Zbiór zadań maturalnych

Stereometria — zadania maturalne

Stereometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
92 zadańStrona 2 z 7
Zadanie 33
Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Stereometria

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.

Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Krawędzie tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4, więc ich długości można zapisać w tej postaci, gdzie \(a>0\).

\[a,\ 4a,\ 16a\]

2 Obliczenie długości krawędzi

Podstawiamy te długości do wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

\[2(a\cdot4a+4a\cdot16a+a\cdot16a)=94{,}5\;\Rightarrow\;168a^2=94{,}5\;\Rightarrow\;a^2=\frac{9}{16}\;\Rightarrow\;a=\frac34\]

3 Obliczenie objętości

Objętość jest iloczynem długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

\[V=a\cdot4a\cdot16a=\frac34\cdot3\cdot12=27\]

Odpowiedź

Objętość prostopadłościanu wynosi 27.

\[V=27\]

Sprawdzenie

Krawędzie mają długości 0,75, 3 i 12, więc ich kolejne ilorazy wynoszą 4. Obliczone z nich pole powierzchni całkowitej jest równe 94,5.

\[\frac{3}{0{,}75}=\frac{12}{3}=4,\qquad 2(0{,}75\cdot3+3\cdot12+0{,}75\cdot12)=94{,}5\]
Zadanie 21
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Objętość sześcianu jest równa \(729\).

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A
\(9\sqrt{3}\)
B
\(9\sqrt{2}\)
C
\(3\sqrt{3}\)
D
\(3\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Objętość sześcianu jest sześcianem długości jego krawędzi, więc wyznaczamy dodatnią wartość \(a\).

\[a^3=729=9^3\quad\Rightarrow\quad a=9\]

2 Obliczenie przekątnej

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trzech prostopadłych krawędzi wynika, że kwadrat przekątnej sześcianu jest sumą kwadratów ich długości.

\[d^2=a^2+a^2+a^2=3a^2\quad\Rightarrow\quad d=a\sqrt{3}=9\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: długość przekątnej wynosi \(9\sqrt{3}\).

\[d=9\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Krawędź o długości 9 daje objętość 729, a kwadrat otrzymanej przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech krawędzi.

\[9^3=729,\qquad (9\sqrt{3})^2=243=9^2+9^2+9^2\]
Zadanie 22
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa \(10\). Wysokość tego ostrosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka \(S\) do krawędzi podstawy \(AB\) tego ostrosłupa jest równa

A
\(5\sqrt{10}\)
B
\(5\sqrt{35}\)
C
\(5\sqrt{37}\)
D
\(10\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Wysokość jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy, więc ma długość 30.

\[H=3\cdot 10=30\]

2 Obliczenie wysokości ściany bocznej

W ostrosłupie prawidłowym wysokość pada na środek podstawy O. Jeśli M jest środkiem AB, to OM ma długość połowy boku kwadratu. Trójkąt SOM jest prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[OM=\frac{10}{2}=5,\qquad SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{30^2+5^2}=\sqrt{925}=5\sqrt{37}\]

Odpowiedź

Wysokość ściany bocznej wynosi 5√37. Odpowiedź C.

\[SM=5\sqrt{37}\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej wysokości wynosi 925, czyli jest sumą kwadratów przyprostokątnych 30 i 5. Jest też większa od wysokości ostrosłupa, jak powinna.

\[(5\sqrt{37})^2=925=30^2+5^2\]
Zadanie 33
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Stereometria

Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^\circ\).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 60°, więc z definicji sinusa i cosinusa obliczamy promień podstawy oraz wysokość.

\[r=8\sin 60^\circ=4\sqrt{3},\qquad h=8\cos 60^\circ=4\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(4\sqrt{3})^2\cdot4=64\pi\]

3 Obliczenie pola powierzchni całkowitej

Dodajemy pole koła w podstawie i pole powierzchni bocznej; tworząca ma długość 8.

\[P_c=\pi r^2+\pi r\cdot8=48\pi+32\sqrt{3}\pi=16\pi(3+2\sqrt{3})\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi 64π jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi 16π(3+2√3) jednostek kwadratowych.

\[V=64\pi,\qquad P_c=16\pi(3+2\sqrt{3})\]

Sprawdzenie

Obliczone wymiary spełniają twierdzenie Pitagorasa: kwadrat promienia i kwadrat wysokości sumują się do kwadratu tworzącej. Ponadto stosunek promienia do tworzącej wynosi sin 60°, zgodnie z połową kąta rozwarcia.

\[(4\sqrt{3})^2+4^2=48+16=64=8^2,\qquad \frac{4\sqrt{3}}{8}=\sin 60^\circ\]
Zadanie 25
Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Ostrosłup prawidłowy ma \(2024\) ściany boczne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

A
\(2025\)
B
\(2026\)
C
\(4048\)
D
\(4052\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal liczbę boków podstawy

Każdej ścianie bocznej odpowiada jeden bok podstawy, więc podstawa ma 2024 boki i 2024 wierzchołki.

\[n=2024\]

2 Policz krawędzie

Ostrosłup ma po jednej krawędzi podstawy na każdy jej bok oraz po jednej krawędzi bocznej na każdy jej wierzchołek.

\[n+n=2\cdot2024=4048\]

Odpowiedź

C. Liczba wszystkich krawędzi wynosi 4048.

\[4048\]

Sprawdzenie

Podstawa ma 2024 krawędzie, a z jej 2024 wierzchołków biegnie po jednej krawędzi do wierzchołka ostrosłupa. Razem daje to 4048 krawędzi.

\[2024+2024=4048\]
Zadanie 26
Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2\sqrt{2}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego sześcianu jest równa

A
\(8\)
B
\(24\)
C
\(\frac{16\sqrt{6}}{9}\)
D
\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie krawędzi

Ściana sześcianu jest kwadratem, więc z twierdzenia Pitagorasa jej przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\).

\[a\sqrt{2}=2\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad a=2\]

2 Obliczenie objętości

Objętość sześcianu to sześcian długości jego krawędzi.

\[V=a^3=2^3=8\]

Odpowiedź

Objętość wynosi 8. Odpowiedź A.

\[V=8\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi długości 2 przekątna ściany ma długość \(\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\), zgodnie z treścią zadania.

\[\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]
Zadanie 27
Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\operatorname{tg}\alpha=2\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z bokami podstawy oznaczonymi 4, zaznaczoną przekątną graniastosłupa, jej rzutem na podstawę i kątem α między nimi.

A
\(2\)
B
\(8\)
C
\(8\sqrt{2}\)
D
\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Rzut przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu. Obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\]

2 Wysokość graniastosłupa

Kąt między przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę ma miarę \(\alpha\). W powstałym trójkącie prostokątnym tangens jest ilorazem wysokości i przekątnej podstawy.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{d}=2\quad\Rightarrow\quad h=2\cdot4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi \(8\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[h=8\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Iloraz obliczonej wysokości i przekątnej podstawy wynosi \(2\), zgodnie z warunkiem zadania.

\[\frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=2=\operatorname{tg}\alpha\]
Zadanie 23
Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2\sqrt{2}\).

Objętość tego sześcianu jest równa

A
\(8\)
B
\(24\)
C
\(\frac{16\sqrt{6}}{9}\)
D
\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Przekątna kwadratowej ściany o boku a ma długość a√2, więc wyznaczamy długość krawędzi sześcianu.

\[a\sqrt{2}=2\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad a=2\]

2 Obliczenie objętości

Objętość sześcianu jest sześcianem długości jego krawędzi.

\[V=a^3=2^3=8\]

Odpowiedź

Objętość wynosi 8 jednostek sześciennych. Odpowiedź A.

\[V=8\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi długości 2 przekątna ściany wynosi 2√2, zgodnie z treścią zadania.

\[d=2\sqrt{2}\]
Zadanie 24
Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\operatorname{tg}\alpha=2\) (zobacz rysunek).

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczoną przekątną, kątem α i bokami podstawy oznaczonymi 4

A
\(2\)
B
\(8\)
C
\(8\sqrt{2}\)
D
\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej podstawy

Rzut przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu. Jej długość obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\]

2 Obliczenie wysokości

Tangens kąta nachylenia przekątnej do podstawy jest stosunkiem wysokości graniastosłupa do długości rzutu przekątnej.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{d}=2,\qquad h=2\cdot4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi 8√2. Odpowiedź C.

\[h=8\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Stosunek otrzymanej wysokości do przekątnej podstawy wynosi 2, zgodnie z podanym tangensem kąta.

\[\frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=2=\operatorname{tg}\alpha\]
Zadanie 25
Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Ostrosłup prawidłowy ma \(2024\) ściany boczne.

Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

A
\(2025\)
B
\(2026\)
C
\(4048\)
D
\(4052\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczby boków podstawy

Każdemu bokowi podstawy odpowiada jedna ściana boczna, więc podstawa ma 2024 boki.

\[n=2024\]

2 Policzenie krawędzi

Ostrosłup ma po jednej krawędzi podstawy i jednej krawędzi bocznej na każdy bok podstawy.

\[K=n+n=2\cdot2024=4048\]

Odpowiedź

Ostrosłup ma 4048 krawędzi. Odpowiedź C.

\[K=4048\]

Sprawdzenie

Na 4048 krawędzi składają się 2024 krawędzie podstawy i 2024 krawędzie łączące wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkami podstawy.

\[2024+2024=4048\]
Zadanie 26
Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa \(4\). Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe \(56\).

Wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka \(S\) do krawędzi podstawy \(AB\) tego ostrosłupa jest równa

A
\(3\)
B
\(\frac{5}{2}\)
C
\(\frac{21}{2}\)
D
\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola ścian bocznych

Od pola całkowitego odejmujemy pole kwadratowej podstawy.

\[P_b=4^2=16,\qquad P_{\mathrm{boczne}}=56-16=40\]

2 Wyznaczenie wysokości ściany

Cztery ściany boczne mają jednakowe pola. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o podstawie 4 i wysokości h.

\[4\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot h=40,\qquad 8h=40,\qquad h=5\]

Odpowiedź

Wysokość ściany bocznej wynosi 5. Odpowiedź D.

\[h=5\]

Sprawdzenie

Dla wysokości 5 pole każdej ściany bocznej wynosi 10, więc pole całkowite jest równe 56.

\[4^2+4\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot5=16+40=56\]
Zadanie 26
Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15\sqrt{3}\).

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny z wysokością oznaczoną liczbą 6; niewidoczne krawędzie zaznaczono liniami przerywanymi.

A
\(36\sqrt{10}\)
B
\(60\)
C
\(6\sqrt{10}\)
D
\(360\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku podstawy

Podstawa jest sześciokątem foremnym. Korzystamy ze wzoru na jego pole, aby wyznaczyć długość boku a.

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=15\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]

2 Obliczenie pola ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach a i 6, więc jej pole jest iloczynem tych długości.

\[P=a\cdot 6=6\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Pole jednej ściany bocznej wynosi 6√10. Odpowiedź C.

\[6\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla boku √10 pole podstawy wynosi 15√3, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{10})^2=15\sqrt{3}\]
Zadanie 27
Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

A

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od górnego tylnego wierzchołka do dolnego przedniego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

B

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od dolnego przedniego wierzchołka do górnego prawego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

C

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od górnego tylnego wierzchołka do dolnego przedniego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

D

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od dolnego przedniego wierzchołka do górnego tylnego prawego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór przekątnej

Najdłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołki, których rzuty na podstawę są przeciwległymi wierzchołkami sześciokąta foremnego. Odległość tych rzutów jest średnicą okręgu opisanego na podstawie.

\[d_{\text{rzutu}}=2a\]

2 Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Taką przekątną i jej rzut zaznaczono na rysunku D.

\[\alpha=\angle(\text{przekątna graniastosłupa},\text{jej rzut na podstawę})\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D górny koniec przekątnej leży nad wierzchołkiem podstawy przeciwległym do jej dolnego końca. Zaznaczony kąt ma za ramiona przekątną i jej rzut na podstawę.

Zadanie 28
Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(64\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa \(12\).

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

A
\(2\)
B
\(4\)
C
\(6\)
D
\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na objętość

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku \(a\), więc jego pole wynosi \(a^2\). Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa.

\[64=\frac{1}{3}a^2\cdot12=4a^2\]

2 Obliczenie długości boku

Dzielimy równanie przez \(4\) i wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ długość krawędzi jest dodatnia.

\[a^2=16,\qquad a=4\]

Odpowiedź

Długość krawędzi podstawy wynosi 4. Odpowiedź B.

\[a=4\]

Sprawdzenie

Dla boku 4 pole podstawy wynosi 16, a obliczona objętość jest równa podanej w zadaniu.

\[V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot12=64\]
Zadanie 36
Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte5 pkt
Stereometria

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej \(108\) stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy \(\frac{1}{4}\).

Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem \(\alpha\) (zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta \(\alpha\) oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z przekątną i zaznaczonym kątem α między przekątną a płaszczyzną podstawy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wymiarów

Oznaczamy krawędź kwadratowej podstawy przez \(a\), a wysokość przez \(h\). Z podanego stosunku mamy \(h=4a\). Podstawiamy to do wzoru na objętość.

\[108=a^2h=4a^3,\quad a^3=27,\quad a=3,\quad h=12\]

2 Obliczenie cosinusa

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu, długości \(a\sqrt{2}\). Tworzy ona z wysokością i przekątną graniastosłupa trójkąt prostokątny.

\[\cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{(a\sqrt{2})^2+h^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{18+144}}=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=\frac13\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Pole całkowite to suma pól dwóch kwadratowych podstaw i czterech prostokątnych ścian bocznych.

\[P_c=2a^2+4ah=2\cdot3^2+4\cdot3\cdot12=162\]

Odpowiedź

Cosinus kąta α wynosi 1/3, a pole powierzchni całkowitej wynosi 162.

\[\cos\alpha=\frac13,\qquad P_c=162\]

Sprawdzenie

Wymiary spełniają warunek stosunku i objętości: 3/12 = 1/4 oraz 3² · 12 = 108. Ponadto cosinus 1/3 należy do przedziału od 0 do 1.

\[\frac{a}{h}=\frac{3}{12}=\frac14,\qquad a^2h=3^2\cdot12=108,\qquad 0<\frac13<1\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz