Zbiór zadań maturalnych

Trygonometria — zadania maturalne

Trygonometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

102 zadańStrona 5 z 7

Sortuj:

Zadanie 31

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(k\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}\]

2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta jej nachylenia do osi Ox.

\[a=\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt6/3}{\sqrt3/3}=\sqrt2\]

Odpowiedź

Współczynnik kierunkowy prostej k wynosi √2.

\[a=\sqrt2\]

Sprawdzenie

Wynik jest dodatni, zgodnie z ostrym kątem nachylenia. Ponadto obliczona wartość tangensa odpowiada podanemu cosinusowi.

\[\frac{1}{\sqrt{1+(\sqrt2)^2}}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]

Zadanie 34

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym \(ABCDEFS\), którego krawędź podstawy \(a\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha=60^\circ\). Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFS z oznaczonym środkiem podstawy P i krawędzią a=8.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Promień i apotema podstawy

W sześciokącie foremnym promień okręgu opisanego jest równy bokowi, a apotema ma długość \(a\sqrt{3}/2\). Niech \(M\) będzie środkiem boku \(BC\).

\[PB=a=8,\qquad PM=\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\]

2 Wysokość ostrosłupa

Przekrój przez \(S\), \(P\) i \(M\) wyznacza kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy. W trójkącie prostokątnym \(SPM\) korzystamy z tangensa tego kąta.

\[\tan 60^\circ=\frac{SP}{PM},\qquad SP=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12\]

3 Cosinus szukanego kąta

Rzutem krawędzi \(SB\) na podstawę jest \(PB\). Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy \(SB\), a następnie cosinus kąta między \(SB\) i \(PB\).

\[SB=\sqrt{SP^2+PB^2}=\sqrt{12^2+8^2}=4\sqrt{13},\qquad \cos\beta=\frac{PB}{SB}=\frac{8}{4\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy wynosi \(\frac{2\sqrt{13}}{13}\).

\[\cos\beta=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej wysokości stosunek \(SP/PM\) wynosi \(\sqrt{3}\), więc kąt nachylenia ściany rzeczywiście ma \(60^\circ\). Ponadto \(SB^2=SP^2+PB^2\).

\[\frac{12}{4\sqrt{3}}=\sqrt{3}=\tan60^\circ,\qquad (4\sqrt{13})^2=12^2+8^2=208\]

Zadanie 16

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(P=(-3,4)\) i \(O=(0,0)\) leżą na jednej prostej. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia tej prostej do osi \(Ox\) (zobacz rysunek).

Wtedy tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Układ współrzędnych z prostą przechodzącą przez punkty P=(-3,4) i O=(0,0) oraz zaznaczonym kątem α nachylenia prostej do osi Ox.

\(-\frac{3}{4}\)

\(-\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{3}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Obliczamy go z współrzędnych dwóch punktów prostej.

\[\tan\alpha=\frac{y_P-y_O}{x_P-x_O}=\frac{4-0}{-3-0}=-\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi −4/3. Odpowiedź B.

\[\tan\alpha=-\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Na rysunku prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens kąta nachylenia są ujemne. Od punktu P do O przesunięcie wynosi 3 w prawo i 4 w dół, co daje −4/3.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0-4}{0-(-3)}=-\frac{4}{3}\]

Zadanie 17

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Wtedy

\(\cos\alpha=\frac{5}{2\sqrt{5}}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(\cos\alpha=\frac{1}{5}\)

\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu cosinusa

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby wyznaczyć cosinus z podanej wartości sinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2=1-\frac45=\frac15\]

2 Wybór znaku

Kąt ostry ma dodatni cosinus, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac15}=\frac{\sqrt5}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\]

Sprawdzenie

Kwadraty otrzymanego cosinusa i podanego sinusa sumują się do 1, a cosinus jest dodatni, zgodnie z warunkiem, że kąt jest ostry.

\[\left(\frac{2\sqrt5}{5}\right)^2+\left(\frac{\sqrt5}{5}\right)^2=\frac45+\frac15=1\]

Zadanie 29

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dwa okręgi o promieniach \(r=2\) i \(R=6\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej \(k\). Wykaż, że prosta \(l\) przechodząca przez środki \(S\) i \(P\) tych okręgów przecina prostą \(k\) pod kątem \(\alpha=30^\circ\) (zobacz rysunek).

Dwa okręgi styczne zewnętrznie i styczne do prostej k; prosta l przechodzi przez ich środki S i P, a między prostymi zaznaczono kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środków

Okręgi są styczne zewnętrznie, więc odległość ich środków jest sumą promieni.

\[SP=r+R=2+6=8\]

2 Różnica odległości od prostej

Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do prostej k. Środki leżą po tej samej jej stronie, więc ich odległości od k różnią się o 4.

\[R-r=6-2=4\]

3 Obliczenie kąta

Po poprowadzeniu przez S prostej równoległej do k otrzymujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej SP=8 i przyprostokątnej naprzeciw kąta α równej 4.

\[\sin\alpha=\frac{R-r}{SP}=\frac{4}{8}=\frac12\]

4 Wybór wartości kąta

Na rysunku α jest kątem ostrym. Jedyny kąt ostry, którego sinus wynosi jedna druga, ma 30°.

\[\alpha=30^\circ\]

Odpowiedź

Prosta l przecina prostą k pod kątem 30°.

\[\boxed{\alpha=30^\circ}\]

Sprawdzenie

Dla kąta 30° składowa odcinka SP prostopadła do k wynosi 4, czyli dokładnie tyle, ile wynosi różnica promieni.

\[SP\sin30^\circ=8\cdot\frac12=4=R-r\]

Zadanie 32

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym podstawa \(AB\) ma długość 12, a każde z ramion \(AC\) i \(BC\) ma długość równą 10. Punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(BC\) (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta \(\alpha\), jaki środkowa \(AD\) tworzy z ramieniem \(AC\) trójkąta \(ABC\).

Trójkąt ABC z podstawą AB oznaczoną 12 i ramionami oznaczonymi 10. Punkt D leży na ramieniu BC. Odcinek AD tworzy z AC kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z C dzieli podstawę na odcinki długości 6. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jej długość.

\[h=\sqrt{10^2-6^2}=8\]

2 Obliczenie długości środkowej

Przyjmujemy A=(0,0), B=(12,0) i C=(6,8). Ponieważ D jest środkiem BC, ma współrzędne (9,4).

\[D=\left(\frac{12+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(9,4),\qquad AD=\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}\]

3 Obliczenie sinusa kąta

Odcinki BD i CD są równe, więc trójkąt ACD ma połowę pola ABC. Korzystamy też ze wzoru na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P_{ACD}=\frac12\cdot\frac{12\cdot8}{2}=24,\qquad 24=\frac12\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot\sin\alpha,\qquad \sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\]

Odpowiedź

Sinus kąta α wynosi \(\frac{24}{5\sqrt{97}}\).

\[\sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\]

Sprawdzenie

Podstawienie wyniku do wzoru na pole daje 24, czyli połowę pola trójkąta ABC. Ponadto otrzymany sinus jest mniejszy od 1.

\[\frac12\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot\frac{24}{5\sqrt{97}}=24,\qquad \frac{24^2}{25\cdot97}=\frac{576}{2425}<1\]

Zadanie 12

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\in(0^\circ,180^\circ)\) oraz wiadomo, że \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha=-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2\) jest równa

\(\frac{15}{4}\)

\(\frac{9}{4}\)

\(\frac{27}{8}\)

\(\frac{21}{8}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy i z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[(\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2=\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha+2=3-2\sin\alpha\cos\alpha\]

2 Podstaw daną wartość

Podstawiamy iloczyn podany w treści zadania.

\[3-2\left(-\frac{3}{8}\right)=3+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi \(\frac{15}{4}\). Odpowiedź A.

\[\frac{15}{4}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{3}{8}<0\) i \(\alpha\in(0^\circ,180^\circ)\), kąt leży w II ćwiartce, gdzie taki znak iloczynu jest możliwy. Ponowne podstawienie do postaci \(3-2\sin\alpha\cos\alpha\) daje \(\frac{15}{4}\).

\[3-2\left(-\frac{3}{8}\right)=\frac{15}{4}\]

Zadanie 13

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Wartość wyrażenia \(2\sin^2 18^\circ+\sin^2 72^\circ+\cos^2 18^\circ\) jest równa

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana funkcji kąta dopełniającego

Ponieważ kąty 72° i 18° sumują się do 90°, możemy zapisać sinus 72° jako cosinus 18°.

\[\sin 72^\circ=\cos 18^\circ\]

2 Obliczenie wartości

Grupujemy równe składniki i korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[2\sin^2 18^\circ+\sin^2 72^\circ+\cos^2 18^\circ=2\sin^2 18^\circ+2\cos^2 18^\circ=2\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 2. Odpowiedź C.

\[2\]

Sprawdzenie

Po odjęciu jednej pary składników \(\sin^2 18^\circ+\cos^2 18^\circ\) pozostaje druga taka sama para. Każda para ma wartość 1, więc suma wynosi 2.

\[(\sin^2 18^\circ+\cos^2 18^\circ)+(\sin^2 18^\circ+\cos^2 18^\circ)=1+1=2\]

Zadanie 23

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy

Sześcian ABCDEFGH z przekątnymi AC i BD dolnej ściany, punktem ich przecięcia P oraz odcinkiem PH. Niewidoczne krawędzie są zaznaczone linią przerywaną.

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

\(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu odcinka

Punkt H leży pionowo nad D, więc rzutem odcinka PH na płaszczyznę ABCD jest PD. Szukany kąt to kąt HPD.

\[HD\perp(ABCD),\qquad \tan\angle HPD=\frac{HD}{PD}\]

2 Obliczenie tangensa

Jeśli krawędź sześcianu ma długość a>0, to HD=a. Przekątna kwadratu ABCD ma długość a√2, a P jest jej środkiem.

\[PD=\frac{a\sqrt{2}}{2},\qquad \tan\angle HPD=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Ponieważ PD jest krótsze od HD, tangens musi być większy od 1; otrzymana wartość √2 spełnia ten warunek. Obliczenie obowiązuje dla każdej krawędzi a>0.

\[\frac{HD}{PD}=\frac{a}{a/\sqrt{2}}=\sqrt{2}>1\]

Zadanie 34

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt rozwartokątny \(ABC\), w którym \(\angle ACB\) ma miarę \(120^\circ\). Ponadto wiadomo, że \(|BC|=10\) i \(|AB|=10\sqrt{7}\) (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta \(ABC\).

Trójkąt ABC z kątem ACB równym 120°, bokiem BC oznaczonym 10 i bokiem AB oznaczonym 10√7.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia cosinusów

Bok AB leży naprzeciw kąta 120°, więc oznaczamy szukaną długość AC przez x i stosujemy twierdzenie cosinusów. Ponieważ cosinus 120° wynosi −1/2, otrzymujemy równanie:

\[(10\sqrt{7})^2=x^2+10^2-2\cdot x\cdot10\cdot\cos120^\circ=x^2+100+10x\]

2 Rozwiązanie równania

Przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki. Odrzucamy ujemny pierwiastek, ponieważ długość boku musi być dodatnia.

\[700=x^2+10x+100\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+10x-600=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x+30)(x-20)=0,\qquad x=20\]

Odpowiedź

Długość boku AC wynosi 20.

\[|AC|=20\]

Sprawdzenie

Dla AC = 20 prawa strona twierdzenia cosinusów wynosi 700, czyli tyle samo co kwadrat podanej długości AB. Wszystkie długości boków są dodatnie.

\[20^2+10^2-2\cdot20\cdot10\cdot\cos120^\circ=400+100+200=700=(10\sqrt7)^2\]

Zadanie 13

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Cosinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{12}{13}\). Wtedy

\(\sin\alpha=\frac{13}{12}\)

\(\sin\alpha=\frac{1}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{5}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{25}{169}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu sinusa

Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej, aby wyznaczyć sinus z podanego cosinusa.

\[\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}\]

2 Wyznaczenie sinusa

Kąt jest ostry, więc jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\sin\alpha=\frac{5}{13}\]

Sprawdzenie

Otrzymany sinus jest dodatni, a jego kwadrat wraz z kwadratem podanego cosinusa daje 1.

\[\left(\frac{5}{13}\right)^2+\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25+144}{169}=1\]

Zadanie 34

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest równa 12. (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS z zaznaczonym środkiem podstawy O, wysokością SO, krawędzią boczną długości 12 i kątem α przy wierzchołku S.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i odcinka AO

W ostrosłupie prawidłowym wysokość SO jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt SAO jest prostokątny. Z tangensa kąta przy S mamy stosunek przyprostokątnych 2 do √5; twierdzenie Pitagorasa daje wtedy stosunek boków 2:√5:3.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{AO}{SO}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad SA=12=3\cdot4,\qquad AO=8,\quad SO=4\sqrt5.\]

2 Obliczenie pola podstawy

Punkt O jest środkiem kwadratu, więc AO stanowi połowę jego przekątnej. Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu przekątnej.

\[AC=2AO=16,\qquad P_{ABCD}=\frac{AC^2}{2}=\frac{16^2}{2}=128.\]

3 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac13P_{ABCD}\cdot SO=\frac13\cdot128\cdot4\sqrt5=\frac{512\sqrt5}{3}.\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi 512√5/3 jednostek sześciennych.

\[V=\frac{512\sqrt5}{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają warunek kąta i długości krawędzi bocznej.

\[\frac{AO}{SO}=\frac{8}{4\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad AO^2+SO^2=8^2+(4\sqrt5)^2=144=SA^2.\]

Zadanie 15

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Liczba \(1-\operatorname{tg}40^\circ\) jest

ujemna.

dodatnia, ale mniejsza od \(0{,}1\).

większa od \(0{,}1\), ale mniejsza od \(0{,}5\).

większa od \(0{,}5\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości

Obliczamy tangens kąta 40° i odejmujemy go od 1, aby ustalić przedział, do którego należy liczba.

\[\operatorname{tg}40^\circ\approx 0{,}8391,\qquad 1-\operatorname{tg}40^\circ\approx 0{,}1609\]

Odpowiedź

Liczba jest większa od 0,1, ale mniejsza od 0,5. Odpowiedź C.

\[0{,}1<1-\operatorname{tg}40^\circ<0{,}5\]

Sprawdzenie

Wartość 0,1609 jest dodatnia, większa od 0,1 i mniejsza od 0,5, więc spełnia warunki odpowiedzi C.

\[0{,}1<0{,}1609<0{,}5\]

Zadanie 21

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Stożek o promieniu podstawy \(r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

\(\frac{4}{3}\)

\(12\)

\(\sqrt{17}\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości stożka

Przyrównujemy objętości stożka i kuli o tym samym promieniu. Ponieważ promień jest dodatni, możemy skrócić przez \(\pi r^2\).

\[\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{4}{3}\pi r^3\quad\Rightarrow\quad h=4r\]

2 Obliczenie tangensa

Kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy jest kątem między tworzącą a jej rzutem na podstawę. W przekroju osiowym jego tangens to stosunek wysokości do promienia.

\[\tan\alpha=\frac{h}{r}=\frac{4r}{r}=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: tangens kąta wynosi 4.

\[\tan\alpha=4\]

Sprawdzenie

Dla wysokości \(h=4r\) objętość stożka wynosi \(\frac{4}{3}\pi r^3\), czyli tyle samo co objętość kuli. Warunek \(r>0\) pozwala obliczyć iloraz \(h/r\).

\[V_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot4r=\frac{4}{3}\pi r^3=V_{\text{kuli}}\]

Zadanie 30

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie iloczynu

Podnosimy daną równość do kwadratu i korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=2\;\Longrightarrow\;1+2\sin\alpha\cos\alpha=2\;\Longrightarrow\;\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\]

2 Obliczenie wyrażenia

Kąt jest ostry, więc sinus i cosinus są niezerowe. Zapisujemy tangens i jego odwrotność jako ilorazy.

\[\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac1{\frac12}=2\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 2.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla ostrego kąta 45° suma sinusa i cosinusa wynosi √2, a tangens jest równy 1. Otrzymujemy 1+1=2.

\[\sin45^\circ+\cos45^\circ=\sqrt2,\qquad \operatorname{tg}45^\circ+\frac1{\operatorname{tg}45^\circ}=1+1=2\]