Zbiór zadań maturalnych

Stereometria — zadania maturalne

Stereometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

92 zadańStrona 6 z 7

Sortuj:

Zadanie 19

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

\(14\)

\(21\)

\(28\)

\(26\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczby boków podstawy

Graniastosłup ma dwie podstawy, każda z taką samą liczbą wierzchołków. Z 14 wierzchołków wynika, że podstawa jest siedmiokątem.

\[2n=14\quad\Rightarrow\quad n=7\]

2 Obliczenie liczby krawędzi

Każda podstawa ma 7 krawędzi, a kolejne 7 krawędzi łączy odpowiadające sobie wierzchołki podstaw.

\[7+7+7=21\]

Odpowiedź

Graniastosłup ma 21 krawędzi. Odpowiedź B.

\[21\]

Sprawdzenie

Dwie siedmiokątne podstawy mają razem 14 wierzchołków, zgodnie z treścią zadania. Liczba krawędzi w obu podstawach i między nimi wynosi 21.

\[2\cdot7=14,\qquad 2\cdot7+7=21\]

Zadanie 22

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest stożek o wysokości \(6\) i tworzącej \(3\sqrt{5}\). Objętość tego stożka jest równa

\(36\pi\)

\(18\pi\)

\(108\pi\)

\(54\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia

Wysokość, promień podstawy i tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[r^2+6^2=(3\sqrt{5})^2,\qquad r^2=45-36=9\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot9\cdot6=18\pi\]

Odpowiedź

B. Objętość stożka wynosi \(18\pi\).

\[V=18\pi\]

Sprawdzenie

Promień wynosi \(3\), a \(3^2+6^2=45=(3\sqrt{5})^2\), więc zgadza się z podaną tworzącą.

\[3^2+6^2=45=(3\sqrt{5})^2\]

Zadanie 34

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ACB|=90^\circ\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Graniastosłup prosty ABCDEF o podstawie trójkątnej ABC, z punktem S na odcinku AB.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przeciwprostokątnej

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, więc promień jest równy połowie długości AB.

\[AB=2\cdot SC=2\cdot5=10\]

2 Obliczenie przyprostokątnych

Zapisujemy przyprostokątne w stosunku 4:3 i stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC=4x,\quad BC=3x,\quad (4x)^2+(3x)^2=10^2,\quad 25x^2=100,\quad x=2,\quad AC=8,\quad BC=6\]

3 Obliczenie wysokości

Ściana boczna BEFC graniastosłupa prostego jest prostokątem o bokach BC i wysokości h.

\[BC\cdot h=48,\quad 6h=48,\quad h=8\]

4 Obliczenie objętości

Pole podstawy to połowa iloczynu przyprostokątnych. Mnożymy je przez wysokość graniastosłupa.

\[V=\frac{AC\cdot BC}{2}\cdot h=\frac{8\cdot6}{2}\cdot8=192\]

Odpowiedź

Objętość graniastosłupa wynosi 192 jednostki sześcienne.

\[V=192\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne spełniają podany stosunek, przeciwprostokątna ma długość 10, a pole wskazanej ściany wynosi 48.

\[8:6=4:3,\quad \sqrt{8^2+6^2}=10,\quad \frac{10}{2}=5,\quad 6\cdot8=48\]

Zadanie 20

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(ASC\) jest równa

\(45^\circ\)

\(30^\circ\)

\(75^\circ\)

\(90^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości krawędzi

Oznaczamy bok kwadratu przez \(a\). Ponieważ ściany boczne są trójkątami równobocznymi, krawędzie \(SA\) i \(SC\) też mają długość \(a\).

\[AB=BC=SA=SC=a\]

2 Obliczenie przekątnej podstawy

Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przekątną \(AC\).

\[AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2\]

3 Wyznaczenie kąta

W trójkącie \(ASC\) zachodzi \(SA^2+SC^2=AC^2\). Z odwrotnego twierdzenia Pitagorasa kąt przy \(S\) jest prosty.

\[SA^2+SC^2=a^2+a^2=2a^2=AC^2\quad\Rightarrow\quad\angle ASC=90^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ASC ma miarę 90°. Odpowiedź D.

\[\angle ASC=90^\circ\]

Sprawdzenie

Bok leżący naprzeciw kąta ASC ma kwadrat długości równy sumie kwadratów pozostałych boków trójkąta ASC, co potwierdza wynik.

\[AC^2=2a^2=SA^2+SC^2\]

Zadanie 32

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Dany jest stożek o objętości \(8\pi\), w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy \(3:8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wymiarów

Zapisujemy wysokość i promień zgodnie z podanym stosunkiem, a następnie podstawiamy je do wzoru na objętość stożka.

\[h=3k,\quad r=8k,\quad \frac13\pi r^2h=8\pi\;\Longrightarrow\;64\pi k^3=8\pi\;\Longrightarrow\;k=\frac12\]

2 Obliczenie tworzącej

Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[h=\frac32,\quad r=4,\quad l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{16+\frac94}=\frac{\sqrt{73}}2\]

3 Obliczenie pola powierzchni bocznej

Podstawiamy promień i tworzącą do wzoru na pole powierzchni bocznej stożka.

\[P_b=\pi rl=\pi\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}2=2\pi\sqrt{73}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni bocznej stożka wynosi \(2\pi\sqrt{73}\).

\[P_b=2\pi\sqrt{73}\]

Sprawdzenie

Otrzymane wymiary dają objętość \(8\pi\), a stosunek wysokości do promienia wynosi \(3:8\).

\[\frac13\pi\cdot4^2\cdot\frac32=8\pi,\qquad \frac32:4=3:8\]

Zadanie 15

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ\), a tworząca tego stożka ma długość \(6\). Promień podstawy stożka jest równy

\(3\)

\(6\)

\(3\sqrt{3}\)

\(6\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekrój osiowy

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po \(60^\circ\), tworząc trójkąt prostokątny.

\[\frac{120^\circ}{2}=60^\circ\]

2 Obliczenie promienia

W tym trójkącie promień jest przyprostokątną naprzeciw kąta \(60^\circ\), a tworząca długości \(6\) jest przeciwprostokątną. Korzystamy z definicji sinusa.

\[\sin 60^\circ=\frac{r}{6},\qquad r=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Promień podstawy wynosi \(3\sqrt{3}\). Odpowiedź C.

\[r=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymany promień jest krótszy od tworzącej, a iloraz promienia i tworzącej jest równy sinusowi połowy kąta rozwarcia.

\[3\sqrt{3}<6,\qquad \frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy \(r\), a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa

\(2\pi r^3\)

\(4\pi r^3\)

\(\pi r^2(r+2)\)

\(\pi r^2(r-2)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Wysokość jest dwa razy większa od promienia, więc przyjmujemy \(h=2r\).

\[h=2r\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca to pole podstawy pomnożone przez wysokość. Podstawiamy \(h=2r\).

\[V=\pi r^2h=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi \(2\pi r^3\). Odpowiedź A.

\[V=2\pi r^3\]

Sprawdzenie

Dla \(r>0\) wysokość \(2r\) jest dodatnia, a wynik ma jednostkę objętości, ponieważ zawiera \(r^3\).

\[r>0,\quad h=2r>0\]

Zadanie 21

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(\alpha\).

Wtedy wartość \(\sin\frac{\alpha}{2}\) jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczonymi przekątnymi dwóch ścian bocznych, kątem α między nimi oraz oznaczeniami długości 2 i 3.

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)

\(\frac{\sqrt{7}}{7}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Tworzymy trójkąt

Dwie wskazane przekątne ścian bocznych wychodzą z jednego wierzchołka i mają po 3. Ich końce leżą w górnej podstawie kwadratu, a odcinek między nimi jest jego przekątną.

\[d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

2 Dzielimy kąt na połowy

Powstały trójkąt jest równoramienny. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta \(\alpha\) dzieli ten kąt oraz przeciwległy bok na połowy, więc korzystamy z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym.

\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{d/2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

Odpowiedź

Wartość wynosi \(\frac{\sqrt{2}}{3}\), czyli odpowiedź D.

\[\boxed{\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}\quad\text{(D)}}\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia Pitagorasa wysokość połowy utworzonego trójkąta ma długość \(\sqrt{7}\). Jej kwadrat i kwadrat połowy podstawy sumują się do \(3^2\), więc użyty trójkąt prostokątny ma właściwe wymiary.

\[(\sqrt{7})^2+(\sqrt{2})^2=7+2=9=3^2\]

Zadanie 22

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa 11. Podstawą tego ostrosłupa jest

dziesięciokąt.

jedenastokąt.

dwunastokąt.

trzynastokąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz krawędzie i wierzchołki

Jeśli podstawa jest n-kątem, ostrosłup ma n krawędzi podstawy i n krawędzi bocznych oraz n wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek ostrosłupa.

\[K=2n,\quad W=n+1\]

2 Wyznacz liczbę boków podstawy

Podstawiamy te liczby do podanej różnicy i rozwiązujemy równanie.

\[K-W=11\quad\Rightarrow\quad 2n-(n+1)=11\quad\Rightarrow\quad n=12\]

Odpowiedź

Podstawą jest dwunastokąt. Odpowiedź C.

\[n=12\]

Sprawdzenie

Ostrosłup ma 24 krawędzie i 13 wierzchołków, więc ich różnica wynosi 11.

\[24-13=11\]

Zadanie 33

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy ABCS o podstawie ABC; przy krawędzi SC oznaczono długość 7.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Niech \(O\) będzie środkiem podstawy, a \(M\) środkiem boku \(AB\). Kąt między ścianą boczną a podstawą to \(\angle SMO=60^\circ\). W trójkącie prostokątnym \(SOM\), dla boku podstawy długości \(a\), mamy \(OM=\frac{a\sqrt3}{6}\).

\[h=SO=OM\tan60^\circ=\frac{a\sqrt3}{6}\cdot\sqrt3=\frac a2\]

2 Obliczenie boku podstawy

Środek trójkąta równobocznego leży w odległości \(\frac{a\sqrt3}{3}\) od wierzchołka. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOA\) obliczamy \(a\).

\[7^2=SO^2+OA^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{7a^2}{12},\qquad a^2=84,\quad h=\sqrt{21}\]

3 Obliczenie objętości

Pole podstawy jest polem trójkąta równobocznego. Stosujemy wzór na objętość ostrosłupa.

\[P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=21\sqrt3,\qquad V=\frac13P_ph=\frac13\cdot21\sqrt3\cdot\sqrt{21}=21\sqrt7\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(21\sqrt7\).

\[V=21\sqrt7\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wymiarów krawędź boczna ma długość \(7\), a tangens kąta nachylenia ściany do podstawy wynosi \(\sqrt3\), więc kąt ma \(60^\circ\).

\[SO^2+OA^2=21+28=49=7^2,\qquad \frac{SO}{OM}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt7}=\sqrt3=\tan60^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek).

Kąt \(\alpha\) rozwarcia tego stożka jest równy

Stożek z zaznaczonym kątem rozwarcia α przy wierzchołku.

\(30^\circ\)

\(45^\circ\)

\(60^\circ\)

\(90^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekrój osiowy

Przekrój stożka przez jego oś jest trójkątem równoramiennym. Jego ramiona są tworzącymi, a podstawa jest średnicą podstawy stożka.

\[l=6,\qquad d=2r=2\cdot3=6\]

2 Wyznaczenie kąta

Wszystkie trzy boki przekroju mają długość 6, więc jest on trójkątem równobocznym. Kąt przy wierzchołku stożka ma zatem 60 stopni.

\[\alpha=60^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\alpha=60^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie równobocznym o boku 6 wysokość dzieli podstawę na odcinki długości 3, zgodne z podanym promieniem stożka.

\[\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3=r\]

Zadanie 20

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie

16 wierzchołków.

9 wierzchołków.

16 krawędzi.

8 krawędzi.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wierzchołki

Graniastosłup ma dwie podstawy. Każda z nich jest ośmiokątem, więc ma 8 wierzchołków.

\[2\cdot 8=16\]

Odpowiedź

A — 16 wierzchołków.

\[16\]

Sprawdzenie

Dwie podstawy dają łącznie 16 wierzchołków. Krawędzi jest 24, więc odpowiedzi dotyczące 8 lub 16 krawędzi są błędne.

\[8+8=16,\qquad 8+8+8=24\]

Zadanie 21

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę

\(30^\circ\)

\(45^\circ\)

\(60^\circ\)

\(75^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie kształtu podstawy

Równe krawędzie podstawy tworzą romb. Równe krawędzie boczne oznaczają, że wierzchołki podstawy leżą na jednym okręgu, więc romb jest kwadratem.

\[AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=a\]

2 Obliczenie kąta nachylenia

Rzutem wierzchołka ostrosłupa na podstawę jest środek kwadratu O. Odcinek AO jest rzutem krawędzi SA, więc szukanym kątem jest kąt SAO. Połowa przekątnej kwadratu ma długość \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

\[AO=\frac{a\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\angle SAO=\frac{AO}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \angle SAO=45^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ma miarę 45°, odpowiedź B.

\[45^\circ\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia Pitagorasa wysokość SO wynosi \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Jest równa AO, zatem trójkąt prostokątny SAO ma dwa równe kąty ostre, po 45°.

\[SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=AO\]

Zadanie 34

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest równa \(27\sqrt{3}\). Długość krawędzi \(AB\) podstawy ostrosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Ostrosłup trójkątny ABCS z zaznaczonym środkiem podstawy O i wysokością SO.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstawy

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku 6.

\[P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\]

2 Wysokość ostrosłupa

Z wzoru na objętość wyznaczamy wysokość SO.

\[27\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot SO\quad\Rightarrow\quad SO=9\]

3 Wysokość ściany bocznej

Odległość środka podstawy O od boku AB wynosi jedną trzecią wysokości trójkąta równobocznego. Wysokość ściany bocznej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[r=\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},\qquad h_b=\sqrt{SO^2+r^2}=\sqrt{81+3}=2\sqrt{21}\]

4 Pole całkowite

Trzy jednakowe ściany boczne są trójkątami o podstawie 6 i wysokości \(h_b\). Dodajemy ich pola do pola podstawy.

\[P_c=P_p+3\cdot\frac{6h_b}{2}=9\sqrt{3}+3\cdot6\sqrt{21}=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi \(9\sqrt{3}+18\sqrt{21}\) jednostek kwadratowych.

\[P_c=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}\]

Sprawdzenie

Pole podstawy i obliczona wysokość dają objętość \(27\sqrt{3}\), zgodną z treścią zadania.

\[V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot9=27\sqrt{3}\]

Zadanie 22

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków \(a\), \(b\), \(c\), gdzie \(a<b<c\). Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt \(360^\circ\), otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa

\(V=\frac{1}{3}a^2b\pi\)

\(V=a^2b\pi\)

\(V=\frac{1}{3}b^2a\pi\)

\(V=a^2\pi+\pi ac\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie wymiarów bryły

Ponieważ \(c\) jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego, jest przeciwprostokątną. Dłuższą przyprostokątną jest więc \(b\). Obrót wokół niej tworzy stożek o wysokości \(b\) i promieniu podstawy \(a\).

\[h=b,\quad r=a\]

2 Obliczenie objętości

Korzystamy ze wzoru na objętość stożka i podstawiamy jego wymiary.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi a^2b\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[V=\frac{1}{3}a^2b\pi\]

Sprawdzenie

Wynik jest dodatni, a iloczyn dwóch długości \(a\) i jednej długości \(b\) daje jednostkę objętości. Zgadza się z odpowiedzią A.

\[[a^2b]=\text{jednostka długości}^3\]