Zbiór zadań maturalnych

Układy równań — zadania maturalne

Układy równań: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

19 zadańStrona 1 z 2

Sortuj:

Zadanie 9

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) – liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
\(y\) – liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew iglastych oraz liczby \(y\) drzew liściastych, jest

\(\begin{cases}x+y=198\\x+18=3y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\3x+18=y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\\frac{1}{3}x+18=y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby drzew

Łącznie rośnie 198 drzew, więc suma liczb drzew obu rodzajów wynosi 198.

\[x+y=198\]

2 Zapisanie warunku o drzewach liściastych

Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich \(x+18\). Drzew liściastych byłoby wtedy trzy razy tyle.

\[y=3(x+18)\]

3 Obliczenie liczby drzew

Podstawiamy wyrażenie na \(y\) do pierwszego równania, aby wyznaczyć \(x\), a następnie \(y\).

\[x+3(x+18)=198\;\Rightarrow\;4x=144\;\Rightarrow\;x=36,\qquad y=198-36=162\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D. W parku rośnie 36 drzew iglastych i 162 drzewa liściaste.

\[\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}\qquad x=36,\ y=162\]

Sprawdzenie

Liczby drzew sumują się do 198. Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich 54, a 162 drzewa liściaste to trzy razy tyle.

\[36+162=198,\qquad 3(36+18)=3\cdot54=162\]

Zadanie 6

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) – liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
\(y\) – liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew iglastych oraz liczby \(y\) drzew liściastych, jest

\(\begin{cases}x+y=198\\x+18=3y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\3x+18=y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\\frac{1}{3}x+18=y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby wszystkich drzew

W parku jest łącznie 198 drzew obu rodzajów, więc dodajemy ich liczby.

\[x+y=198\]

2 Zapisanie warunku o większej liczbie drzew iglastych

Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich x+18. Drzew liściastych byłoby wtedy trzy razy tyle.

\[y=3(x+18)\]

3 Wybranie układu i obliczenie liczb drzew

Otrzymany układ odpowiada odpowiedzi D. Podstawiamy drugie równanie do pierwszego, aby obliczyć x, a następnie y.

\[x+3(x+18)=198\quad\Rightarrow\quad 4x=144\quad\Rightarrow\quad x=36,\qquad y=198-36=162\]

Odpowiedź

Odpowiedź D. W parku rośnie 36 drzew iglastych i 162 drzewa liściaste.

\[\boxed{\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}}\qquad x=36,\quad y=162\]

Sprawdzenie

Liczba wszystkich drzew wynosi 36+162=198. Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich 54, a 162=3·54, więc warunek jest spełniony. Obie liczby są nieujemnymi liczbami całkowitymi.

\[36+162=198,\qquad 162=3(36+18)\]

Zadanie 11

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu	Cena w złotych
Normalny	35
Ulgowy	25

Na to przedstawienie sprzedano łącznie \(200\) biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości \(25\%\) wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało \(4665\) zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wpływów

Po opłaceniu kosztów pozostało 75% wpływów, więc z tej kwoty obliczamy całe wpływy.

\[W=\frac{4665}{0{,}75}=6220\ \text{zł}\]

2 Ułożenie równania

Jeśli sprzedano x biletów ulgowych, to normalnych sprzedano 200-x. Suma kwot za oba rodzaje biletów wynosi 6220 zł.

\[25x+35(200-x)=6220\]

3 Rozwiązanie równania

Upraszczamy równanie, aby wyznaczyć liczbę biletów ulgowych.

\[25x+7000-35x=6220\quad\Longrightarrow\quad 10x=780\quad\Longrightarrow\quad x=78\]

Odpowiedź

Sprzedano 78 biletów ulgowych.

\[x=78\]

Sprawdzenie

Pozostałe 122 bilety były normalne. Wpływy wyniosły 6220 zł, a po odjęciu 25% kosztów pozostało 4665 zł.

\[78+122=200,\quad 78\cdot25+122\cdot35=6220,\quad 0{,}75\cdot6220=4665\]

Zadanie 8

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie liczby drzew

Niech x oznacza liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a y — w drugim. Razem posadzono 1410 drzew.

\[x+y=1410\]

2 Liczba drzew po roku

W pierwszym sadzie pozostało 80% drzew, a w drugim 85%. Liczba drzew w drugim sadzie stanowiła wtedy 70% liczby drzew w pierwszym.

\[0{,}85y=0{,}70\cdot 0{,}80x=0{,}56x\]

3 Rozwiązanie układu

Wyznaczamy y z pierwszego równania i podstawiamy do drugiego, aby obliczyć x.

\[y=1410-x,\qquad 0{,}85(1410-x)=0{,}56x,\qquad 1198{,}5=1{,}41x,\qquad x=850\]

Odpowiedź

W pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.

\[850\ \text{drzew}\]

Sprawdzenie

W drugim sadzie posadzono 560 drzew, więc łącznie posadzono 1410. Po roku pozostało odpowiednio 680 i 476 drzew, a 476 stanowi 70% z 680.

\[850+560=1410,\qquad 0{,}80\cdot850=680,\qquad 0{,}85\cdot560=476=0{,}70\cdot680\]

Zadanie 28

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(20\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(15\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(70\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie liczby drzew

Oznaczamy przez x liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a przez y liczbę drzew posadzonych w drugim. Ich suma wynosi 1410.

\[x+y=1410\]

2 Liczba drzew po roku

W pierwszym sadzie pozostało 80% drzew, a w drugim 85%. Korzystamy z podanej zależności między liczbami drzew, które pozostały.

\[0{,}85y=0{,}70\cdot 0{,}80x=0{,}56x\]

3 Obliczenie liczby drzew

Wyznaczamy y z drugiego równania i podstawiamy do sumy drzew.

\[y=\frac{56}{85}x,\qquad x+\frac{56}{85}x=1410,\qquad \frac{141}{85}x=1410,\qquad x=850\]

Odpowiedź

W pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.

\[850\ \text{drzew}\]

Sprawdzenie

W drugim sadzie posadzono 560 drzew, więc razem posadzono 1410. Po roku pozostało odpowiednio 680 i 476 drzew, a 476 stanowi 70% z 680.

\[850+560=1410,\qquad 0{,}80\cdot850=680,\qquad 0{,}85\cdot560=476=0{,}70\cdot680\]

Zadanie 28

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równań

Oznaczmy przez \(A\) i \(B\) kwoty przyznane zespołom, w złotych. Ich suma to cały budżet, a suma wykorzystanych części to 146 700 zł.

\[\begin{cases}A+B=1\,200\,000,\\0{,}13A+0{,}11B=146\,700.\end{cases}\]

2 Wyznaczenie kwoty dla zespołu A

Podstawiamy \(B=1\,200\,000-A\) do drugiego równania i rozwiązujemy je.

\[0{,}13A+0{,}11(1\,200\,000-A)=146\,700\;\Longrightarrow\;0{,}02A=14\,700\;\Longrightarrow\;A=735\,000.\]

Odpowiedź

Zespołowi A przyznano 735 000 zł.

\[A=735\,000\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Zespołowi B przypada 465 000 zł. Kwoty sumują się do 1 200 000 zł, a wykorzystane przez zespoły środki do 146 700 zł.

\[735\,000+465\,000=1\,200\,000,\qquad 0{,}13\cdot735\,000+0{,}11\cdot465\,000=95\,550+51\,150=146\,700.\]

Zadanie 7

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układ równań \(\begin{cases}x-2y=3\\-4x+8y=-12\end{cases}\)

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie równań

Mnożymy pierwsze równanie przez \(-4\), aby sprawdzić, czy oba równania opisują tę samą prostą.

\[-4(x-2y)=-4\cdot3\quad\Longrightarrow\quad -4x+8y=-12\]

2 Opis rozwiązań

Drugie równanie wynika z pierwszego, więc wystarczy rozwiązać \(x-2y=3\). Dla każdej liczby rzeczywistej \(t\) możemy przyjąć \(y=t\).

\[y=t,\quad x=3+2t,\quad t\in\mathbb{R}\]

Odpowiedź

D. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

\[(x,y)=(3+2t,t),\quad t\in\mathbb{R}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy w obu równaniach odpowiednio 3 i −12 dla każdego \(t\in\mathbb{R}\). Różne wartości \(t\) dają różne rozwiązania.

\[(3+2t)-2t=3,\qquad -4(3+2t)+8t=-12\]

Zadanie 7

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Układ równań \(\begin{cases}x-2y=3\\-4x+8y=-12\end{cases}\)

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie równań

Mnożymy pierwsze równanie przez \(-4\), aby sprawdzić, czy drugie wnosi nowy warunek.

\[-4(x-2y)=-4\cdot3\quad\Longrightarrow\quad -4x+8y=-12\]

2 Wyznaczenie rozwiązań

Oba równania opisują tę samą prostą. Dla dowolnej wartości \(y=t\) wyznaczamy \(x\) z pierwszego równania.

\[y=t,\quad x-2t=3\quad\Longrightarrow\quad x=3+2t,\qquad t\in\mathbb{R}\]

Odpowiedź

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Odpowiedź D.

\[(x,y)=(3+2t,t),\qquad t\in\mathbb{R}\]

Sprawdzenie

Dla każdego \(t\) otrzymana para spełnia oba równania, więc rzeczywiście daje nieskończenie wiele rozwiązań.

\[(3+2t)-2t=3,\qquad -4(3+2t)+8t=-12\]

Zadanie 8

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie \(1960\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

\(\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=1960\\0{,}95x=0{,}6\cdot0{,}9y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=1960\\0{,}05x=0{,}6\cdot0{,}1y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=1960\\0{,}4\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Łączna liczba drzew

Suma drzew posadzonych w obu sadach wynosiła 1960.

\[x+y=1960\]

2 Drzewa pozostałe po roku

W pierwszym sadzie pozostało 95% drzew, a w drugim 90%. Liczba pozostałych drzew w drugim sadzie stanowiła 60% liczby pozostałych w pierwszym.

\[0{,}9y=0{,}6\cdot0{,}95x\]

3 Wybór odpowiedzi

Oba otrzymane równania tworzą układ podany w odpowiedzi A.

\[\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}\]

Sprawdzenie

Z układu otrzymujemy x=1200 i y=760. Po roku pozostało odpowiednio 1140 i 684 drzew; 684 stanowi 60% z 1140, a 1200+760=1960.

\[0{,}95\cdot1200=1140,\quad 0{,}9\cdot760=684=0{,}6\cdot1140\]

Zadanie 10

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Na rysunku przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Układ współrzędnych z dwiema malejącymi prostymi równoległymi; osie x i y, początek układu oraz oznaczenia jednostek na osiach.

\(\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{2}{3}x-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}x-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x-3\\y=\frac{3}{2}x+1\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie kierunku prostych

Obie proste opadają, gdy przesuwamy się w prawo, więc ich współczynniki kierunkowe są ujemne. Są równoległe, zatem mają ten sam współczynnik kierunkowy.

\[a_1=a_2<0\]

2 Odczytanie przecięć z osią y

Górna prosta przecina oś y w punkcie o rzędnej 3, a dolna w punkcie o rzędnej −1. Spośród podanych układów oba te warunki spełnia A.

\[\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}\]

Odpowiedź

\[\boxed{\mathrm{A}}\]

Sprawdzenie

Oba równania mają współczynnik kierunkowy −3/2, więc opisują proste równoległe i malejące. Dla x=0 otrzymujemy odpowiednio y=3 oraz y=−1, zgodnie z rysunkiem.

\[x=0\quad\Longrightarrow\quad y_1=3,\qquad y_2=-1\]

Zadanie 7

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Układ równań \(\begin{cases}2x-y=2\\x+my=1\end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

\(m=-1\)

\(m=1\)

\(m=\frac{1}{2}\)

\(m=-\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek nieskończenie wielu rozwiązań

Oba równania muszą opisywać tę samą prostą. Dzielimy pierwsze równanie przez 2, aby porównać je z drugim.

\[2x-y=2\quad\Longleftrightarrow\quad x-\frac{1}{2}y=1\]

2 Porównanie współczynników

Współczynnik przy y w drugim równaniu musi wynosić tyle samo co w przekształconym pierwszym równaniu.

\[m=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(m=-\frac{1}{2}\).

\[m=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu tej wartości oba równania są równoważne. Dla każdego \(y=t\) otrzymujemy \(x=1+\frac{t}{2}\), więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.

\[(x,y)=\left(1+\frac{t}{2},t\right),\quad t\in\mathbb{R}\]

Zadanie 5

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}-x+12y=a^2\\2x+ay=9\end{cases}\) dla

\(a=\frac{7}{3}\)

\(a=-3\)

\(a=3\)

\(a=-\frac{7}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie do pierwszego równania

Ponieważ podana para jest rozwiązaniem, musi spełniać pierwsze równanie. Stąd wyznaczamy możliwe wartości parametru.

\[-3+12\cdot1=a^2\quad\Longrightarrow\quad a^2=9\quad\Longrightarrow\quad a=3\ \text{lub}\ a=-3\]

2 Podstawienie do drugiego równania

Drugi warunek wskazuje, która z tych wartości pasuje do całego układu.

\[2\cdot3+a\cdot1=9\quad\Longrightarrow\quad 6+a=9\quad\Longrightarrow\quad a=3\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C, a = 3.

\[a=3\]

Sprawdzenie

Dla a = 3 oraz x = 3, y = 1 lewa strona pierwszego równania wynosi 9, czyli a², a lewa strona drugiego wynosi 9. Oba równania są spełnione.

\[-3+12\cdot1=9=3^2,\qquad 2\cdot3+3\cdot1=9\]

Zadanie 6

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\).

Wskaż ten układ.

Układ współrzędnych z wykresami dwóch prostych

\(\begin{cases}y=-2x+8\\y=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=2x-4\\y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x-1\\y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=3x-7\\y=-\frac{2}{3}x+4\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Prosta rosnąca

Z wykresu odczytujemy punkty \((0,-4)\) i \((2,0)\). Obliczamy współczynnik kierunkowy, aby zapisać równanie prostej.

\[a=\frac{0-(-4)}{2-0}=2,\qquad y=2x-4\]

2 Prosta malejąca

Ta prosta przecina osie w punktach \((0,\frac{7}{2})\) i \((7,0)\). Obliczamy jej współczynnik kierunkowy.

\[a=\frac{0-\frac{7}{2}}{7-0}=-\frac{1}{2},\qquad y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\]

Odpowiedź

Pasuje układ B.

\[\begin{cases}y=2x-4\\y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\end{cases}\]

Sprawdzenie

Obie proste przechodzą przez widoczny na wykresie punkt przecięcia \((3,2)\).

\[2\cdot3-4=2,\qquad -\frac{1}{2}\cdot3+\frac{7}{2}=2\]

Zadanie 7

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Rozważmy treść następującego zadania: Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.

Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

\(\begin{cases}2(a+b)=60\\a+10=b\end{cases}\)

\(\begin{cases}2a+b=60\\10b=a\end{cases}\)

\(\begin{cases}2ab=60\\a-b=10\end{cases}\)

\(\begin{cases}2(a+b)=60\\10a=b\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie obwodu

Obwód prostokąta jest sumą długości jego czterech boków, więc wynosi dwa razy sumę długości a i b.

\[2(a+b)=60\]

2 Zapisanie różnicy boków

Możemy przyjąć, że bok b jest dłuższy od boku a o 10. Tę zależność spełnia równanie z odpowiedzi A.

\[a+10=b\]

3 Obliczenie długości

Podstawiamy wyrażenie na b do równania obwodu, aby wyznaczyć oba boki.

\[2(a+a+10)=60\;\Longrightarrow\;4a+20=60\;\Longrightarrow\;a=10,\quad b=20\]

Odpowiedź

Odpowiedź A. Boki mają długości 10 i 20.

\[\begin{cases}2(a+b)=60\\a+10=b\end{cases}\qquad a=10,\ b=20\]

Sprawdzenie

Długości są dodatnie, ich obwód wynosi 60, a różnica wynosi 10.

\[2(10+20)=60,\qquad 20-10=10\]

Zadanie 18

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Układ równań \(\begin{cases}y=-ax+2a\\y=\frac{b}{3}x-2\end{cases}\) nie ma rozwiązań dla

\(a=-1\) i \(b=-3\)

\(a=1\) i \(b=3\)

\(a=1\) i \(b=-3\)

\(a=-1\) i \(b=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku rozwiązań

Proste nie mają punktu wspólnego, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne.

\[-a=\frac{b}{3},\qquad 2a\ne -2\]

2 Wybór odpowiedzi

W odpowiedziach C i D współczynniki kierunkowe są równe. Dla D wyrazy wolne też są równe, więc warunki spełnia tylko C.

\[\begin{aligned}\text{C: }&-1=\frac{-3}{3},\quad 2\ne-2,\\\text{D: }&1=\frac{3}{3},\quad -2=-2.\end{aligned}\]

Odpowiedź

C: a = 1 i b = −3.

\[a=1,\qquad b=-3\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu wartości z odpowiedzi C równania wymagałyby jednocześnie y = −x + 2 oraz y = −x − 2. Ich porównanie daje sprzeczność, więc układ nie ma rozwiązań.

\[-x+2=-x-2\quad\Longrightarrow\quad 2=-2\]