Zbiór zadań maturalnych

Stereometria — zadania maturalne

Stereometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

92 zadańStrona 5 z 7

Sortuj:

Zadanie 16

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\) (zobacz rysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(SAC\) jest równa

Ostrosłup o wierzchołku S i kwadratowej podstawie ABCD; zaznaczono krawędzie oraz przekątną AC.

\(60^\circ\)

\(45^\circ\)

\(90^\circ\)

\(75^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boków trójkąta ASC

Ściany boczne są równoboczne, więc krawędzie boczne mają długość boku podstawy. Przekątna kwadratu wynika z twierdzenia Pitagorasa.

\[AB=a>0,\quad AS=CS=a,\quad AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\]

2 Obliczenie kąta SAC

W trójkącie ASC zachodzi odwrotność twierdzenia Pitagorasa, zatem kąt ASC jest prosty. Ponieważ AS=CS, pozostałe kąty są równe.

\[AS^2+CS^2=2a^2=AC^2,\qquad \angle SAC=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ\]

Odpowiedź

Kąt SAC ma miarę 45°. Odpowiedź B.

\[\angle SAC=45^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie prostokątnym ASC stosunek przyprostokątnej AS do przeciwprostokątnej AC wynosi 1/√2, co odpowiada kątowi 45° przy A.

\[\cos\angle SAC=\frac{AS}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos45^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest prostopadłościan o wymiarach \(30\text{ cm}\times 40\text{ cm}\times 120\text{ cm}\) (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), o długościach – odpowiednio – 119 cm, 121 cm, 129 cm i 131 cm.

Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa

Prostopadłościan z oznaczonymi wymiarami 120 cm, 40 cm i 30 cm.

tylko od odcinka \(a\).

tylko od odcinków \(a\) i \(b\).

tylko od odcinków \(a\), \(b\) i \(c\).

od wszystkich czterech danych odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do przekątnej podstawy, a następnie do przekątnej prostopadłościanu, otrzymujemy:

\[p=\sqrt{30^2+40^2+120^2}=\sqrt{16900}=130\text{ cm}\]

2 Porównanie długości

Przekątna jest dłuższa od odcinków a, b i c, ale krótsza od odcinka d.

\[119<121<129<130<131\]

Odpowiedź

Przekątna jest dłuższa tylko od odcinków a, b i c. Odpowiedź C.

\[\boxed{C}\]

Sprawdzenie

Kwadrat obliczonej długości jest równy sumie kwadratów trzech wymiarów.

\[130^2=16900=30^2+40^2+120^2\]

Zadanie 22

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 3 razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy 2 i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

\(12\)

\(11\)

\(24\)

\(22\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole kuli

Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni kuli o promieniu 2.

\[P_k=4\pi r^2=4\pi\cdot 2^2=16\pi\]

2 Pole stożka

Pole całkowite stożka jest trzykrotnością pola kuli. Podstawiamy promień podstawy 2 do wzoru na pole stożka i obliczamy tworzącą.

\[\pi r^2+\pi rl=3P_k\quad\Rightarrow\quad 4\pi+2\pi l=48\pi\quad\Rightarrow\quad l=22\]

Odpowiedź

Tworząca ma długość 22. Odpowiedź D.

\[l=22\]

Sprawdzenie

Dla tworzącej 22 pole stożka wynosi 48π, czyli trzy razy tyle co pole kuli 16π. Tworząca jest też dłuższa od promienia podstawy.

\[4\pi+2\pi\cdot22=48\pi=3\cdot16\pi,\qquad 22>2\]

Zadanie 34

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest równa 12. (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS z zaznaczonym środkiem podstawy O, wysokością SO, krawędzią boczną długości 12 i kątem α przy wierzchołku S.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i odcinka AO

W ostrosłupie prawidłowym wysokość SO jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt SAO jest prostokątny. Z tangensa kąta przy S mamy stosunek przyprostokątnych 2 do √5; twierdzenie Pitagorasa daje wtedy stosunek boków 2:√5:3.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{AO}{SO}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad SA=12=3\cdot4,\qquad AO=8,\quad SO=4\sqrt5.\]

2 Obliczenie pola podstawy

Punkt O jest środkiem kwadratu, więc AO stanowi połowę jego przekątnej. Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu przekątnej.

\[AC=2AO=16,\qquad P_{ABCD}=\frac{AC^2}{2}=\frac{16^2}{2}=128.\]

3 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac13P_{ABCD}\cdot SO=\frac13\cdot128\cdot4\sqrt5=\frac{512\sqrt5}{3}.\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi 512√5/3 jednostek sześciennych.

\[V=\frac{512\sqrt5}{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają warunek kąta i długości krawędzi bocznej.

\[\frac{AO}{SO}=\frac{8}{4\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad AO^2+SO^2=8^2+(4\sqrt5)^2=144=SA^2.\]

Zadanie 20

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa \(27\pi\). Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

\(9\)

\(6\)

\(3\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Objętość walca to pole podstawy pomnożone przez wysokość. Ponieważ wysokość jest równa promieniowi, podstawiamy h=r.

\[V=\pi r^2h=\pi r^3=27\pi\]

2 Oblicz promień

Dzielimy obie strony przez π i wyciągamy pierwiastek sześcienny. Promień jest dodatni.

\[r^3=27\quad\Longrightarrow\quad r=3\]

Odpowiedź

Promień podstawy wynosi 3. Odpowiedź C.

\[r=3\]

Sprawdzenie

Dla promienia 3 wysokość także wynosi 3, a obliczona objętość jest zgodna z treścią zadania.

\[V=\pi\cdot 3^2\cdot 3=27\pi\]

Zadanie 21

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Stożek o promieniu podstawy \(r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

\(\frac{4}{3}\)

\(12\)

\(\sqrt{17}\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości stożka

Przyrównujemy objętości stożka i kuli o tym samym promieniu. Ponieważ promień jest dodatni, możemy skrócić przez \(\pi r^2\).

\[\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{4}{3}\pi r^3\quad\Rightarrow\quad h=4r\]

2 Obliczenie tangensa

Kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy jest kątem między tworzącą a jej rzutem na podstawę. W przekroju osiowym jego tangens to stosunek wysokości do promienia.

\[\tan\alpha=\frac{h}{r}=\frac{4r}{r}=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: tangens kąta wynosi 4.

\[\tan\alpha=4\]

Sprawdzenie

Dla wysokości \(h=4r\) objętość stożka wynosi \(\frac{4}{3}\pi r^3\), czyli tyle samo co objętość kuli. Warunek \(r>0\) pozwala obliczyć iloraz \(h/r\).

\[V_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot4r=\frac{4}{3}\pi r^3=V_{\text{kuli}}\]

Zadanie 23

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

\(9\)

\(7\)

\(6\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby krawędzi i wierzchołków

Graniastosłup o podstawie n-kąta ma po n wierzchołków w każdej podstawie oraz po n krawędzi w obu podstawach i między nimi.

\[W=2n,\qquad K=3n\]

2 Wyznaczenie liczby krawędzi

Podstawiamy te liczby do warunku z treści i rozwiązujemy równanie.

\[3n+2n=15\quad\Rightarrow\quad 5n=15\quad\Rightarrow\quad n=3,\qquad K=3\cdot3=9\]

Odpowiedź

Graniastosłup ma 9 krawędzi. Odpowiedź A.

\[K=9\]

Sprawdzenie

Dla trójkątnej podstawy graniastosłup ma 6 wierzchołków i 9 krawędzi, a ich suma wynosi 15.

\[6+9=15\]

Zadanie 32

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przekątnej podstawy

Wierzchołek ostrosłupa rzutuje się na środek O kwadratu. Rzutem krawędzi bocznej SA na podstawę jest OA, więc w trójkącie prostokątnym SOA korzystamy z definicji cosinusa i twierdzenia Pitagorasa.

\[\frac{OA}{SA}=\frac35,\qquad OA^2+16^2=SA^2\quad\Longrightarrow\quad SA=20,\ OA=12\]

2 Obliczenie wysokości ściany bocznej

Odcinek OA jest połową przekątnej kwadratu, zatem wyznaczamy bok a. Jeśli M jest środkiem boku podstawy, to SM jest wysokością ściany bocznej; obliczamy ją z trójkąta prostokątnego SOM.

\[a\sqrt2=2OA=24\quad\Longrightarrow\quad a=12\sqrt2,\qquad SM=\sqrt{16^2+\left(\frac a2\right)^2}=2\sqrt{82}\]

3 Obliczenie pola bocznego

Cztery jednakowe ściany boczne są trójkątami o podstawie a i wysokości SM.

\[P_b=4\cdot\frac{a\cdot SM}{2}=2\cdot12\sqrt2\cdot2\sqrt{82}=96\sqrt{41}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni bocznej wynosi \(96\sqrt{41}\).

\[P_b=96\sqrt{41}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają warunek kąta, bo \(OA/SA=12/20=3/5\). Ponadto \(SM^2=16^2+(6\sqrt2)^2=328\), więc użyta wysokość ściany jest poprawna.

\[\frac{OA}{SA}=\frac{12}{20}=\frac35,\qquad SM^2=256+72=328\]

Zadanie 22

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Jeżeli \(\alpha\) oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to

Sześcian z zaznaczonym kątem alfa między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej.

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości

Oznaczmy krawędź sześcianu przez \(a>0\). Z twierdzenia Pitagorasa przekątna ściany ma długość \(a\sqrt2\), a przekątna sześcianu \(a\sqrt3\).

\[d_{\text{ściany}}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2,\qquad d_{\text{sześcianu}}=\sqrt{(a\sqrt2)^2+a^2}=a\sqrt3\]

2 Obliczenie sinusa kąta

Zaznaczone przekątne i dolna przednia krawędź tworzą trójkąt prostokątny: ta krawędź jest prostopadła do ściany zawierającej jej przekątną. Krawędź długości \(a\) leży naprzeciw kąta \(\alpha\), więc dzielimy ją przez przeciwprostokątną.

\[\sin\alpha=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\]

Sprawdzenie

Długości boków utworzonego trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa, a obliczony sinus należy do przedziału \((0,1)\).

\[(a\sqrt2)^2+a^2=3a^2=(a\sqrt3)^2,\qquad 0<\frac{\sqrt3}{3}<1\]

Zadanie 23

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej \(10\sqrt{2}\). Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

\(50\pi\)

\(100\pi\)

\(200\pi\)

\(250\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Bok kwadratu

Przekątna kwadratu jest równa długości boku pomnożonej przez pierwiastek z 2, więc bok przekroju ma długość 10.

\[a\sqrt{2}=10\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad a=10\]

2 Wymiary walca

Boki przekroju osiowego walca są jego wysokością i średnicą podstawy. Ponieważ przekrój jest kwadratem, wysokość wynosi 10, a promień 5.

\[h=10,\qquad 2r=10\quad\Rightarrow\quad r=5\]

3 Pole powierzchni bocznej

Mnożymy obwód podstawy przez wysokość walca.

\[P_b=2\pi rh=2\pi\cdot5\cdot10=100\pi\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[P_b=100\pi\]

Sprawdzenie

Przekrój o bokach 10 i 10 ma podaną przekątną, a obwód podstawy pomnożony przez wysokość daje obliczone pole.

\[\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2},\qquad (2\pi\cdot5)\cdot10=100\pi\]

Zadanie 32

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) krawędź podstawy ma długość \(a\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Ostrosłup trójkątny ABCS z zaznaczonym punktem O w podstawie.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstawy i wysokość ściany bocznej

Podstawa jest trójkątem równobocznym. Trzy jednakowe ściany boczne mają łączne pole dwa razy większe od pola podstawy, więc wyznaczamy ich wysokość l.

\[P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad 3\cdot\frac{al}{2}=2P_p=\frac{a^2\sqrt3}{2},\qquad l=\frac{a}{\sqrt3}.\]

2 Długość krawędzi bocznej

Wysokość ściany bocznej dzieli krawędź podstawy na połowy. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość SA.

\[SA^2=l^2+\left(\frac a2\right)^2=\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{4}=\frac{7a^2}{12},\qquad SA=\frac{a\sqrt{21}}6.\]

3 Cosinus kąta nachylenia

Rzutem krawędzi SA na płaszczyznę podstawy jest AO. Punkt O jest środkiem trójkąta równobocznego, zatem AO jest dwiema trzecimi jego wysokości.

\[AO=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac a{\sqrt3},\qquad \cos\angle SAO=\frac{AO}{SA}=\frac{a/\sqrt3}{a\sqrt{21}/6}=\frac2{\sqrt7}=\frac{2\sqrt7}{7}.\]

Odpowiedź

Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \(\frac{2\sqrt7}{7}\).

\[\cos\alpha=\frac{2\sqrt7}{7}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wysokość ściany bocznej daje wymagane pole powierzchni bocznej, a obliczony cosinus należy do przedziału od 0 do 1.

\[3\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt3}=\frac{a^2\sqrt3}{2}=2P_p,\qquad 0<\frac2{\sqrt7}<1.\]

Zadanie 23

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Długość przekątnej sześcianu jest równa \(6\). Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

\(72\)

\(48\)

\(152\)

\(108\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie krawędzi

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), więc obliczamy \(a\) z podanej długości.

\[a\sqrt{3}=6\quad\Rightarrow\quad a=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

2 Obliczenie pola

Sześcian ma sześć ścian o polu \(a^2\).

\[P_c=6a^2=6(2\sqrt{3})^2=72\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi 72. Odpowiedź A.

\[P_c=72\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej krawędzi przekątna ma długość 6, zgodnie z treścią zadania.

\[2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6\]

Zadanie 24

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni bocznej walca jest równe \(16\pi\), a promień jego podstawy ma długość \(2\). Wysokość tego walca jest równa

\(4\)

\(8\)

\(4\pi\)

\(8\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wzór na pole boczne

Pole powierzchni bocznej walca jest iloczynem obwodu podstawy i wysokości.

\[P_b=2\pi rh\]

2 Obliczenie wysokości

Podstawiamy dane i dzielimy obie strony równania przez \(4\pi\).

\[16\pi=2\pi\cdot2\cdot h=4\pi h\quad\Rightarrow\quad h=4\]

Odpowiedź

Wysokość walca wynosi 4. Odpowiedź A.

\[h=4\]

Sprawdzenie

Dla promienia 2 i wysokości 4 pole boczne wynosi \(16\pi\), zgodnie z treścią zadania.

\[2\pi\cdot2\cdot4=16\pi\]

Zadanie 34

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDA'B'C'D'\) jest romb \(ABCD\). Przekątna \(AC'\) tego graniastosłupa ma długość \(8\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\), a przekątna \(BD'\) jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem \(45^\circ\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prostego o podstawie ABCD z zaznaczonymi przekątnymi AC' i BD'.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wysokość i pierwsza przekątna podstawy

Rzutem odcinka \(AC'\) na płaszczyznę podstawy jest \(AC\). W trójkącie prostokątnym \(ACC'\) obliczamy wysokość graniastosłupa i długość \(AC\).

\[h=CC'=8\sin 30^\circ=4,\qquad AC=8\cos 30^\circ=4\sqrt3\]

2 Druga przekątna podstawy

Rzutem odcinka \(BD'\) na podstawę jest \(BD\). Kąt nachylenia wynosi \(45^\circ\), więc wysokość i \(BD\) mają tę samą długość.

\[\tan 45^\circ=\frac{h}{BD}=1,\qquad BD=4\]

3 Pole podstawy i powierzchni bocznej

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Obliczamy pole podstawy oraz bok rombu, a następnie pole czterech ścian bocznych.

\[P_p=\frac{AC\cdot BD}{2}=8\sqrt3,\qquad a=\sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2}=\sqrt{12+4}=4,\qquad P_b=4ah=64\]

4 Pole całkowite

Dodajemy pola dwóch podstaw i powierzchni bocznej.

\[P_c=2P_p+P_b=2\cdot8\sqrt3+64=64+16\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi \(64+16\sqrt3\).

\[P_c=64+16\sqrt3\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wymiarów \(AC'=\sqrt{AC^2+h^2}=8\), a \(\tan\angle(BD',BD)=h/BD=1\), więc oba podane kąty i długość przekątnej się zgadzają.

\[\sqrt{(4\sqrt3)^2+4^2}=8,\qquad \frac{h}{BD}=\frac44=\tan45^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\).

Kąt nachylenia krawędzi bocznej \(SA\) ostrosłupa do płaszczyzny podstawy \(ABCD\) to

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS z oznaczonym punktem O w podstawie.

\(\angle SAO\)

\(\angle SAB\)

\(\angle SOA\)

\(\angle ASB\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu krawędzi

W ostrosłupie prawidłowym wierzchołek S leży nad środkiem O podstawy, więc rzutem prostokątnym odcinka SA na płaszczyznę podstawy jest AO.

\[SO\perp(ABCD),\qquad \operatorname{rzut}(SA)=AO\]

2 Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny jest kątem między tą prostą a jej rzutem na płaszczyznę.

\[\angle(SA,(ABCD))=\angle SAO\]

Odpowiedź

A. Kąt SAO.

\[\boxed{\angle SAO}\]

Sprawdzenie

AO leży w podstawie i jest rzutem SA, ponieważ S rzutuje się na O, a A pozostaje w miejscu. Zatem kąt SAO spełnia definicję szukanego kąta.

\[S\mapsto O,\quad A\mapsto A,\quad SA\mapsto AO\]