Otwarte2 pkt
27%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że \(a\lt b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c}\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Pomnóż przez dodatnie mianowniki
Ponieważ b>0 i b+c>0, pomnożenie przez b(b+c) nie zmienia zwrotu nierówności.
\[\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\iff a(b+c)<b(a+c)\]
2 Wykorzystaj założenie
Po rozwinięciu nawiasów składniki ab się redukują. Pozostała nierówność wynika z a<b po pomnożeniu przez c>0.
\[ab+ac<ab+bc\iff ac<bc\]
Odpowiedź
Nierówność zachodzi dla wszystkich podanych liczb dodatnich spełniających a<b.
\[\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\]
Sprawdzenie
Różnica prawej i lewej strony jest dodatnia, ponieważ c>0, b−a>0 i b(b+c)>0.
\[\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}=\frac{c(b-a)}{b(b+c)}>0\]