Zbiór zadań maturalnych

Wyrażenia algebraiczne — zadania maturalne

Wyrażenia algebraiczne: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

18 zadańStrona 1 z 2

Sortuj:

Zadanie 8

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

84%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest wielomian \(W(x)=3x^3+6x^2+9x\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wielomian \(W\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=3x\) i \(G(x)=x^2+2x+3\).	P	F
Liczba \((-1)\) jest rozwiązaniem równania \(W(x)=0\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wielomian na czynniki

Wyłączamy wspólny czynnik 3x, aby porównać iloczyn z pierwszym stwierdzeniem.

\[W(x)=3x(x^2+2x+3)=F(x)G(x)\]

2 Oceń pierwsze stwierdzenie

Otrzymany iloczyn jest dokładnie iloczynem podanych wielomianów, więc stwierdzenie jest prawdziwe.

\[W(x)=F(x)G(x)\]

3 Oceń drugie stwierdzenie

Podstawiamy −1 do wielomianu. Liczba jest rozwiązaniem równania tylko wtedy, gdy wartość wielomianu wynosi zero.

\[W(-1)=3(-1)((-1)^2+2(-1)+3)=-3(1-2+3)=-6\ne 0\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu czynników otrzymujemy podany wielomian. Bezpośrednie podstawienie −1 ponownie daje −6, więc nie jest to jego miejsce zerowe.

\[3x(x^2+2x+3)=3x^3+6x^2+9x,\qquad 3(-1)^3+6(-1)^2+9(-1)=-3+6-9=-6\]

Zadanie 4

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla

\(m=5\)

\(m=4\)

\(m=1\)

\(m=-5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie m

Ponieważ \(5-\sqrt{5}\neq 0\), mnożymy obie strony równości przez ten mianownik.

\[m=\frac{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}{5}\]

2 Obliczenie wartości

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

\[m=\frac{5^2-(\sqrt{5})^2}{5}=\frac{25-5}{5}=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=4\).

\[m=4\]

Sprawdzenie

Dla \(m=4\) obie strony równości są równe, ponieważ po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy prawą stronę.

\[\frac{4}{5-\sqrt{5}}=\frac{4(5+\sqrt{5})}{25-5}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\]

Zadanie 5

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2a+b)^2-(2a-b)^2\) jest równa wartości wyrażenia

\(8a^2\)

\(8ab\)

\(-8ab\)

\(2b^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Wyrażenie ma postać różnicy kwadratów, więc korzystamy ze wzoru \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\).

\[(2a+b)^2-(2a-b)^2=[(2a+b)-(2a-b)][(2a+b)+(2a-b)]\]

2 Uproszczenie nawiasów

Redukujemy wyrazy podobne i mnożymy otrzymane czynniki.

\[[(2a+b)-(2a-b)][(2a+b)+(2a-b)]=2b\cdot4a=8ab\]

Odpowiedź

Właściwa odpowiedź: B.

\[8ab\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów składniki z \(a^2\) i \(b^2\) się redukują; równość zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\).

\[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-4ab+b^2)=8ab\]

Zadanie 5

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe

\(-24a\)

\(0\)

\(18\)

\(16a^2-24a\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Różnicę kwadratów zamieniamy na iloczyn, aby uprościć wyrażenie.

\[(2a-3)^2-(2a+3)^2=((2a-3)-(2a+3))((2a-3)+(2a+3))\]

2 Uproszczenie iloczynu

Redukujemy wyrazy podobne w obu nawiasach i mnożymy.

\[(-6)\cdot 4a=-24a\]

Odpowiedź

Wyrażenie jest równe −24a. Odpowiedź A.

\[-24a\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów wyrazy z kwadratem a i wyrazy stałe się redukują, więc wynik jest taki sam dla każdego rzeczywistego a.

\[(4a^2-12a+9)-(4a^2+12a+9)=-24a\]

Zadanie 1

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa

\(1\)

\(3\)

\(1+2\sqrt{3}\)

\(1-2\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozpoznanie wzoru

Wyrażenie jest kwadratem różnicy, więc można łatwo podstawić podaną wartość x.

\[x^2-6x+9=(x-3)^2\]

2 Podstawienie

Dla podanej wartości x różnica x−3 jest równa pierwiastkowi z 3.

\[(x-3)^2=(\sqrt{3}+3-3)^2=(\sqrt{3})^2=3\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 3. Odpowiedź B.

\[3\]

Sprawdzenie

Po bezpośrednim podstawieniu i uproszczeniu również otrzymujemy 3.

\[(\sqrt{3}+3)^2-6(\sqrt{3}+3)+9=(12+6\sqrt{3})-6\sqrt{3}-18+9=3\]

Zadanie 4

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla

\(a=3\)

\(a=1\)

\(a=-2\)

\(a=-3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń lewą stronę

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy, aby porównać współczynniki przy \(\sqrt{2}\).

\[(2\sqrt{2}-a)^2=8-4a\sqrt{2}+a^2\]

2 Wyznacz wartość z odpowiedzi

Wszystkie podane wartości \(a\) są całkowite. Porównujemy współczynniki przy \(\sqrt{2}\):

\[-4a=-12\quad\Rightarrow\quad a=3\]

Odpowiedź

A. \(a=3\).

\[a=3\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(a=3\) lewa strona jest równa prawej.

\[(2\sqrt{2}-3)^2=8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2}\]

Zadanie 4

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((3x+2)^2-(2x-3)^2\) jest równa wartości wyrażenia

\(5x^2-5\)

\(5x^2+13\)

\(5x^2+24x-5\)

\(5x^2+24x-13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadraty

Korzystamy ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy, aby porównać wyrażenie z odpowiedziami.

\[(3x+2)^2-(2x-3)^2=(9x^2+12x+4)-(4x^2-12x+9)\]

2 Zredukuj wyrazy podobne

Po opuszczeniu nawiasu odejmujemy odpowiadające sobie wyrazy.

\[9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[5x^2+24x-5\]

Sprawdzenie

Kontrola wzorem na różnicę kwadratów daje ten sam wynik dla każdego rzeczywistego x.

\[(3x+2)^2-(2x-3)^2=(x+5)(5x-1)=5x^2+24x-5\]

Zadanie 8

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-2)\) oraz różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}\) jest równa wartości wyrażenia

\(\frac{x+2}{4x+4}\)

\(\frac{x+1}{4x+5}\)

\(\frac{x+1}{x+2}\)

\(\frac{2x}{x+2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż na czynniki

Rozkład licznika i mianownika pozwala wskazać wspólne czynniki.

\[\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{x}\]

2 Skróć ułamki

Ponieważ x≠0 i x≠−2, można skrócić czynniki x oraz x+2.

\[\frac{x(x+1)(x+2)}{x(x+2)^2}=\frac{x+1}{x+2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{x+1}{x+2}\]

Sprawdzenie

Dla dozwolonej wartości x=1 wyrażenie początkowe i otrzymany ułamek mają wartość 2/3. Skracanie jest poprawne w całej podanej dziedzinie, a mianownik otrzymanego ułamka jest w niej różny od zera.

\[\frac{1^2+1}{1^2+4\cdot1+4}\cdot\frac{1+2}{1}=\frac{2}{3}=\frac{1+1}{1+2}\]

Zadanie 10

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^2}{2x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 1\). Wtedy dla argumentu \(x=\sqrt{3}-1\) wartość funkcji \(f\) jest równa

\(\frac{1}{\sqrt{3}-1}\)

\(-1\)

\(1\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie dziedziny

Podstawienie jest dozwolone, ponieważ argument różni się od 1.

\[\sqrt{3}-1\neq 1\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy argument do wzoru i rozwijamy kwadrat. Licznik jest liczbą przeciwną do mianownika.

\[f(\sqrt{3}-1)=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2(\sqrt{3}-1)-2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-4}=-1\]

Odpowiedź

Wartość funkcji wynosi −1. Odpowiedź B.

\[f(\sqrt{3}-1)=-1\]

Sprawdzenie

Mianownik nie jest zerem, bo √3 ≠ 2. Ponadto licznik i mianownik sumują się do zera, więc ich iloraz rzeczywiście wynosi −1.

\[(4-2\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-4)=0\]

Zadanie 4

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

42%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe

\(-24a\)

\(0\)

\(18\)

\(16a^2-24a\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Korzystamy ze wzoru \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\), aby uprościć wyrażenie.

\[(2a-3)^2-(2a+3)^2=[(2a-3)-(2a+3)][(2a-3)+(2a+3)]\]

2 Obliczenie iloczynu

Pierwszy nawias jest równy \(-6\), a drugi \(4a\), więc mnożymy je przez siebie.

\[(-6)\cdot 4a=-24a\]

Odpowiedź

Wyrażenie jest równe \(-24a\). Odpowiedź A.

\[-24a\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów wyrazy z \(a^2\) i stałe się redukują. Równość zachodzi dla każdego \(a\in\mathbb{R}\).

\[(4a^2-12a+9)-(4a^2+12a+9)=-24a\]

Zadanie 30

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

27%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że \(a\lt b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pomnóż przez dodatnie mianowniki

Ponieważ b>0 i b+c>0, pomnożenie przez b(b+c) nie zmienia zwrotu nierówności.

\[\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\iff a(b+c)<b(a+c)\]

2 Wykorzystaj założenie

Po rozwinięciu nawiasów składniki ab się redukują. Pozostała nierówność wynika z a<b po pomnożeniu przez c>0.

\[ab+ac<ab+bc\iff ac<bc\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich podanych liczb dodatnich spełniających a<b.

\[\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\]

Sprawdzenie

Różnica prawej i lewej strony jest dodatnia, ponieważ c>0, b−a>0 i b(b+c)>0.

\[\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}=\frac{c(b-a)}{b(b+c)}>0\]

Zadanie 31

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

23%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\ne a\), spełniona jest nierówność

\[\frac{a^2+b^2}{2}>\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy stron

Sprowadzamy strony nierówności do wspólnego mianownika, aby ustalić znak ich różnicy.

\[\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{2a^2+2b^2-(a+b)^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}\]

2 Ustalenie znaku

Z założenia \(b\ne a\), więc kwadrat ich różnicy jest dodatni.

\[a-b\ne 0\quad\Longrightarrow\quad\frac{(a-b)^2}{4}>0\]

Odpowiedź

Dla każdych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), dla których \(b\ne a\), podana nierówność jest prawdziwa.

\[\frac{a^2+b^2}{2}>\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu nierówności przez dodatnią liczbę 4 otrzymujemy równoważny warunek \((a-b)^2>0\), który wynika z \(b\ne a\).

\[2(a^2+b^2)>(a+b)^2\quad\Longleftrightarrow\quad(a-b)^2>0\]

Zadanie 30

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

23%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\geq 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kolejnego wyrazu

Podstawiamy \(n+1\) do wzoru ciągu, aby dodać dwa kolejne wyrazy.

\[a_{n+1}=2(n+1)^2+2(n+1)=2(n+1)(n+2)\]

2 Wyznaczenie sumy

Wyłączamy wspólny czynnik, aby zapisać sumę jako kwadrat.

\[a_n+a_{n+1}=2n(n+1)+2(n+1)(n+2)=2(n+1)(2n+2)=[2(n+1)]^2\]

Odpowiedź

Suma każdych dwóch kolejnych wyrazów jest kwadratem liczby naturalnej \(2(n+1)\).

\[a_n+a_{n+1}=[2(n+1)]^2\]

Sprawdzenie

Dla każdego naturalnego \(n\geq 1\) liczba \(2(n+1)\) jest naturalna. Po rozwinięciu otrzymanego kwadratu dostajemy \(4n^2+8n+4\), tyle samo co z bezpośredniego dodania wyrazów.

\[(2n^2+2n)+[2(n+1)^2+2(n+1)]=4n^2+8n+4=[2(n+1)]^2\]

Zadanie 28

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq\frac{2}{a+b}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uwzględnienie warunków

Ponieważ a i b są dodatnie, wszystkie mianowniki są dodatnie. Możemy więc sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika.

\[a>0,\quad b>0,\quad 2ab(a+b)>0\]

2 Obliczenie różnicy stron

Jeśli różnica lewej i prawej strony jest nieujemna, nierówność jest prawdziwa.

\[\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}-\frac{2}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich dodatnich a i b. Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy a=b.

\[\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq\frac{2}{a+b}\quad\text{dla }a,b>0\]

Sprawdzenie

Licznik otrzymanej różnicy jest kwadratem, więc jest nieujemny, a mianownik jest dodatni. Dla a=b obie strony wynoszą 1/a, co potwierdza warunek równości.

\[a=b\implies\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a}\]

Zadanie 28

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

20%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a-2b)+2b^{2}>0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uzupełnienie kwadratu

Przekształcamy wyrażenie w sumę kwadratów, aby ustalić jego znak.

\[a(a-2b)+2b^{2}=a^{2}-2ab+2b^{2}=(a-b)^{2}+b^{2}\]

2 Wykazanie nierówności

Ponieważ \(a\ne b\), kwadrat \((a-b)^{2}\) jest dodatni, a \(b^{2}\) jest nieujemny.

\[(a-b)^{2}>0,\quad b^{2}\ge 0\quad\Longrightarrow\quad (a-b)^{2}+b^{2}>0\]

Odpowiedź

Dla każdych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) podana nierówność jest prawdziwa.

\[a(a-2b)+2b^{2}>0\]

Sprawdzenie

Suma mogłaby być równa zeru tylko wtedy, gdy jednocześnie \(a-b=0\) i \(b=0\). Pierwszy z tych warunków oznacza \(a=b\), co przeczy założeniu.

\[(a-b)^{2}+b^{2}=0\ \Longrightarrow\ a=b\]