Zbiór zadań maturalnych

Wyrażenia algebraiczne — zadania maturalne

Wyrażenia algebraiczne: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

39 zadańStrona 2 z 3

Sortuj:

Zadanie 7

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) i \(2\) wyrażenie \(\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x}\) jest równe

\(\frac{x^2+1}{x-2}\)

\(\frac{x+1}{2}\)

\(\frac{x^2}{(x-2)^2}\)

\(\frac{x+1}{x-2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż licznik na czynniki

Wyłączamy x przed nawias, aby wskazać czynniki, które można skrócić.

\[\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x}=\frac{x(x+1)(x-2)}{(x-2)^2x}\]

2 Skróć ułamek

Ponieważ x≠0 i x≠2, można skrócić przez x oraz x−2.

\[\frac{x(x+1)(x-2)}{(x-2)^2x}=\frac{x+1}{x-2}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D.

\[\frac{x+1}{x-2}\]

Sprawdzenie

Dla x=1, który spełnia warunki, wyrażenie z treści ma wartość −2. Otrzymany wynik ma tę samą wartość.

\[\frac{1^2+1}{(1-2)^2}\cdot\frac{1-2}{1}=-2=\frac{1+1}{1-2}\]

Zadanie 7

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{1}{2x}-x\) jest równa wartości wyrażenia

\(\frac{1}{x}\)

\(\frac{1-x}{2x}\)

\(\frac{1-2x^2}{2x}\)

\(-\frac{1}{2x}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do wspólnego mianownika

Ponieważ \(x\neq 0\), możemy zapisać \(x\) jako ułamek o mianowniku \(2x\) i odjąć liczniki.

\[\frac{1}{2x}-x=\frac{1}{2x}-\frac{2x^2}{2x}=\frac{1-2x^2}{2x}\]

2 Wybór odpowiedzi

Otrzymany ułamek występuje w odpowiedzi C.

\[\frac{1-2x^2}{2x}\]

Odpowiedź

\[\frac{1-2x^2}{2x}\]

Sprawdzenie

Dla każdego \(x\neq 0\) mianownik \(2x\) jest niezerowy. Rozdzielenie otrzymanego ułamka daje wyrażenie z treści zadania.

\[\frac{1-2x^2}{2x}=\frac{1}{2x}-\frac{2x^2}{2x}=\frac{1}{2x}-x\]

Zadanie 32

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(y\) takiej, że \(x>2y\), prawdziwa jest nierówność \[x^{2}+3xy-10y^{2}>0\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wyrażenie na czynniki

Postać iloczynu pozwala ustalić znak wyrażenia z założeń.

\[x^{2}+3xy-10y^{2}=(x+5y)(x-2y)\]

2 Ustal znaki czynników

Z założenia \(x>2y\) wynika \(x-2y>0\). Ponieważ \(y>0\), mamy też \(x>0\), więc \(x+5y>0\). Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni.

\[x-2y>0,\quad x+5y>0\quad\Longrightarrow\quad (x+5y)(x-2y)>0\]

Odpowiedź

Dla wszystkich podanych \(x\) i \(y\) nierówność jest prawdziwa.

\[x^{2}+3xy-10y^{2}>0\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu czynników otrzymujemy wyrażenie z tezy. Warunek \(x>2y\) zapewnia ścisłą dodatniość czynnika \(x-2y\); przy \(x=2y\) iloczyn byłby równy zeru.

\[(x+5y)(x-2y)=x^{2}+3xy-10y^{2}\]

Zadanie 5

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \(5-(4+2a)(4-2a)\) jest równe

\(-4a^{2}-16a-11\)

\(4a^{2}-11\)

\(-4a^{2}-11\)

\(4a^{2}+16a-11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Czynniki różnią się znakiem przy \(2a\), więc ich iloczyn jest różnicą kwadratów.

\[(4+2a)(4-2a)=4^2-(2a)^2=16-4a^2\]

2 Uproszczenie wyrażenia

Podstawiamy obliczony iloczyn, opuszczamy nawias i redukujemy liczby.

\[5-(16-4a^2)=5-16+4a^2=4a^2-11\]

Odpowiedź

Wyrażenie jest równe \(4a^2-11\). Odpowiedź B.

\[4a^2-11\]

Sprawdzenie

Dla \(a=1\) wyrażenie z zadania i otrzymany wynik mają wartość \(-7\). Przekształcenia są prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej \(a\).

\[5-(4+2)(4-2)=-7=4\cdot1^2-11\]

Zadanie 31

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \(2a^2-4ab+5b^2>0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uzupełnienie do kwadratu

Zapisujemy wyrażenie jako sumę składników, których znaki łatwo ustalić.

\[2a^2-4ab+5b^2=2(a-b)^2+3b^2\]

2 Wykazanie dodatniości

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a ponieważ \(b\neq 0\), mamy \(3b^2>0\). Cała suma jest więc dodatnia.

\[2(a-b)^2\geq 0,\qquad 3b^2>0\quad\Longrightarrow\quad 2a^2-4ab+5b^2>0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich podanych liczb \(a\) i \(b\).

\[2a^2-4ab+5b^2>0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Warunek \(b\neq 0\) zapewnia ścisłą dodatniość nawet wtedy, gdy \(a=b\).

\[2(a-b)^2+3b^2=2a^2-4ab+2b^2+3b^2=2a^2-4ab+5b^2\]

Zadanie 5

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((x-1)^2-(2-x)^2\) jest równe

\(2x-3\)

\(2x^2-6x-3\)

\((2x-3)^2\)

\(9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Wyrażenie jest różnicą kwadratów, więc można je zapisać jako iloczyn sumy i różnicy podstaw.

\[(x-1)^2-(2-x)^2=[(x-1)-(2-x)][(x-1)+(2-x)]\]

2 Uproszczenie czynników

Po opuszczeniu nawiasów drugi czynnik jest równy 1.

\[[(x-1)-(2-x)][(x-1)+(2-x)]=(2x-3)\cdot 1=2x-3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(2x-3\).

\[2x-3\]

Sprawdzenie

Bezpośrednie rozwinięcie kwadratów daje ten sam wynik dla każdego rzeczywistego \(x\).

\[(x^2-2x+1)-(x^2-4x+4)=2x-3\]

Zadanie 4

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \((3x+8y)^2\) jest równe

\(9x^2+48xy+64y^2\)

\(9x^2+64y^2\)

\(3x^2+48xy+8y^2\)

\(3x^2+8y^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

\[(3x+8y)^2=(3x)^2+2\cdot3x\cdot8y+(8y)^2\]

2 Obliczenie składników

Podnosimy składniki do kwadratu i obliczamy iloczyn mieszany.

\[(3x+8y)^2=9x^2+48xy+64y^2\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[9x^2+48xy+64y^2\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu nawiasów otrzymujemy te same trzy składniki, więc równość zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\).

\[(3x+8y)(3x+8y)=9x^2+24xy+24xy+64y^2=9x^2+48xy+64y^2\]

Zadanie 31

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie wyrażenia

Rozwijamy nawias i uzupełniamy kwadrat, aby zapisać wyrażenie jako sumę kwadratów.

\[b(5b-4a)+a^2=a^2-4ab+5b^2=(a-2b)^2+b^2\]

2 Uzasadnienie nierówności

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma tych kwadratów również jest nieujemna.

\[(a-2b)^2\geq 0,\quad b^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad b(5b-4a)+a^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b. Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy a=0 i b=0.

\[b(5b-4a)+a^2=(a-2b)^2+b^2\geq 0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu sumy kwadratów otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy oba kwadraty są zerowe: b=0 oraz a−2b=0, czyli a=b=0.

\[(a-2b)^2+b^2=a^2-4ab+4b^2+b^2=a^2-4ab+5b^2\]

Zadanie 28

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a<4\) i \(b<4\), to \(ab+16>4a+4b\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znaki czynników

Z obu założeń wynika, że liczby 4−a i 4−b są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni.

\[a<4\Rightarrow 4-a>0,\quad b<4\Rightarrow 4-b>0,\quad (4-a)(4-b)>0\]

2 Rozwiń iloczyn

Rozwinięcie dodatniego iloczynu daje nierówność, którą mamy wykazać.

\[(4-a)(4-b)>0\Rightarrow 16-4a-4b+ab>0\Rightarrow ab+16>4a+4b\]

Odpowiedź

Dla wszystkich liczb rzeczywistych a<4 i b<4 zachodzi podana nierówność.

\[ab+16>4a+4b\]

Sprawdzenie

Różnica lewej i prawej strony wynosi (4−a)(4−b). Oba czynniki są ściśle dodatnie na mocy założeń, zatem różnica jest ściśle dodatnia.

\[(ab+16)-(4a+4b)=(4-a)(4-b)>0\]

Zadanie 28

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność

\(a(a+b)+b^{2}>3ab\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby zbadać nierówność, obliczamy różnicę jej lewej i prawej strony.

\[a(a+b)+b^{2}-3ab=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}\]

2 Wykorzystaj warunek różności liczb

Ponieważ \(a\neq b\), ich różnica jest niezerowa, więc jej kwadrat jest dodatni.

\[a\neq b\quad\Longrightarrow\quad(a-b)^{2}>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\).

\[a(a+b)+b^{2}>3ab\]

Sprawdzenie

Różnica stron wynosi dokładnie \((a-b)^{2}\). Przy założeniu \(a\neq b\) jest ona ściśle dodatnia, co potwierdza nierówność.

\[a(a+b)+b^{2}-3ab=(a-b)^{2}>0\]

Zadanie 11

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\) jest po uproszczeniu równe

\(5x^2-12x-5\)

\(5x^2-13\)

\(5x^2-12x+13\)

\(5x^2+5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy, aby usunąć pierwszy nawias.

\[(3x-2)^2=9x^2-12x+4\]

2 Oblicz iloczyn

Nawiasy tworzą różnicę kwadratów.

\[(2x-3)(2x+3)=4x^2-9\]

3 Uprość wyrażenie

Odejmujemy cały iloczyn, więc zmieniamy znaki jego wyrazów, a następnie łączymy wyrazy podobne.

\[9x^2-12x+4-(4x^2-9)=5x^2-12x+13\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[5x^2-12x+13\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 wyrażenie z zadania i otrzymany wzór dają tę samą wartość 6.

\[(3-2)^2-(2-3)(2+3)=6,\qquad 5-12+13=6\]

Zadanie 29

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby \(a>0\) i dla każdej liczby \(b>0\) prawdziwa jest nierówność \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}.\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do wspólnego mianownika

Ponieważ \(a>0\) i \(b>0\), mianownik \(ab(a+b)\) jest dodatni. Obliczamy różnicę stron nierówności, aby ustalić jej znak.

\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\]

2 Ocena znaku

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a mianownik jest dodatni, więc obliczona różnica jest nieujemna.

\[(a-b)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich \(a>0\) i \(b>0\). Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy \(a=b\).

\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}\]

Sprawdzenie

Dla \(a=b>0\) obie strony są równe \(2/a\). Gdy \(a\ne b\), licznik \((a-b)^2\) jest dodatni, więc nierówność jest ostra.

\[a=b\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{a}=\frac{4}{a+b}\]

Zadanie 1

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa

\(4\)

\(1\)

\(\sqrt{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie wartości x

Usuwamy niewymierność z mianownika, aby łatwo porównać x i y.

\[x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1=\sqrt{2}+1\]

2 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Podane wyrażenie jest kwadratem różnicy. Obliczamy tę różnicę i podnosimy ją do kwadratu.

\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=((\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1))^2=2^2=4\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 4. Odpowiedź A.

\[4\]

Sprawdzenie

Różnica x−y wynosi 2, więc jej kwadrat rzeczywiście wynosi 4. Obie podane liczby są określone, ponieważ mianownik √2 jest różny od zera.

\[x-y=2,\quad (x-y)^2=4,\quad \sqrt{2}\ne 0\]

Zadanie 5

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Równość \((a+2\sqrt{3})^2=13+4\sqrt{3}\) jest prawdziwa dla

\(a=\sqrt{13}\)

\(a=1\)

\(a=0\)

\(a=\sqrt{13}+1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie prawej strony jako kwadratu

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia, aby porównać obie strony równości.

\[13+4\sqrt{3}=1+12+4\sqrt{3}=(1+2\sqrt{3})^2\]

2 Wyznaczenie wartości z odpowiedzi

W każdej podanej odpowiedzi \(a\geq 0\), więc obie podstawy kwadratów są dodatnie. Równość ich kwadratów oznacza równość podstaw.

\[a+2\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad a=1\]

Odpowiedź

Pasuje odpowiedź B: \(a=1\).

\[a=1\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(a=1\) lewa strona jest równa prawej.

\[(1+2\sqrt{3})^2=1+4\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3}\]

Zadanie 29

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie lewej strony

Rozwijamy iloczyn i sprowadzamy różnicę względem 4 do wspólnego mianownika, aby ocenić jej znak.

\[(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-4=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{(a-b)^2}{ab}\]

2 Ocena znaku

Ponieważ a i b są dodatnie, mianownik jest dodatni, a kwadrat w liczniku jest nieujemny. Otrzymujemy żądaną nierówność.

\[ab>0,\quad (a-b)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich dodatnich a i b. Równość występuje dokładnie wtedy, gdy a=b.

\[(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4\iff\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0\]

Sprawdzenie

Dla a=b=t>0 lewa strona wynosi 4. Gdy a≠b, kwadrat różnicy jest dodatni, więc nierówność jest ostra.

\[(t+t)\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{t}\right)=4\]