Zbiór zadań maturalnych

Stereometria — zadania maturalne

Stereometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

92 zadańStrona 4 z 7

Sortuj:

Zadanie 26

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest \(2\) razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy

\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

\(1\)

\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole powierzchni bocznej

Oznaczamy krawędź podstawy przez \(a>0\). Każda z sześciu ścian bocznych jest trójkątem o podstawie \(a\) i wysokości \(2a\).

\[P_b=6\cdot\frac{a\cdot 2a}{2}=6a^2\]

2 Pole podstawy

Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(a\).

\[P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\]

3 Obliczenie stosunku

Dzielimy pola i skracamy przez \(a^2\), ponieważ \(a>0\).

\[\frac{P_b}{P_p}=\frac{6a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Sprawdzenie

Dla a = 1 pola wynoszą odpowiednio 6 i 3√3/2, więc ich iloraz jest równy otrzymanemu wynikowi.

\[\frac{6}{3\sqrt{3}/2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Zadanie 24

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(2\) (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny z trzema krawędziami oznaczonymi liczbą 2.

\(24+2\sqrt{3}\)

\(24+6\sqrt{3}\)

\(24+12\sqrt{3}\)

\(24+24\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole powierzchni bocznej

Sześć ścian bocznych to prostokąty o bokach 2 i 2, więc sumujemy ich pola.

\[P_b=6\cdot 2\cdot 2=24\]

2 Pole podstaw

Każda podstawa składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku 2. Liczymy pola obu podstaw.

\[P_p=6\cdot\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3},\qquad 2P_p=12\sqrt{3}\]

3 Pole całkowite

Dodajemy pole powierzchni bocznej i pola dwóch podstaw.

\[P_c=P_b+2P_p=24+12\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[P_c=24+12\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Sześć ścian bocznych daje 24, a dwie podstawy dają 12√3; ich suma zgadza się z odpowiedzią C.

\[6\cdot 4+2\cdot 6\cdot\sqrt{3}=24+12\sqrt{3}\]

Zadanie 25

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Przekątna sześcianu jest równa \(6\). Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa

\(24\sqrt{3}\)

\(72\)

\(54\sqrt{2}\)

\(648\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), więc wyznaczamy \(a\) z podanej długości.

\[a\sqrt{3}=6\quad\Rightarrow\quad a=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

2 Obliczenie objętości

Objętość sześcianu jest równa sześcianowi długości jego krawędzi.

\[V=a^3=(2\sqrt{3})^3=24\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Objętość wynosi \(24\sqrt{3}\). Odpowiedź A.

\[V=24\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Krawędź \(2\sqrt{3}\) daje przekątną długości \(6\), zgodną z treścią zadania.

\[2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6\]

Zadanie 20

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka jest o \(2\) dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o \(2\pi\) większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy

\(3\)

\(2\pi\)

\(1\)

\(\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Oznaczamy promień przez \(r>0\). Tworząca jest od niego o \(2\) dłuższa.

\[l=r+2\]

2 Obliczenie promienia

Pole boczne stożka wynosi \(\pi rl\), a pole podstawy \(\pi r^2\). Z podanej różnicy pól wyznaczamy \(r\).

\[\pi r(r+2)-\pi r^2=2\pi\;\Longrightarrow\;2\pi r=2\pi\;\Longrightarrow\;r=1\]

Odpowiedź

Promień podstawy wynosi 1. Odpowiedź C.

\[r=1\]

Sprawdzenie

Dla promienia 1 tworząca ma długość 3. Pole boczne wynosi \(3\pi\), a pole podstawy \(\pi\), więc ich różnica to \(2\pi\). Promień jest dodatni.

\[3\pi-\pi=2\pi\]

Zadanie 21

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa \(144\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

\(18\)

\(36\)

\(3\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie objętości

Podstawa jest kwadratem o boku a, więc ma pole a². Wysokość wynosi 2a. Podstawiamy te wartości do wzoru na objętość ostrosłupa.

\[144=\frac{1}{3}a^2\cdot 2a=\frac{2}{3}a^3\]

2 Obliczenie krawędzi podstawy

Mnożymy równanie przez 3/2 i wyciągamy pierwiastek sześcienny. Wybieramy dodatnią długość.

\[a^3=216=6^3,\qquad a=6\]

Odpowiedź

Krawędź podstawy ma długość 6. Odpowiedź D.

\[a=6\]

Sprawdzenie

Dla boku 6 wysokość wynosi 12, czyli jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Objętość wynosi 144.

\[V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 12=144\]

Zadanie 22

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku \(2\). Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup o podstawie kwadratu z zaznaczoną przekątną, kątem 60° i bokami podstawy długości 2

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(4\sqrt{2}\)

\(\frac{\sqrt{6}}{4}\)

\(2\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest kwadratem o boku 2, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu. W powstałym trójkącie prostokątnym wysokość jest przyprostokątną naprzeciw kąta 60°.

\[\tan 60^\circ=\frac{h}{d},\qquad h=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{6}\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi 2√6. Odpowiedź D.

\[h=2\sqrt{6}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej wysokości stosunek wysokości do przekątnej podstawy wynosi √3, czyli tangens kąta 60°.

\[\frac{h}{d}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]

Zadanie 34

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym \(ABCDEFS\), którego krawędź podstawy \(a\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha=60^\circ\). Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFS z oznaczonym środkiem podstawy P i krawędzią a=8.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Promień i apotema podstawy

W sześciokącie foremnym promień okręgu opisanego jest równy bokowi, a apotema ma długość \(a\sqrt{3}/2\). Niech \(M\) będzie środkiem boku \(BC\).

\[PB=a=8,\qquad PM=\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\]

2 Wysokość ostrosłupa

Przekrój przez \(S\), \(P\) i \(M\) wyznacza kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy. W trójkącie prostokątnym \(SPM\) korzystamy z tangensa tego kąta.

\[\tan 60^\circ=\frac{SP}{PM},\qquad SP=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12\]

3 Cosinus szukanego kąta

Rzutem krawędzi \(SB\) na podstawę jest \(PB\). Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy \(SB\), a następnie cosinus kąta między \(SB\) i \(PB\).

\[SB=\sqrt{SP^2+PB^2}=\sqrt{12^2+8^2}=4\sqrt{13},\qquad \cos\beta=\frac{PB}{SB}=\frac{8}{4\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy wynosi \(\frac{2\sqrt{13}}{13}\).

\[\cos\beta=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej wysokości stosunek \(SP/PM\) wynosi \(\sqrt{3}\), więc kąt nachylenia ściany rzeczywiście ma \(60^\circ\). Ponadto \(SB^2=SP^2+PB^2\).

\[\frac{12}{4\sqrt{3}}=\sqrt{3}=\tan60^\circ,\qquad (4\sqrt{13})^2=12^2+8^2=208\]

Zadanie 24

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o 9 większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest

dziewięciokąt.

ośmiokąt.

osiemnastokąt.

dziesięciokąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wierzchołki brył

Jeśli podstawa jest n-kątem, graniastosłup ma dwie takie podstawy, a ostrosłup ma jedną podstawę i wierzchołek poza nią.

\[W_g=2n,\qquad W_o=n+1\]

2 Wyznacz liczbę boków podstawy

Różnica liczby wierzchołków wynosi 9, więc układamy i rozwiązujemy równanie.

\[2n-(n+1)=9\quad\Longrightarrow\quad n-1=9\quad\Longrightarrow\quad n=10\]

Odpowiedź

Podstawą jest dziesięciokąt — odpowiedź D.

\[n=10\]

Sprawdzenie

Graniastosłup ma 20 wierzchołków, a ostrosłup 11; ich różnica rzeczywiście wynosi 9.

\[20-11=9\]

Zadanie 25

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa

\(6\sqrt{2}\)

\(3\sqrt{2}\)

\(12\sqrt{2}\)

\(8\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości krawędzi

Sześcian ma sześć kwadratowych ścian, więc jego pole całkowite wynosi \(6a^2\). Długość krawędzi jest dodatnia.

\[6a^2=12\quad\Rightarrow\quad a^2=2\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{2}\]

2 Suma długości krawędzi

Sześcian ma 12 krawędzi jednakowej długości, więc mnożymy długość jednej krawędzi przez 12.

\[12a=12\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Suma długości krawędzi wynosi \(12\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[12\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi długości \(\sqrt{2}\) pole całkowite wynosi 12, zgodnie z treścią zadania.

\[6\left(\sqrt{2}\right)^2=6\cdot2=12\]

Zadanie 33

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa 12. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie tworzącej

Pole boczne stożka wynosi \(\pi r l\), a pole podstawy \(\pi r^2\). Z podanej zależności i warunku \(r>0\) otrzymujemy długość tworzącej.

\[\pi r l=3\pi r^2\quad\Rightarrow\quad l=3r\]

2 Obliczenie promienia

Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[l^2=r^2+h^2\quad\Rightarrow\quad (3r)^2=r^2+12^2\quad\Rightarrow\quad 8r^2=144\quad\Rightarrow\quad r^2=18\]

3 Obliczenie objętości

Podstawiamy pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot18\cdot12=72\pi\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi \(72\pi\) jednostek sześciennych.

\[V=72\pi\]

Sprawdzenie

Dla dodatniego promienia \(r=3\sqrt{2}\) tworząca wynosi \(l=9\sqrt{2}\), zatem stosunek pola bocznego do pola podstawy jest równy 3. Z twierdzenia Pitagorasa wysokość wynosi 12.

\[\frac{\pi r l}{\pi r^2}=\frac{l}{r}=3,\qquad \sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{162-18}=12\]

Zadanie 19

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

\(48\text{ cm}^2\)

\(64\text{ cm}^2\)

\(384\text{ cm}^2\)

\(512\text{ cm}^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość krawędzi

Sześcian ma 12 krawędzi jednakowej długości, więc sumę ich długości dzielimy przez 12.

\[a=\frac{96\text{ cm}}{12}=8\text{ cm}\]

2 Pole powierzchni całkowitej

Sześcian ma 6 kwadratowych ścian, każda o polu \(a^2\).

\[P_c=6a^2=6\cdot(8\text{ cm})^2=384\text{ cm}^2\]

Odpowiedź

C. Pole powierzchni całkowitej wynosi 384 cm².

\[P_c=384\text{ cm}^2\]

Sprawdzenie

Dwanaście krawędzi po 8 cm ma łącznie 96 cm, zgodnie z treścią zadania.

\[12\cdot8\text{ cm}=96\text{ cm}\]

Zadanie 22

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości 4. Krawędź boczna \(DS\) jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek).

Pole ściany \(BCS\) tego ostrosłupa jest równe

Ostrosłup o podstawie kwadratowej ABCD i wierzchołku S. Krawędź DS jest oznaczona długością 3, a krawędź AB długością 4. Krawędzie niewidoczne zaznaczono linią przerywaną.

\(20\)

\(10\)

\(16\)

\(12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości ściany BCS

W kwadracie \(DC\perp BC\), a ponieważ \(DS\perp ABCD\), także \(DS\perp BC\). Zatem \(SC\perp BC\) i jest wysokością trójkąta \(BCS\). Trójkąt \(DCS\) jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa obliczamy \(SC\).

\[SC=\sqrt{DC^2+DS^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\]

2 Obliczenie pola

Bok \(BC\) ma długość 4. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta.

\[P_{BCS}=\frac12\cdot BC\cdot SC=\frac12\cdot4\cdot5=10\]

Odpowiedź

Pole ściany BCS wynosi 10. Pasuje odpowiedź B.

\[P_{BCS}=10\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wysokość 5 spełnia twierdzenie Pitagorasa: \(3^2+4^2=5^2\). Podstawienie jej do wzoru na pole daje \(\frac12\cdot4\cdot5=10\).

\[3^2+4^2=5^2,\qquad \frac12\cdot4\cdot5=10\]

Zadanie 23

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy

Sześcian ABCDEFGH z przekątnymi AC i BD dolnej ściany, punktem ich przecięcia P oraz odcinkiem PH. Niewidoczne krawędzie są zaznaczone linią przerywaną.

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

\(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu odcinka

Punkt H leży pionowo nad D, więc rzutem odcinka PH na płaszczyznę ABCD jest PD. Szukany kąt to kąt HPD.

\[HD\perp(ABCD),\qquad \tan\angle HPD=\frac{HD}{PD}\]

2 Obliczenie tangensa

Jeśli krawędź sześcianu ma długość a>0, to HD=a. Przekątna kwadratu ABCD ma długość a√2, a P jest jej środkiem.

\[PD=\frac{a\sqrt{2}}{2},\qquad \tan\angle HPD=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Ponieważ PD jest krótsze od HD, tangens musi być większy od 1; otrzymana wartość √2 spełnia ten warunek. Obliczenie obowiązuje dla każdej krawędzi a>0.

\[\frac{HD}{PD}=\frac{a}{a/\sqrt{2}}=\sqrt{2}>1\]

Zadanie 24

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 12. Objętość tego walca jest zatem równa

\(36\pi\sqrt{2}\)

\(108\pi\sqrt{2}\)

\(54\pi\)

\(108\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Bok przekroju

Przekrój osiowy jest kwadratem, więc z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy jego bok z przekątnej.

\[a^2+a^2=12^2,\quad 2a^2=144,\quad a=6\sqrt{2}\]

2 Wymiary walca

Boki przekroju osiowego są wysokością walca i średnicą jego podstawy.

\[h=a=6\sqrt{2},\quad 2r=a,\quad r=3\sqrt{2}\]

3 Objętość

Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość walca.

\[V=\pi r^2h=\pi(3\sqrt{2})^2\cdot6\sqrt{2}=108\pi\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[V=108\pi\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Przekrój o bokach równych wysokości i średnicy ma przekątną 12, zgodną z treścią zadania.

\[\sqrt{h^2+(2r)^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=12\]

Zadanie 32

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy \(3:4\). Przekątne podstawy \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(O\). Odcinek \(SO\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt \(SAO\) ma miarę \(60^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup o podstawie prostokątnej ABCD i wierzchołku S. Punkt O jest przecięciem przekątnych podstawy, odcinek SO jest wysokością, a kąt SAO ma miarę 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Boki podstawy

Oznaczamy boki prostokąta jako 3x i 4x. Z jego pola wyznaczamy dodatnie x.

\[3x\cdot4x=432\Rightarrow12x^2=432\Rightarrow x=6,\quad AB=18,\quad BC=24\]

2 Odległość punktu A od O

Przekątną prostokąta obliczamy z twierdzenia Pitagorasa. Punkt O jest jej środkiem.

\[AC=\sqrt{18^2+24^2}=30,\quad AO=\frac{AC}{2}=15\]

3 Wysokość ostrosłupa

Trójkąt SAO jest prostokątny w O, ponieważ SO jest wysokością. Korzystamy z tangensa kąta 60°.

\[\tan60^\circ=\frac{SO}{AO}\Rightarrow SO=15\sqrt3\]

4 Objętość

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac13\cdot432\cdot15\sqrt3=2160\sqrt3\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(2160\sqrt3\) jednostek sześciennych.

\[V=2160\sqrt3\]

Sprawdzenie

Boki 18 i 24 dają pole 432 oraz stosunek 3:4. Dla otrzymanej wysokości tangens kąta SAO wynosi √3, więc kąt ma 60°.

\[18\cdot24=432,\quad18:24=3:4,\quad\frac{SO}{AO}=\frac{15\sqrt3}{15}=\sqrt3=\tan60^\circ\]