(2\)

\(\sqrt{2}\)

\(2-20\sqrt{2}\)

\(62-10\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Wyrażenie jest kwadratem sumy, więc można najpierw zapisać je w prostszej postaci.

\[x^2+10x+25=(x+5)^2\]

2 Podstawienie wartości x

Po podstawieniu liczby \(x=\sqrt{2}-5\) składniki \(-5\) i \(5\) się redukują.

\[(x+5)^2=(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 2. Odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla podanego x mamy \(x+5=\sqrt{2}\), a jego kwadrat jest równy 2, zgodnie z otrzymanym wynikiem.

\[(\sqrt{2})^2=2\]

Zadanie 5

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wartość wyrażenia \(x^2+10x+25\) dla \(x=\sqrt{2}-5\) jest równa

\(2\)

\(\sqrt{2}\)

\(2-20\sqrt{2}\)

\(62-10\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Wyrażenie jest kwadratem sumy, co upraszcza podstawienie.

\[x^2+10x+25=(x+5)^2\]

2 Podstawienie wartości x

Dla podanej wartości x suma x+5 jest równa pierwiastkowi z 2.

\[(x+5)^2=(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Po bezpośrednim podstawieniu i zredukowaniu wyrazów z pierwiastkiem również otrzymujemy 2.

\[(\sqrt{2}-5)^2+10(\sqrt{2}-5)+25=27-10\sqrt{2}+10\sqrt{2}-50+25=2\]

Zadanie 27

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność

\(a(a-b)\geq b(a-3b)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Nierówność jest równoważna temu, że różnica lewej i prawej strony jest nieujemna.

\[a(a-b)-b(a-3b)=a^2-2ab+3b^2\]

2 Zapisz różnicę jako sumę kwadratów

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc otrzymana suma jest nieujemna dla wszystkich rzeczywistych a i b.

\[a^2-2ab+3b^2=(a-b)^2+2b^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b. Równość zachodzi tylko dla a=b=0.

\[a(a-b)\geq b(a-3b)\quad\text{dla wszystkich }a,b\in\mathbb{R}\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy dokładnie różnicę stron nierówności. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy b=0 oraz a-b=0, czyli a=b=0; wówczas obie strony nierówności wynoszą zero.

\[(a-b)^2+2b^2=a^2-2ab+3b^2=a(a-b)-b(a-3b)\]

Zadanie 27

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(x^2 + y^2 > 4(x + y - 2)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przeniesienie wyrazów

Przenosimy prawą stronę na lewą, aby wykazać, że różnica jest dodatnia.

\[x^2+y^2-4(x+y-2)>0\]

2 Uzupełnienie kwadratów

Zapisujemy różnicę jako sumę kwadratów, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

\[x^2+y^2-4(x+y-2)=(x-2)^2+(y-2)^2\]

3 Wykazanie dodatniości

Ponieważ \(x\neq 2\), pierwszy kwadrat jest dodatni, a drugi jest nieujemny dla każdego rzeczywistego \(y\).

\[(x-2)^2>0,\quad (y-2)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad (x-2)^2+(y-2)^2>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdego rzeczywistego \(x\neq 2\) i każdego rzeczywistego \(y\).

\[x^2+y^2>4(x+y-2)\]

Sprawdzenie

Suma kwadratów może być równa zeru tylko wtedy, gdy jednocześnie \(x=2\) i \(y=2\). Warunek \(x\neq 2\) wyklucza ten przypadek.

\[(x-2)^2+(y-2)^2=0\iff x=2\ \land\ y=2\]

Zadanie 5

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((3x+2)^2-(2x-3)^2\) jest równa wartości wyrażenia

\(5x^2-5\)

\(5x^2+13\)

\(5x^2+24x-5\)

\(5x^2+24x-13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Rozkładamy wyrażenie na iloczyn, aby łatwo usunąć nawiasy.

\[(3x+2)^2-(2x-3)^2=\big((3x+2)-(2x-3)\big)\big((3x+2)+(2x-3)\big)=(x+5)(5x-1)\]

2 Wymnożenie nawiasów

Sprowadzamy iloczyn do postaci podanej w odpowiedziach.

\[(x+5)(5x-1)=5x^2-x+25x-5=5x^2+24x-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(5x^2+24x-5\).

\[5x^2+24x-5\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) wyrażenie początkowe ma wartość \(24\), tak samo jak otrzymany wielomian. Wszystkie przekształcenia są tożsamościami dla każdej liczby rzeczywistej.

\[(3\cdot1+2)^2-(2\cdot1-3)^2=25-1=24=5\cdot1^2+24\cdot1-5\]

Zadanie 27

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 0\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(5x^2+2y^2>2xy\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzamy nierówność do dodatniości różnicy

Odejmujemy prawą stronę i zapisujemy otrzymane wyrażenie jako sumę kwadratów.

\[5x^2+2y^2-2xy=(x-y)^2+4x^2+y^2\]

2 Wykazujemy nierówność ostrą

Kwadraty są nieujemne, a przy x\neq 0 składnik 4x^2 jest dodatni.

\[(x-y)^2+4x^2+y^2>0\]

Odpowiedź

Dla każdego x różnego od zera i każdego rzeczywistego y zachodzi podana nierówność.

\[5x^2+2y^2>2xy\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy dokładnie różnicę stron nierówności. Ponieważ 4x²>0 dla x≠0, różnica jest dodatnia niezależnie od y.

\[(x-y)^2+4x^2+y^2=x^2-2xy+y^2+4x^2+y^2=5x^2+2y^2-2xy>0\]

Zadanie 8

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od: \((-1)\), \(0\) i \(1\), wartość wyrażenia \(\frac{2x^2}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{x}\) jest równa wartości wyrażenia

\(2x+2\)

\(\frac{2x}{x-1}\)

\(\frac{2x}{x^2-1}\)

\(\frac{2x^3+1}{x^3-1}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż mianownik na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby wskazać czynniki, które można skrócić.

\[x^2-1=(x-1)(x+1)\]

2 Skróć wyrażenie

Ponieważ \(x\neq 0\) i \(x\neq -1\), możemy skrócić czynniki \(x\) oraz \(x+1\).

\[\frac{2x^2}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{x}=\frac{2x}{x-1}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{2x}{x-1}\]

Sprawdzenie

Dla dozwolonej wartości \(x=2\) wyrażenie początkowe i odpowiedź B mają tę samą wartość. Po skróceniu pozostaje mianownik \(x-1\), który jest różny od zera zgodnie z warunkiem zadania.

\[\frac{2\cdot 2^2}{2^2-1}\cdot\frac{2+1}{2}=4,\qquad \frac{2\cdot 2}{2-1}=4\]

Zadanie 9

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wielomian \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=(2-3x)^2\) oraz \(G(x)=3x-2\).

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Suma \(a+b+c+d\) współczynników wielomianu \(W\) jest równa .......... .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastąpienie sumy wartością wielomianu

Po podstawieniu \(x=1\) każda potęga \(x\) jest równa 1, więc \(W(1)=a+b+c+d\).

\[a+b+c+d=W(1)=F(1)G(1)\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy \(x=1\) do obu czynników.

\[F(1)=(2-3)^2=1,\qquad G(1)=3-2=1,\qquad W(1)=1\cdot1=1\]

Odpowiedź

Suma współczynników jest równa 1.

\[a+b+c+d=1\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(2-3x=-(3x-2)\), mamy \(W(x)=(3x-2)^3=27x^3-54x^2+36x-8\). Suma otrzymanych współczynników wynosi 1.

\[27-54+36-8=1\]

Zadanie 32

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\[x^2+49y^2>2(x+7y-1)\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, wystarczy sprawdzić, czy różnica jej stron jest dodatnia.

\[x^2+49y^2-2(x+7y-1)=x^2-2x+1+49y^2-14y+1\]

2 Zapisz różnicę jako sumę kwadratów

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy. Ponieważ \(x\neq 1\), pierwszy kwadrat jest dodatni, a drugi jest nieujemny.

\[(x-1)^2+(7y-1)^2>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x\neq 1\) i każdego rzeczywistego \(y\).

\[x^2+49y^2>2(x+7y-1)\]

Sprawdzenie

Różnica stron mogłaby być równa zeru tylko dla \(x=1\) oraz \(y=\frac17\). Warunek \(x\neq 1\) wyklucza ten przypadek.

\[(x-1)^2+(7y-1)^2=0\iff x=1\ \land\ y=\frac17\]

Zadanie 4

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2a+b)^2-(2a-b)^2\) jest równa wartości wyrażenia

\(8a^2\)

\(8ab\)

\(-8ab\)

\(2b^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadraty

Stosujemy wzory na kwadrat sumy i różnicy, aby zapisać wyrażenie jako sumę wyrazów podobnych.

\[(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2,\qquad (2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2\]

2 Odejmij wyrażenia

Po odjęciu wyrazy z \(a^2\) i \(b^2\) się redukują.

\[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-4ab+b^2)=8ab\]

Odpowiedź

Wynik to \(8ab\), czyli odpowiedź B.

\[8ab\]

Sprawdzenie

Wzór na różnicę kwadratów daje ten sam wynik dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\).

\[(2a+b)^2-(2a-b)^2=((2a+b)-(2a-b))((2a+b)+(2a-b))=2b\cdot4a=8ab\]

Zadanie 31

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x \neq y\), prawdziwa jest nierówność

\((3x+y)(x+3y)>16xy\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, obliczamy różnicę jej lewej i prawej strony.

\[(3x+y)(x+3y)-16xy=3x^2+10xy+3y^2-16xy=3(x-y)^2\]

2 Wykorzystaj warunek

Ponieważ x i y są rzeczywiste oraz x≠y, kwadrat ich różnicy jest dodatni.

\[x\neq y\implies (x-y)^2>0\implies (3x+y)(x+3y)-16xy>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych x≠y.

\[(3x+y)(x+3y)>16xy\]

Sprawdzenie

Różnica stron wynosi 3(x−y)². Jest dodatnia dokładnie przy x≠y, zgodnie z warunkiem zadania.

\[(3x+y)(x+3y)-16xy=3(x-y)^2>0\]

Zadanie 32

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) takiej, że \(b\ne a\), prawdziwa jest nierówność

\(a^2+3b^2+4>2a+6b\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, badamy różnicę jej stron.

\[a^2+3b^2+4-2a-6b>0\]

2 Uzupełnij do kwadratów

Suma kwadratów jest nieujemna, co pozwala ocenić różnicę.

\[a^2+3b^2+4-2a-6b=(a-1)^2+3(b-1)^2\]

3 Uzasadnij nierówność ostrą

Suma byłaby równa zeru tylko wtedy, gdyby \(a=1\) i \(b=1\). Warunek \(b\ne a\) wyklucza tę możliwość.

\[b\ne a\implies (a-1)^2+3(b-1)^2>0\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\ne a\) podana nierówność jest prawdziwa.

\[a^2+3b^2+4>2a+6b\]

Sprawdzenie

Równość stron zachodziłaby wyłącznie dla \(a=b=1\), co przeczy warunkowi \(b\ne a\). Zatem nierówność jest ściśle spełniona w całej wskazanej dziedzinie.

\[(a-1)^2+3(b-1)^2=0\iff a=b=1\]