Zbiór zadań maturalnych

Trygonometria — zadania maturalne

Trygonometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

102 zadańStrona 6 z 7

Sortuj:

Zadanie 15

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(\alpha\) jest równa \(\sqrt{3}\). Zatem

\(\alpha=60^\circ\)

\(\alpha\in(40^\circ,60^\circ)\)

\(\alpha\in(30^\circ,40^\circ)\)

\(\alpha=30^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przeciwległej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej.

\[\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

2 Wyznaczenie przedziału

Kąt jest ostry, więc z obliczonego sinusa wyznaczamy jego przybliżoną miarę.

\[\alpha=\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\approx35{,}26^\circ\]

Odpowiedź

C. Kąt α należy do przedziału od 30° do 40°, bez końców.

\[\alpha\in(30^\circ,40^\circ)\]

Sprawdzenie

Otrzymana miara leży między 30° a 40°. Ponadto sin 35,26° ≈ 0,577, zgodnie z wartością √3/3 ≈ 0,577.

\[30^\circ<35{,}26^\circ<40^\circ,\qquad \sin35{,}26^\circ\approx\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Zadanie 16

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha=\frac{3}{5}\). Wtedy

\(\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{16}{15}\)

\(\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{15}{16}\)

\(\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{8}{15}\)

\(\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{6}{20}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy sinus. Ponieważ kąt jest ostry, sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45\]

2 Obliczenie iloczynu

Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa, więc podstawiamy obliczone wartości.

\[\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac45\cdot\frac{\frac45}{\frac35}=\frac45\cdot\frac43=\frac{16}{15}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{16}{15}\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają jedynkę trygonometryczną, a obie są dodatnie, jak dla kąta ostrego.

\[\left(\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}+\frac9{25}=1\]

Zadanie 19

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze \(60^\circ\) jest równe

\(18\)

\(9\)

\(18\sqrt{3}\)

\(9\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Znamy długości dwóch boków i miarę kąta między nimi, więc stosujemy wzór na pole z sinusem tego kąta.

\[P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 9\cdot \sin 60^\circ=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi 9√3. Pasuje odpowiedź D.

\[P=9\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości 4 wynosi 9√3/2. Obliczone z niej pole jest takie samo.

\[h=9\sin 60^\circ=\frac{9\sqrt{3}}{2},\qquad P=\frac{4h}{2}=9\sqrt{3}\]

Zadanie 22

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Jeżeli \(\alpha\) oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to

Sześcian z zaznaczonym kątem alfa między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej.

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości

Oznaczmy krawędź sześcianu przez \(a>0\). Z twierdzenia Pitagorasa przekątna ściany ma długość \(a\sqrt2\), a przekątna sześcianu \(a\sqrt3\).

\[d_{\text{ściany}}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2,\qquad d_{\text{sześcianu}}=\sqrt{(a\sqrt2)^2+a^2}=a\sqrt3\]

2 Obliczenie sinusa kąta

Zaznaczone przekątne i dolna przednia krawędź tworzą trójkąt prostokątny: ta krawędź jest prostopadła do ściany zawierającej jej przekątną. Krawędź długości \(a\) leży naprzeciw kąta \(\alpha\), więc dzielimy ją przez przeciwprostokątną.

\[\sin\alpha=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\]

Sprawdzenie

Długości boków utworzonego trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa, a obliczony sinus należy do przedziału \((0,1)\).

\[(a\sqrt2)^2+a^2=3a^2=(a\sqrt3)^2,\qquad 0<\frac{\sqrt3}{3}<1\]

Zadanie 15

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}\). Wówczas \(\sin\alpha\) jest równy

\(\frac{5}{17}\)

\(\frac{12}{17}\)

\(\frac{5}{13}\)

\(\frac{12}{13}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przeciwprostokątnej

Tangens kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie. Możemy przyjąć, że mają one długości 12 i 5; z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną.

\[c=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\]

2 Obliczenie sinusa

Sinus to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.

\[\sin\alpha=\frac{12}{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\sin\alpha=\frac{12}{13}\]

Sprawdzenie

Dla tych boków tangens wynosi 12/5, zgodnie z treścią zadania; sinus 12/13 jest dodatni i mniejszy od 1, jak dla kąta ostrego.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5},\qquad 0<\frac{12}{13}<1\]

Zadanie 17

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Odcinek \(BD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego \(ABC\) trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne \(AC\) i \(BC\) mają długości odpowiednio \(5\) i \(3\).

Wówczas miara \(\varphi\) kąta \(DBC\) spełnia warunek

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy C, odcinkiem BD, punktem D na AC, oznaczeniami długości 3 i 5 oraz kątem φ przy B.

\(20^\circ<\varphi<25^\circ\)

\(25^\circ<\varphi<30^\circ\)

\(30^\circ<\varphi<35^\circ\)

\(35^\circ<\varphi<40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta ABC

W trójkącie prostokątnym tangens kąta przy B jest ilorazem długości przeciwległej i przyległej przyprostokątnej.

\[\tan\angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{3},\qquad \angle ABC=\arctan\frac{5}{3}\approx59{,}04^\circ\]

2 Obliczenie kąta φ

Odcinek BD leży na dwusiecznej kąta ABC, więc dzieli ten kąt na połowy.

\[\varphi=\frac{1}{2}\angle ABC\approx\frac{59{,}04^\circ}{2}=29{,}52^\circ\]

Odpowiedź

Zachodzi 25° < φ < 30°, zatem poprawna odpowiedź to B.

\[25^\circ<\varphi<30^\circ\quad\text{— B}\]

Sprawdzenie

Podwojenie otrzymanej miary daje około 59,04°, czyli obliczony kąt ABC. Ponadto 29,52° należy do przedziału (25°, 30°).

\[2\cdot29{,}52^\circ=59{,}04^\circ,\qquad 25^\circ<29{,}52^\circ<30^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Pole trójkąta prostokątnego \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równe

Trójkąt prostokątny ABC z kątem 30° przy A i bokiem AC o długości 4.

Uwaga redakcyjna: W oryginalnym arkuszu warianty B i C są równoważne. Zachowano oryginalne odpowiedzi; w tym zbiorze wskaż wszystkie poprawne warianty.

\(\frac{32\sqrt{3}}{6}\)

\(\frac{16\sqrt{3}}{6}\)

\(\frac{8\sqrt{3}}{3}\)

\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiej przyprostokątnej

Kąt przy C jest prosty, więc AC i BC są przyprostokątnymi. Dla kąta 30° przy A stosujemy tangens.

\[\tan 30^\circ=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{4},\qquad BC=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

2 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu długości przyprostokątnych.

\[P=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{4\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\). Poprawne są odpowiedzi B i C.

\[P=\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{6}\]

Sprawdzenie

Obliczona długość BC daje wymagany tangens kąta przy A, a wartości w odpowiedziach B i C są równe.

\[\frac{BC}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ,\qquad \frac{16\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Zadanie 27

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podnieś równość do kwadratu

Pozwala to wykorzystać podaną sumę bez wyznaczania osobno sinusa i cosinusa.

\[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\left(\frac{\sqrt7}{2}\right)^2=\frac74\]

2 Oblicz szukany kwadrat

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Suma kwadratów sumy i różnicy wynosi więc \(2\).

\[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)-(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=2-\frac74=\frac14\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi \(\frac14\).

\[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\frac14\]

Sprawdzenie

Z podanej sumy wynika \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac38\). Dla kąta ostrego taki iloczyn jest możliwy, bo leży między \(0\) a \(\frac12\). Ponowne obliczenie różnicy daje \(1-2\cdot\frac38=\frac14\).

\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7/4-1}{2}=\frac38,\qquad(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\cdot\frac38=\frac14\]

Zadanie 13

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{7}\). Stąd wynika, że

\(\cos\alpha=\frac{24}{49}\)

\(\cos\alpha=\frac{5}{7}\)

\(\cos\alpha=\frac{25}{49}\)

\(\cos\alpha=\frac{5\sqrt{6}}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu cosinusa

Korzystamy z tożsamości pitagorejskiej, aby wyznaczyć cosinus z podanej wartości sinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}\]

2 Wybór znaku

Kąt ostry ma dodatni cosinus, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha=\frac{5}{7}\]

Sprawdzenie

Obie wartości są dodatnie, a suma ich kwadratów wynosi 1, zgodnie z tożsamością pitagorejską.

\[\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2+\left(\frac{5}{7}\right)^2=\frac{24}{49}+\frac{25}{49}=1\]

Zadanie 21

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(l\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(30^\circ\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-\sqrt{3})\) (zobacz rysunek).

Prosta \(l\) ma równanie

Układ współrzędnych z prostą l, kątem 30° przy osi Ox i przecięciem osi Oy w punkcie o rzędnej −√3.

\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\)

\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}\)

\(y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3}\)

\(y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

W równaniu prostej \(y=ax+b\) współczynnik \(a\) jest tangensem kąta nachylenia prostej do dodatniego zwrotu osi \(Ox\).

\[a=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

2 Wyznaczenie równania

Prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-\sqrt{3})\), więc wyraz wolny wynosi \(b=-\sqrt{3}\).

\[y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(y=-\sqrt{3}\), a współczynnik kierunkowy jest równy \(\tan 30^\circ\). Oba warunki są spełnione.

\[y(0)=-\sqrt{3},\qquad \frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]

Zadanie 16

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę \(150^\circ\). Pole tego trójkąta jest równe

\(100\)

\(200\)

\(100\sqrt{3}\)

\(100\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór wzoru na pole

Znamy długości dwóch ramion i kąt między nimi, więc stosujemy wzór na pole z sinusem tego kąta.

\[P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot\sin150^\circ\]

2 Obliczenie pola

Kąty 150° i 30° sumują się do 180°, dlatego mają ten sam sinus.

\[\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac{1}{2},\qquad P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot\frac{1}{2}=100\]

Odpowiedź

Pole wynosi 100. Odpowiedź A.

\[P=100\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanego pola do wzoru iloraz jest równy sinusowi kąta między ramionami.

\[\frac{2P}{ab}=\frac{2\cdot100}{20\cdot20}=\frac{1}{2}=\sin150^\circ\]

Zadanie 30.1

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte

Trygonometria

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\), gdzie \(\alpha=\angle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta \(ADE\).

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC, odcinkiem DE oraz kątem α przy wierzchołku A.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości AD i AE

Podane stosunki dzielą boki AB i AC odpowiednio na trzy równe części.

\[|AD|=\frac{|AB|}{3}=5,\qquad |AE|=\frac{2|AC|}{3}=8\]

2 Obliczenie sinusa kąta α

Kąt α jest kątem trójkąta, więc jego sinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35\]

3 Obliczenie pola

Boki AD i AE tworzą kąt α, dlatego stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P_{ADE}=\frac12|AD|\cdot|AE|\sin\alpha=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac35=12\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ADE wynosi 12 jednostek kwadratowych.

\[P_{ADE}=12\]

Sprawdzenie

Pole ABC wynosi 54, a boki AD i AE stanowią odpowiednio jedną trzecią i dwie trzecie boków AB i AC. Pole ADE stanowi więc dwie dziewiąte pola ABC, czyli 12.

\[P_{ABC}=\frac12\cdot15\cdot12\cdot\frac35=54,\qquad \frac13\cdot\frac23\cdot54=12\]

Zadanie 30.2

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte

Planimetria

Oblicz pole czworokąta \(BCED\).

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC oraz odcinkiem DE; kąt BAC oznaczono jako α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinków AD i AE

Korzystamy z podanych proporcji oraz długości boków trójkąta.

\[|AB|=|AD|+|BD|=3|AD|\Rightarrow |AD|=5,\qquad |AC|=|AE|+|CE|=\frac32|AE|\Rightarrow |AE|=8\]

2 Obliczenie sinusa kąta α

Kąt α jest kątem trójkąta, więc jego sinus jest dodatni. Stosujemy tożsamość trygonometryczną.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35\]

3 Obliczenie pola czworokąta

Odejmujemy pole trójkąta ADE od pola trójkąta ABC. Oba pola obliczamy ze wzoru na pole z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P_{BCED}=\frac12\cdot15\cdot12\cdot\frac35-\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac35=54-12=42\]

Odpowiedź

Pole czworokąta BCED wynosi 42.

\[P_{BCED}=42\]

Sprawdzenie

Trójkąty ADE i ABC mają wspólny kąt α, a stosunki boków przy tym kącie wynoszą 1/3 i 2/3. Zatem pole ADE stanowi 2/9 pola ABC, czyli 12; po odjęciu od 54 otrzymujemy 42.

\[\frac{P_{ADE}}{P_{ABC}}=\frac5{15}\cdot\frac8{12}=\frac29,\qquad 54\left(1-\frac29\right)=42\]

Zadanie 9

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\). Wtedy wartość wyrażenia \(\sin\alpha-\cos\alpha\) jest równa

\(\frac{1}{5}\)

\(\frac{3}{5}\)

\(\frac{17}{25}\)

\(\frac{1}{25}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie cosinusa

Z jedynki trygonometrycznej obliczamy cosinus. Ponieważ kąt jest ostry, wybieramy dodatnią wartość.

\[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}\]

2 Obliczenie wyrażenia

Podstawiamy otrzymaną wartość cosinusa.

\[\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi \(\frac{1}{5}\). Odpowiedź A.

\[\frac{1}{5}\]

Sprawdzenie

Otrzymany cosinus jest dodatni, a kwadraty sinusa i cosinusa sumują się do 1, zgodnie z warunkiem dla kąta ostrego.

\[\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1\]

Zadanie 15

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ\), a tworząca tego stożka ma długość \(6\). Promień podstawy stożka jest równy

\(3\)

\(6\)

\(3\sqrt{3}\)

\(6\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekrój osiowy

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po \(60^\circ\), tworząc trójkąt prostokątny.

\[\frac{120^\circ}{2}=60^\circ\]

2 Obliczenie promienia

W tym trójkącie promień jest przyprostokątną naprzeciw kąta \(60^\circ\), a tworząca długości \(6\) jest przeciwprostokątną. Korzystamy z definicji sinusa.

\[\sin 60^\circ=\frac{r}{6},\qquad r=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Promień podstawy wynosi \(3\sqrt{3}\). Odpowiedź C.

\[r=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymany promień jest krótszy od tworzącej, a iloraz promienia i tworzącej jest równy sinusowi połowy kąta rozwarcia.

\[3\sqrt{3}<6,\qquad \frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^\circ\]