Zbiór zadań maturalnych

Stereometria — zadania maturalne

Stereometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

92 zadańStrona 1 z 7

Sortuj:

Zadanie 25

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{6}$

$6\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odległości środka podstawy od wierzchołka kwadratu

Jest to połowa przekątnej kwadratu o boku 12.

\[d=12\sqrt{2},\qquad r=\frac{d}{2}=6\sqrt{2}\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość, odcinek o długości r i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[h^2+(6\sqrt{2})^2=12^2,\qquad h=\sqrt{144-72}=6\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi $6\sqrt{2}$. Odpowiedź D.

\[h=6\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wysokość jest dodatnia, a suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi krawędzi bocznej.

\[(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=72+72=144=12^2\]

Zadanie 26

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka o promieniu podstawy $3$ ma długość $6$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.	P	F
Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie pól

Pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru $P_b=\pi rl$, a pole podstawy ze wzoru $P_p=\pi r^2$. Ich iloraz pozwala ocenić pierwsze stwierdzenie.

\[P_b=\pi\cdot3\cdot6=18\pi,\quad P_p=\pi\cdot3^2=9\pi,\quad P_b=2P_p\]

2 Kąt rozwarcia

Przekrój osiowy tworzy trójkąt równoramienny. Jego wysokość dzieli kąt rozwarcia $\alpha$ na połowy, a w powstałym trójkącie prostokątnym promień jest przyprostokątną naprzeciw kąta $\frac{\alpha}{2}$.

\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l}=\frac{3}{6}=\frac12,\quad \frac{\alpha}{2}=30^\circ,\quad \alpha=60^\circ\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.

\[P_b=2P_p,\quad \alpha=60^\circ\]

Sprawdzenie

Iloraz pól wynosi 2. W przekroju osiowym połowa kąta 60° wynosi 30°, a sinus tego kąta jest równy stosunkowi promienia do tworzącej, czyli 1/2.

\[\frac{18\pi}{9\pi}=2,\quad \sin30^\circ=\frac12=\frac36\]

Zadanie 27

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Odcinek $AD$ jest wysokością walca, a odcinek $AB$ jest średnicą podstawy walca. Odcinek $BD$ ma długość $4\sqrt{3}$. Miara kąta $ABD$ jest równa $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

$Walec z zaznaczonym trójkątem ABD. AD jest wysokością walca, AB średnicą podstawy, BD ma długość $4\sqrt{3}$, a kąt ABD ma miarę $30^\circ$.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i promienia

Wysokość walca AD jest prostopadła do średnicy podstawy AB, więc trójkąt ABD jest prostokątny w A. Z definicji sinusa i cosinusa kąta 30° obliczamy jego przyprostokątne, a promień jest połową średnicy.

\[AD=BD\sin 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac12=2\sqrt{3},\quad AB=BD\cos 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}2=6,\quad r=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca to pole podstawy pomnożone przez wysokość.

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot 3^2\cdot 2\sqrt{3}=18\sqrt{3}\pi\]

3 Obliczenie pola powierzchni całkowitej

Dodajemy pola dwóch podstaw i powierzchni bocznej walca.

\[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot 3^2+2\pi\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}=(18+12\sqrt{3})\pi\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi $18\sqrt{3}\pi$ jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi $(18+12\sqrt{3})\pi$ jednostek kwadratowych.

\[V=18\sqrt{3}\pi,\qquad P_c=(18+12\sqrt{3})\pi\]

Sprawdzenie

Obliczone długości spełniają twierdzenie Pitagorasa, a stosunek wysokości do średnicy daje wymagany kąt 30°.

\[(2\sqrt{3})^2+6^2=12+36=48=(4\sqrt{3})^2,\qquad \frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac12=\sin 30^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{6}$

$6\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu

Spodek wysokości leży w środku kwadratowej podstawy. Szukana odległość jest połową przekątnej kwadratu o boku 12.

\[d=12\sqrt{2},\qquad r=\frac{d}{2}=6\sqrt{2}\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość, odcinek długości r i krawędź boczna długości 12 tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[h^2+r^2=12^2,\qquad h=\sqrt{144-(6\sqrt{2})^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi 6√2. Odpowiedź D.

\[h=6\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat wysokości i kwadrat odległości od środka podstawy sumują się do kwadratu krawędzi bocznej: 72 + 72 = 144.

\[(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=72+72=12^2\]

Zadanie 22

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka o promieniu podstawy $1$ ma długość $3$.

Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie środkowym o mierze

$60^\circ$

$90^\circ$

$120^\circ$

$150^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość łuku wycinka

Łuk wycinka po rozłożeniu powierzchni bocznej ma długość równą obwodowi podstawy stożka.

\[s=2\pi r=2\pi\cdot1=2\pi\]

2 Kąt środkowy

Promień wycinka jest równy tworzącej stożka, czyli 3. Korzystamy ze wzoru na długość łuku wycinka.

\[\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot3=2\pi\quad\Rightarrow\quad\alpha=120^\circ\]

Odpowiedź

Kąt środkowy ma miarę 120°, więc poprawna jest odpowiedź C.

\[\alpha=120^\circ\]

Sprawdzenie

Dla kąta 120° łuk wycinka ma długość 2π, równą obwodowi podstawy stożka.

\[\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot3=2\pi\]

Zadanie 33

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Odcinek $AD$ jest wysokością walca, a odcinek $AB$ jest średnicą podstawy walca. Odcinek $BD$ ma długość $4\sqrt{3}$. Miara kąta $ABD$ jest równa $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.

Walec z zaznaczonym trójkątem ABD. Odcinek AD jest wysokością, AB średnicą podstawy, BD ma długość 4√3, a kąt ABD ma miarę 30°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Ponieważ AD jest wysokością walca, jest prostopadły do płaszczyzny podstawy, a więc także do AB. W trójkącie prostokątnym ABD obliczamy przyprostokątne z sinusa i cosinusa kąta 30°. AB jest średnicą podstawy.

\[AD=BD\sin30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac12=2\sqrt3,\quad AB=BD\cos30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6,\quad r=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca jest iloczynem pola podstawy i wysokości.

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot3^2\cdot2\sqrt3=18\sqrt3\pi\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Dodajemy pola dwóch podstaw i pole powierzchni bocznej.

\[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3\cdot2\sqrt3=(18+12\sqrt3)\pi\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi 18√3π jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi (18 + 12√3)π jednostek kwadratowych.

\[V=18\sqrt3\pi,\qquad P_c=(18+12\sqrt3)\pi\]

Sprawdzenie

Otrzymane wymiary spełniają twierdzenie Pitagorasa oraz dają wskazany kąt przy B.

\[AB^2+AD^2=6^2+(2\sqrt3)^2=48=(4\sqrt3)^2,\qquad \frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac12=\sin30^\circ\]

Zadanie 27

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

W ostrosłupie prawidłowym wysokość pada na środek podstawy. Rzut krawędzi bocznej na podstawę ma długość równą połowie przekątnej kwadratu, więc korzystamy z tangensa kąta nachylenia.

\[h=\frac{8\sqrt{3}}{2}\cdot\tan 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=4\]

2 Obliczenie pola podstawy

Pole kwadratu o przekątnej d wynosi $\frac{d^2}{2}$.

\[P_p=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2}=96\]

3 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac{1}{3}P_ph=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4=128\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi 128 jednostek sześciennych.

\[V=128\]

Sprawdzenie

Wysokość jest dodatnia, a stosunek wysokości do połowy przekątnej podstawy daje wymagany kąt 30°.

\[\tan 30^\circ=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

Zadanie 28

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

$\frac{1}{12}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{4}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie objętości

Oznaczamy promień walca przez r, a wspólną wysokość przez h. Promień stożka wynosi 2r, więc podstawiamy te wielkości do wzorów na objętość.

\[r>0,\quad h>0,\quad V_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi(2r)^2h=\frac{4}{3}\pi r^2h,\quad V_{\text{walca}}=\pi r^2h\]

2 Obliczenie stosunku

Dzielimy objętość stożka przez objętość walca i skracamy dodatni czynnik $\pi r^2h$.

\[\frac{V_{\text{stożka}}}{V_{\text{walca}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^2h}{\pi r^2h}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Stosunek wynosi $\frac{4}{3}$. Odpowiedź D.

\[\frac{V_{\text{stożka}}}{V_{\text{walca}}}=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Dla promienia walca 1 i wspólnej wysokości 3 promień stożka wynosi 2. Objętości są wtedy równe odpowiednio $3\pi$ i $4\pi$, więc ich stosunek to $\frac{4}{3}$.

\[V_{\text{walca}}=\pi\cdot1^2\cdot3=3\pi,\quad V_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi\cdot2^2\cdot3=4\pi,\quad \frac{4\pi}{3\pi}=\frac{4}{3}\]

Zadanie 22

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe $12$.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

$\sqrt{2}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$\sqrt{6}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc jego pole całkowite wynosi $6a^2$.

\[6a^2=12\quad\Rightarrow\quad a^2=2\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{2}\]

2 Obliczenie przekątnej

Z twierdzenia Pitagorasa w trzech prostopadłych kierunkach kwadrat przekątnej sześcianu jest sumą kwadratów trzech krawędzi.

\[d^2=a^2+a^2+a^2=3\cdot2=6\quad\Rightarrow\quad d=\sqrt{6}\]

Odpowiedź

Przekątna ma długość $\sqrt{6}$. Odpowiedź D.

\[d=\sqrt{6}\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi $\sqrt{2}$ pole całkowite wynosi $6(\sqrt{2})^2=12$, zgodnie z treścią zadania.

\[6(\sqrt{2})^2=12\]

Zadanie 23

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

$\frac{1}{12}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{4}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie wymiarów

Ponieważ wysokości są równe, oznaczamy je przez h. Jeśli promień walca wynosi r, to promień stożka wynosi 2r.

\[r>0,\quad h>0,\quad R=2r\]

2 Obliczenie stosunku objętości

Objętość stożka jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości, a objętość walca — całemu takiemu iloczynowi. Podstawiamy wymiary i skracamy wspólne czynniki.

\[\frac{V_s}{V_w}=\frac{\frac13\pi(2r)^2h}{\pi r^2h}=\frac{4\pi r^2h}{3\pi r^2h}=\frac43\]

Odpowiedź

Stosunek objętości stożka do objętości walca wynosi 4/3. Odpowiedź D.

\[\frac{V_s}{V_w}=\frac43\]

Sprawdzenie

Dla r=1 i h=3 objętość stożka wynosi 4π, a walca 3π, więc ich stosunek to 4/3.

\[\frac{\frac13\pi\cdot 2^2\cdot 3}{\pi\cdot 1^2\cdot 3}=\frac{4\pi}{3\pi}=\frac43\]

Zadanie 24

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $94{,}5$. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym $4$.

Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Ponieważ długości tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4, można zapisać je jako kolejne wyrazy tego ciągu, gdzie a>0.

\[a,\ 4a,\ 16a\]

2 Wyznaczenie krawędzi

Podstawiamy te długości do wzoru na pole całkowite prostopadłościanu i korzystamy z dodatniości a.

\[2(a\cdot4a+4a\cdot16a+a\cdot16a)=94{,}5\quad\Rightarrow\quad168a^2=\frac{189}{2}\quad\Rightarrow\quad a^2=\frac{9}{16}\quad\Rightarrow\quad a=\frac34\]

3 Obliczenie objętości

Objętość jest iloczynem długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

\[V=a\cdot4a\cdot16a=64\left(\frac34\right)^3=27\]

Odpowiedź

Objętość prostopadłościanu wynosi 27 jednostek sześciennych.

\[V=27\]

Sprawdzenie

Otrzymane krawędzie mają długości 0,75, 3 i 12, więc są dodatnie i każda kolejna jest cztery razy dłuższa od poprzedniej. Ich pole całkowite wynosi 94,5.

\[2(0{,}75\cdot3+3\cdot12+0{,}75\cdot12)=94{,}5\]

Zadanie 25

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $20$. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

$2$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{10}$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola podstawy

Pole boczne jest cztery razy większe od pola podstawy, więc pole całkowite jest pięciokrotnością pola podstawy.

\[P_c=P_p+P_b=P_p+4P_p=5P_p=20\quad\Rightarrow\quad P_p=4\]

2 Obliczenie krawędzi

Podstawa jest kwadratem. Długość jej krawędzi jest dodatnia, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[a^2=P_p=4\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Odpowiedź

A. Długość krawędzi podstawy wynosi 2.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla pola podstawy 4 pole boczne wynosi 16, czyli jest cztery razy większe. Suma pól wynosi 20.

\[P_b=4\cdot4=16,\qquad P_c=4+16=20\]

Zadanie 26

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka ma długość $6$. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego stożka jest równa

$3$

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$3\sqrt{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekrój osiowy

W przekroju osiowym wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 30°. Powstaje trójkąt prostokątny, w którym tworząca jest przeciwprostokątną.

\[\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość leży przy kącie 30°, więc korzystamy z cosinusa tego kąta.

\[\cos 30^\circ=\frac{h}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad h=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Wysokość stożka wynosi 3√3. Odpowiedź C.

\[h=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Promień podstawy wynosi 3. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tworzącą długości 6, zgodną z treścią zadania.

\[r=6\sin 30^\circ=3,\qquad h^2+r^2=(3\sqrt{3})^2+3^2=36=6^2\]

Zadanie 22

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $20$. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

$2$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{10}$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pola podstawy

Pole całkowite jest sumą pola podstawy i pola bocznego. Skoro pole boczne jest cztery razy większe od pola podstawy, pole całkowite stanowi pięciokrotność pola podstawy.

\[P_c=P_p+P_b=P_p+4P_p=5P_p=20,\quad P_p=4\]

2 Obliczenie krawędzi podstawy

Podstawa jest kwadratem o boku $a$, więc jej pole wynosi $a^2$. Długość krawędzi jest dodatnia.

\[a^2=4,\quad a=\sqrt{4}=2\]

Odpowiedź

Długość krawędzi podstawy wynosi 2. Odpowiedź A.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla boku 2 pole podstawy wynosi 4, a pole boczne 16. Ich suma to 20, zgodnie z treścią zadania.

\[P_p=2^2=4,\quad P_b=4\cdot4=16,\quad P_c=4+16=20\]

Zadanie 23

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka ma długość $6$. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$.

Wysokość tego stożka jest równa

$3$

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$3\sqrt{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta w przekroju

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na połowy, więc kąt między wysokością a tworzącą ma miarę $30^\circ$.

\[\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\]

2 Obliczenie wysokości

W powstałym trójkącie prostokątnym tworząca jest przeciwprostokątną, a wysokość leży przy kącie $30^\circ$. Korzystamy z cosinusa tego kąta.

\[\cos 30^\circ=\frac{h}{6},\qquad h=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Wysokość stożka wynosi $3\sqrt{3}$. Odpowiedź C.

\[h=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Połowa średnicy podstawy ma długość $6\sin 30^\circ=3$. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tworzącą długości $6$, zgodnie z treścią zadania.

\[\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{27+9}=6\]

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.	P	F
Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^\circ\).	P	F