Zbiór zadań maturalnych

Trygonometria — zadania maturalne

Trygonometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

102 zadańStrona 4 z 7

Sortuj:

Zadanie 33

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole tego trapezu.

Trapez równoramienny ABCD z oznaczeniami: CD = 6, AD = 4 oraz kąty przy podstawie AB po 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Po opuszczeniu wysokości z wierzchołka D powstaje trójkąt prostokątny. Ramię AD jest jego przeciwprostokątną.

\[h=AD\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\]

2 Obliczenie dłuższej podstawy

Poziomy rzut każdego ramienia ma długość 2. Dodajemy oba rzuty do krótszej podstawy.

\[AB=CD+2\cdot AD\cos 60^\circ=6+2\cdot4\cdot\frac12=10\]

3 Obliczenie pola

Pole trapezu jest równe połowie sumy podstaw pomnożonej przez wysokość.

\[P=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot2\sqrt{3}=16\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole trapezu wynosi 16√3 jednostek kwadratowych.

\[P=16\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Różnica podstaw wynosi 4, więc na każde ramię przypada poziomy rzut 2. Wraz z wysokością 2√3 daje to ramię długości 4, zgodnie z danymi.

\[\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16}=4\]

Zadanie 16

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\frac{2}{3}\). Wtedy \(\cos^2(90^\circ-\alpha)\) jest równy

\(\frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{9}\)

\(\frac{4}{9}\)

\(\frac{5}{9}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na kąt dopełniający

Cosinus kąta dopełniającego jest równy sinusowi danego kąta, więc korzystamy z podanej wartości sinusa.

\[\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\frac{2}{3}\]

2 Podniesienie do kwadratu

Obliczamy wartość wyrażenia z treści zadania.

\[\cos^2(90^\circ-\alpha)=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\]

Odpowiedź

Wynik to 4/9, odpowiedź C.

\[\frac{4}{9}\]

Sprawdzenie

Z jedynki trygonometrycznej wynika, że cos²α = 5/9. Dla kąta dopełniającego cos²(90°−α) = 1−cos²α = 4/9, zgodnie z wynikiem.

\[\cos^2\alpha=1-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{5}{9},\qquad \cos^2(90^\circ-\alpha)=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\]

Zadanie 19

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole rombu o obwodzie \(20\) i kącie rozwartym \(120^\circ\) jest równe

\(\frac{25\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{5\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{25}{2}\)

\(\frac{25\sqrt{3}}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Romb ma cztery równe boki, więc długość boku otrzymujemy, dzieląc obwód przez 4.

\[a=\frac{20}{4}=5\]

2 Obliczenie pola

Pole rombu jest iloczynem kwadratu boku i sinusa kąta między bokami. Korzystamy z równości \(\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

\[P=a^2\sin 120^\circ=5^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\). Odpowiedź A.

\[P=\frac{25\sqrt{3}}{2}\]

Sprawdzenie

Wysokość rombu wynosi \(5\sin 120^\circ=\frac{5\sqrt{3}}{2}\). Iloczyn podstawy i wysokości daje otrzymane pole.

\[5\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\]

Zadanie 16

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(3\sqrt{5}\). Wtedy tangens kąta ostrego \(CAB\) tego trójkąta jest równy

\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie drugiej przyprostokątnej

Ponieważ AB jest przeciwprostokątną, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość BC.

\[BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-6^2}=\sqrt{45-36}=3\]

2 Obliczenie tangensa

Dla kąta CAB przyprostokątną naprzeciwległą jest BC, a przyległą AC.

\[\operatorname{tg}\angle CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Tangens kąta CAB wynosi 1/2. Odpowiedź C.

\[\operatorname{tg}\angle CAB=\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Obliczone długości spełniają twierdzenie Pitagorasa: 3² + 6² = 45 = (3√5)².

\[3^2+6^2=45=(3\sqrt{5})^2\]

Zadanie 17

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Nie istnieje kąt ostry \(\alpha\) taki, że

\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\) i \(\cos\alpha=\frac{2}{3}\)

\(\sin\alpha=\frac{5}{13}\) i \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) i \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)

\(\sin\alpha=\frac{9}{15}\) i \(\cos\alpha=\frac{12}{15}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości

Dla każdego kąta zachodzi tożsamość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), więc sprawdzamy ją dla podanych par.

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

W odpowiedzi A suma kwadratów jest różna od \(1\). Pozostałe pary spełniają tożsamość.

\[\begin{aligned}\text{A: }&\frac{1^2+2^2}{3^2}=\frac59\ne1,\\\text{B: }&\frac{5^2+12^2}{13^2}=1,\\\text{C: }&\frac{3^2+4^2}{5^2}=1,\\\text{D: }&\frac{9^2+12^2}{15^2}=1.\end{aligned}\]

Odpowiedź

A — nie istnieje taki kąt ostry.

\[\boxed{\text{A}}\]

Sprawdzenie

W A wartości sinus i cosinus naruszają tożsamość obowiązującą dla każdego kąta. W B, C i D obie wartości są dodatnie, mniejsze od 1 i spełniają tożsamość, więc mogą odpowiadać kątom ostrym.

\[\frac59\ne1,\qquad \frac{169}{169}=\frac{25}{25}=\frac{225}{225}=1\]

Zadanie 20

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\sin\alpha=0{,}2\). Długość przekątnej tego prostokąta jest równa

\(4\sqrt{5}\)

\(4\sqrt{10}\)

\(80\)

\(160\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pola przez przekątne

Przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Cztery powstałe trójkąty mają więc łączne pole równe połowie iloczynu kwadratów długości przekątnej i sinusa kąta między przekątnymi.

\[P=4\cdot\frac12\cdot\frac d2\cdot\frac d2\sin\alpha=\frac{d^2\sin\alpha}{2}\]

2 Obliczenie długości

Podstawiamy dane o polu i kącie, a następnie wybieramy dodatnią długość.

\[16=\frac{d^2\cdot0{,}2}{2}=0{,}1d^2,\qquad d^2=160,\qquad d=4\sqrt{10}\]

Odpowiedź

B. Długość przekątnej wynosi 4√10.

\[d=4\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej długości wzór na pole daje 16, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{(4\sqrt{10})^2\cdot0{,}2}{2}=16\]

Zadanie 15

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt o mierze \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{5}\). Wtedy

\(\cos^2\alpha=\frac{1}{6}\)

\(\cos^2\alpha=\frac{1}{5}\)

\(\cos^2\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(\cos^2\alpha=\frac{5}{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu tangensa

Podnosimy podaną wartość do kwadratu, aby skorzystać z tożsamości trygonometrycznej.

\[\operatorname{tg}^2\alpha=(\sqrt{5})^2=5\]

2 Obliczenie kwadratu cosinusa

Korzystamy z tożsamości \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\).

\[\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+5=6\quad\Rightarrow\quad\cos^2\alpha=\frac{1}{6}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\cos^2\alpha=\frac{1}{6}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni. Z otrzymanej wartości wynika \(\sin^2\alpha=\frac{5}{6}\), więc kwadrat tangensa wynosi \(\frac{5/6}{1/6}=5\), zgodnie z treścią zadania.

\[\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{5/6}{1/6}=5\]

Zadanie 20

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę \(120^\circ\), a najdłuższy bok ma długość \(12\) (zobacz rysunek).

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

Trójkąt równoramienny z kątem przy wierzchołku oznaczonym 120° i podstawą oznaczoną 12.

\(6\)

\(2\sqrt{3}\)

\(4\sqrt{3}\)

\(6\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór wysokości

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu boku i opuszczonej na niego wysokości. Najkrótsza wysokość pada więc na najdłuższy bok, czyli podstawę długości 12.

\[P=\frac12 ah_a,\qquad h_a=\frac{2P}{a}\]

2 Podział trójkąta

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku na połowy.

\[\frac{12}{2}=6,\qquad \frac{120^\circ}{2}=60^\circ\]

3 Obliczenie wysokości

W powstałym trójkącie prostokątnym korzystamy z tangensa kąta 60°.

\[\tan 60^\circ=\frac{6}{h}=\sqrt{3},\qquad h=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Najkrótsza wysokość ma długość 2√3. Odpowiedź B.

\[h=2\sqrt{3}\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wysokości stosunek połowy podstawy do wysokości wynosi √3, czyli tangens kąta 60°. Obie połówki tworzą zatem kąt 120° przy wierzchołku.

\[\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]

Zadanie 9

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(2,-3)\) i jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(45^\circ\) (zobacz rysunek). Prosta \(k\) ma równanie

Układ współrzędnych z prostą k nachyloną do dodatniego zwrotu osi Ox pod kątem 45°.

\(y=x-5\)

\(y=-x-1\)

\(y=-x+5\)

\(y=x+5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta jej nachylenia do dodatniego zwrotu osi \(Ox\).

\[a=\tan 45^\circ=1\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu \(A=(2,-3)\) do równania \(y=ax+b\).

\[-3=1\cdot2+b\quad\Rightarrow\quad b=-5\]

Odpowiedź

Prosta ma równanie \(y=x-5\). Poprawna odpowiedź: A.

\[y=x-5\]

Sprawdzenie

Dla \(x=2\) otrzymujemy \(y=2-5=-3\), więc prosta przechodzi przez punkt \(A\). Jej współczynnik kierunkowy wynosi \(1=\tan45^\circ\), zatem ma wymagane nachylenie.

\[2-5=-3,\qquad a=1=\tan45^\circ\]

Zadanie 16

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\frac{7}{25}\). Wynika stąd, że

\(\cos\alpha=\frac{576}{625}\)

\(\cos\alpha=\frac{24}{25}\)

\(\cos\alpha=-\sqrt{\frac{24}{25}}\)

\(\cos\alpha=\frac{18}{25}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej

Korzystamy z zależności między sinusem a cosinusem, aby obliczyć kwadrat cosinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{7}{25}\right)^2=\frac{576}{625}\]

2 Wybór znaku

Kąt jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha=\frac{24}{25}\]

Sprawdzenie

Otrzymany cosinus jest dodatni, a suma kwadratów podanego sinusa i obliczonego cosinusa wynosi 1.

\[\left(\frac{7}{25}\right)^2+\left(\frac{24}{25}\right)^2=\frac{49+576}{625}=1\]

Zadanie 32

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty, a kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(30^\circ\). Na boku \(AB\) tego trójkąta obrano punkt \(D\) tak, że miara kąta \(CDA\) jest równa \(60^\circ\) oraz \(|AD|=6\) (zobacz rysunek). Oblicz \(|BD|\).

Trójkąt ABC z kątem prostym przy A. Punkt D leży na boku AB; zaznaczono kąty 60° przy D i 30° przy B oraz długość AD równą 6.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku AC

Trójkąt ACD jest prostokątny przy A, więc korzystamy z tangensa kąta 60°.

\[\tan 60^\circ=\frac{|AC|}{|AD|},\qquad |AC|=6\sqrt{3}\]

2 Obliczenie boku AB

W trójkącie prostokątnym ABC tangens kąta 30° pozwala wyznaczyć AB z długości AC.

\[\tan 30^\circ=\frac{|AC|}{|AB|},\qquad |AB|=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}/3}=18\]

3 Obliczenie odcinka BD

Punkt D leży na boku AB, więc odejmujemy długość AD od długości AB.

\[|BD|=|AB|-|AD|=18-6=12\]

Odpowiedź

Długość odcinka BD wynosi 12.

\[|BD|=12\]

Sprawdzenie

Otrzymane AB jest dłuższe od AD, więc D leży między A i B. Ponadto stosunki boków dają wymagane kąty.

\[\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ,\qquad \frac{|AC|}{|AB|}=\frac{6\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]

Zadanie 16

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) są dane długości boków: \(|AB|=8\), \(|BC|=5\), \(|DC|=5\), \(|AD|=4\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta ostrego \(ABC\) w tym trapezie jest równy

Trapez prostokątny ABCD z oznaczonym kątem ABC i długościami boków 8, 5, 5, 4

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Utworzenie trójkąta prostokątnego

Opuszczamy z punktu C prostopadłą na AB i oznaczamy jej podstawę przez E. Ponieważ AD jest prostopadłe do podstaw, ADCE jest prostokątem. Stąd AE=DC=5 oraz CE=AD=4.

\[|AE|=5,\qquad |CE|=4\]

2 Obliczenie tangensa

Odcinek BE jest różnicą długości podstawy AB i odcinka AE. W trójkącie prostokątnym BCE tangens kąta ABC jest ilorazem przyprostokątnej naprzeciw kąta i przyprostokątnej przy kącie.

\[|BE|=8-5=3,\qquad \tan\angle ABC=\frac{|CE|}{|BE|}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta ABC wynosi 4/3. Odpowiedź A.

\[\tan\angle ABC=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Obliczone przyprostokątne dają przeciwprostokątną długości 5, zgodną z podaną długością BC. Ponieważ obie przyprostokątne mają dodatnie długości, rozpatrywany kąt jest ostry.

\[|BC|=\sqrt{3^2+4^2}=5\]

Zadanie 18

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Pole trójkąta równoramiennego jest równe \(25\sqrt{2}\). Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa \(45^\circ\). Każde z ramion tego trójkąta ma długość

\(10\sqrt{2}\)

\(5\sqrt{2}\)

\(5\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pola

Oznaczamy długość ramienia przez \(a>0\). Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P=\frac12a^2\sin45^\circ=\frac{a^2\sqrt2}{4}\]

2 Obliczenie ramienia

Podstawiamy podane pole, skracamy przez \(\sqrt2\) i wybieramy dodatnią długość.

\[\frac{a^2\sqrt2}{4}=25\sqrt2\;\Longrightarrow\;a^2=100\;\Longrightarrow\;a=10\]

Odpowiedź

Każde ramię ma długość 10. Odpowiedź D.

\[a=10\]

Sprawdzenie

Dla ramion długości 10 i kąta 45° wzór daje dokładnie podane pole.

\[\frac12\cdot10\cdot10\cdot\sin45^\circ=25\sqrt2\]

Zadanie 19

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym przyprostokątna \(BC\) ma długość \(250\) cm, a przyprostokątna \(AC\) ma długość \(91\) cm. Miara \(\beta\) kąta \(ABC\) spełnia warunek

\(19^\circ<\beta<21^\circ\)

\(21^\circ<\beta<23^\circ\)

\(67^\circ<\beta<69^\circ\)

\(69^\circ<\beta<71^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie tangensa

Kąt prosty leży przy C. Dla kąta przy B bok AC jest przeciwległy, a BC przyległy, więc korzystamy z definicji tangensa.

\[\tan\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{91}{250}=0{,}364\]

2 Wyznaczenie przedziału

Tangens rośnie dla kątów ostrych. Porównanie wartości na końcach przedziału pozwala ustalić, gdzie leży kąt β.

\[\tan19^\circ\approx0{,}3443<0{,}364<0{,}3839\approx\tan21^\circ\quad\Longrightarrow\quad19^\circ<\beta<21^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: kąt β jest większy od 19° i mniejszy od 21°.

\[19^\circ<\beta<21^\circ\]

Sprawdzenie

Obliczenie odwrotne daje β ≈ 20,0015°, co należy do przedziału A. Kąt jest ostry, zgodnie z warunkami trójkąta prostokątnego.

\[\beta=\arctan\left(\frac{91}{250}\right)\approx20{,}0015^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku \(2\). Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup o podstawie kwadratu z zaznaczoną przekątną, kątem 60° i bokami podstawy długości 2

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(4\sqrt{2}\)

\(\frac{\sqrt{6}}{4}\)

\(2\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest kwadratem o boku 2, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu. W powstałym trójkącie prostokątnym wysokość jest przyprostokątną naprzeciw kąta 60°.

\[\tan 60^\circ=\frac{h}{d},\qquad h=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{6}\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi 2√6. Odpowiedź D.

\[h=2\sqrt{6}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej wysokości stosunek wysokości do przekątnej podstawy wynosi √3, czyli tangens kąta 60°.

\[\frac{h}{d}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]