Zamknięte1 pkt
Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków \(a\), \(b\), \(c\), gdzie \(a<b<c\). Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt \(360^\circ\), otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa
A
\(V=\frac{1}{3}a^2b\pi\)
B
\(V=a^2b\pi\)
C
\(V=\frac{1}{3}b^2a\pi\)
D
\(V=a^2\pi+\pi ac\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Ustalenie wymiarów bryły
Ponieważ \(c\) jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego, jest przeciwprostokątną. Dłuższą przyprostokątną jest więc \(b\). Obrót wokół niej tworzy stożek o wysokości \(b\) i promieniu podstawy \(a\).
\[h=b,\quad r=a\]
2 Obliczenie objętości
Korzystamy ze wzoru na objętość stożka i podstawiamy jego wymiary.
\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi a^2b\]
Odpowiedź
Odpowiedź A.
\[V=\frac{1}{3}a^2b\pi\]
Sprawdzenie
Wynik jest dodatni, a iloczyn dwóch długości \(a\) i jednej długości \(b\) daje jednostkę objętości. Zgadza się z odpowiedzią A.
\[[a^2b]=\text{jednostka długości}^3\]