Zbiór zadań maturalnych

Stereometria — zadania maturalne

Stereometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

33 zadańStrona 2 z 3

Sortuj:

Zadanie 26

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Objętość sześcianu jest równa $729$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

$9\sqrt{3}$

$9\sqrt{2}$

$3\sqrt{3}$

$3\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Objętość sześcianu o krawędzi a wynosi a³, więc wyznaczamy dodatnią długość krawędzi.

\[a^3=729=9^3,\quad a=9\]

2 Obliczenie przekątnej

Twierdzenie Pitagorasa zastosowane do trzech prostopadłych krawędzi daje kwadrat przekątnej równy sumie kwadratów ich długości.

\[d^2=a^2+a^2+a^2=3a^2,\quad d=a\sqrt{3}=9\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[d=9\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Krawędź 9 daje objętość 729, a kwadrat otrzymanej przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech krawędzi.

\[9^3=729,\quad (9\sqrt{3})^2=243=9^2+9^2+9^2\]

Zadanie 21

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa

$\sqrt{10}$

$3\sqrt{10}$

$\sqrt{42}$

$3\sqrt{42}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Oznaczamy krawędź kwadratowej podstawy przez $a>0$. Z treści wynika, że wysokość wynosi $3a$.

\[h=3a\]

2 Obliczenie pola całkowitego

Pole całkowite to suma pól dwóch kwadratowych podstaw i czterech prostokątnych ścian bocznych.

\[140=2a^2+4a\cdot 3a=14a^2\]

3 Wyznaczenie krawędzi

Dzielimy równanie przez 14 i wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ długość krawędzi jest dodatnia.

\[a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Krawędź podstawy jest równa $\sqrt{10}$. Odpowiedź A.

\[a=\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla $a=\sqrt{10}$ wysokość wynosi $3\sqrt{10}$, a pole całkowite jest równe 140, zgodnie z treścią zadania.

\[2(\sqrt{10})^2+4\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}=20+120=140\]

Zadanie 25

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $15$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

$15\sqrt{2}$

$45$

$5\sqrt{2}$

$10$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rzut przekątnej

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu o boku 15. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jej długość.

\[p=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}\]

2 Długość przekątnej graniastosłupa

Cosinus kąta nachylenia prostej do płaszczyzny jest stosunkiem długości rzutu do długości tej prostej. Stąd obliczamy przekątną d.

\[\frac{p}{d}=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad d=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{2}/3}=45\]

Odpowiedź

Długość przekątnej wynosi 45. Odpowiedź B.

\[d=45\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej długości stosunek przekątnej podstawy do przekątnej graniastosłupa jest równy podanemu cosinusowi kąta.

\[\frac{15\sqrt{2}}{45}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

Zadanie 20

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $KLMN$ o boku długości $4$. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź $NS$, a jej długość też jest równa $4$ (zobacz rysunek).

Kąt $\alpha$, jaki tworzą krawędzie $KS$ i $MS$, spełnia warunek

Ostrosłup o podstawie kwadratowej KLMN i wierzchołku S, z zaznaczonym kątem α między krawędziami KS i MS.

$\alpha=45^\circ$

$45^\circ<\alpha<60^\circ$

$\alpha>60^\circ$

$\alpha=60^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości krawędzi bocznych

Krawędź NS jest prostopadła do podstawy, więc trójkąty KNS i MNS są prostokątne. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[KS=\sqrt{KN^2+NS^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2,\qquad MS=\sqrt{MN^2+NS^2}=4\sqrt2\]

2 Przekątna podstawy

Odcinek KM jest przekątną kwadratu o boku 4.

\[KM=\sqrt{KL^2+LM^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\]

3 Wyznaczenie kąta

Trójkąt KSM ma trzy równe boki, więc jest równoboczny. Każdy jego kąt ma 60°.

\[KS=MS=KM=4\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad\alpha=60^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: α = 60°.

\[\boxed{\alpha=60^\circ\quad\text{(D)}}\]

Sprawdzenie

Obie krawędzie boczne i przekątna podstawy mają długość 4√2, więc trójkąt KSM jest równoboczny, a jego kąt przy S rzeczywiście ma 60°.

\[KS=MS=KM=4\sqrt2\]

Zadanie 22

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa $r$ i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

Objętość tej bryły jest równa

Półkula umieszczona na walcu; promienie i wysokość walca oznaczono literą r.

$\frac{5}{3}\pi r^3$

$\frac{4}{3}\pi r^3$

$\frac{2}{3}\pi r^3$

$\frac{1}{3}\pi r^3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Objętość walca

Promień podstawy i wysokość walca są równe $r$, więc korzystamy ze wzoru na objętość walca.

\[V_w=\pi r^2\cdot r=\pi r^3\]

2 Objętość półkuli

Półkula ma promień $r$, a jej objętość stanowi połowę objętości kuli.

\[V_p=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3\]

3 Objętość bryły

Bryła składa się z walca i półkuli, więc dodajemy ich objętości.

\[V=V_w+V_p=\pi r^3+\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{5}{3}\pi r^3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[V=\frac{5}{3}\pi r^3\]

Sprawdzenie

Dla $r>0$ wynik jest większy od objętości samego walca, a składniki mają jednostkę objętości, ponieważ zawierają $r^3$.

\[\frac{5}{3}\pi r^3-\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3=V_p\]

Zadanie 24

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt $\alpha$ o mierze

$Rysunek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z zaznaczonym przekrojem przechodzącym przez przekątną dolnej podstawy i wierzchołek górnej podstawy. Zaznaczono kąt $\alpha$ między płaszczyzną przekroju a podstawą.$

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$75^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinka w podstawie

Niech d oznacza przekątną podstawy, h wysokość graniastosłupa, a O środek podstawy. W kwadracie przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc odległość wierzchołka B, leżącego pod wskazanym wierzchołkiem górnej podstawy, od przekątnej zawartej w przekroju wynosi d/2.

\[OB=\frac d2,\qquad d=2h\]

2 Obliczenie kąta między płaszczyznami

Odcinek OB jest prostopadły do przekątnej podstawy. Odcinek łączący O z wierzchołkiem T górnej podstawy też jest do niej prostopadły, dlatego kąt TOB jest kątem między płaszczyzną przekroju a podstawą. W trójkącie prostokątnym OBT przyprostokątna BT ma długość h.

\[\tan\alpha=\frac{BT}{OB}=\frac{h}{d/2}=\frac{2h}{2h}=1,\qquad \alpha=45^\circ\]

Odpowiedź

B. Kąt ma miarę 45°.

\[\boxed{\alpha=45^\circ}\]

Sprawdzenie

Dla d=2h odcinki OB i BT mają tę samą długość h, więc trójkąt prostokątny OBT jest równoramienny. Jego kąt przy O rzeczywiście ma 45°.

\[OB=\frac{2h}{2}=h=BT\]

Zadanie 26

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$ i ma długość równą $6$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczoną wysokością ściany bocznej długości 6 i kątem 30° między tą wysokością a płaszczyzną podstawy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wysokość ostrosłupa

Rzut wysokości ściany bocznej na podstawę biegnie od środka kwadratu do środka jego boku. Tworzy z wysokością ostrosłupa trójkąt prostokątny, więc korzystamy z sinusa kąta nachylenia.

\[H=6\sin 30^\circ=6\cdot\frac12=3\]

2 Bok podstawy

Długość rzutu wynosi połowę boku kwadratu. Obliczamy ją z cosinusa kąta nachylenia.

\[\frac a2=6\cos 30^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3,\qquad a=6\sqrt3\]

3 Objętość

Podstawa jest kwadratem, więc jej pole wynosi $a^2$. Stosujemy wzór na objętość ostrosłupa.

\[P_p=(6\sqrt3)^2=108,\qquad V=\frac13P_pH=\frac13\cdot108\cdot3=108\]

4 Pole powierzchni całkowitej

Cztery ściany boczne są jednakowymi trójkątami o podstawie $a$ i wysokości $6$. Dodajemy ich pola do pola podstawy.

\[P_c=P_p+4\cdot\frac{a\cdot6}{2}=108+4\cdot\frac{6\sqrt3\cdot6}{2}=108+72\sqrt3\]

Odpowiedź

Objętość wynosi 108 jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi $108+72\sqrt3$ jednostek kwadratowych.

\[V=108,\qquad P_c=108+72\sqrt3\]

Sprawdzenie

Obliczona wysokość i połowa boku podstawy tworzą z wysokością ściany bocznej trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 6. Obie długości są dodatnie.

\[3^2+(3\sqrt3)^2=9+27=36=6^2\]

Zadanie 25

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Stereometria

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Tworząca stożka ma długość $8$. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $120^\circ$.

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 60°, tworząc trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 8.

\[r=8\sin 60^\circ=4\sqrt{3},\qquad h=8\cos 60^\circ=4\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(4\sqrt{3})^2\cdot4=64\pi\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi $64\pi$ jednostek sześciennych.

\[V=64\pi\]

Sprawdzenie

Promień i wysokość dają tworzącą długości 8, a stosunek promienia do wysokości odpowiada połowie kąta rozwarcia.

\[\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=8,\qquad \frac{r}{h}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]

Zadanie 32

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

46%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy $\frac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przekątnej podstawy

Przekątna podstawy jest rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę. Z podanego cosinusa otrzymujemy sinus kąta równy $\frac45$, więc przekątna podstawy ma długość 12.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45,\qquad d=\frac{16}{\sin\alpha}=20,\qquad p=d\cos\alpha=20\cdot\frac35=12\]

2 Obliczenie boku kwadratu

Podstawą jest kwadrat, którego przekątna ma długość $a\sqrt2$.

\[a\sqrt2=12\quad\Rightarrow\quad a=6\sqrt2\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Dodajemy pola dwóch kwadratowych podstaw i czterech ścian bocznych o wymiarach $a$ i 16.

\[P_c=2a^2+4a\cdot16=2\left(6\sqrt2\right)^2+64\cdot6\sqrt2=144+384\sqrt2\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi $144+384\sqrt2$ jednostek kwadratowych.

\[P_c=144+384\sqrt2\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanego boku przekątna podstawy wynosi 12, a przekątna graniastosłupa 20. Jej cosinus kąta nachylenia do podstawy jest więc równy podanej wartości.

\[\sqrt{(6\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2}=12,\qquad \sqrt{12^2+16^2}=20,\qquad \cos\alpha=\frac{12}{20}=\frac35\]

Zadanie 34

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

45%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta $\alpha$.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wierzchołku S i podstawie ABCD. Krawędzie AB i BC oznaczono liczbą 6; przy wierzchołku A zaznaczono kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola ścian bocznych

Pole podstawy wynosi 36, a pole całkowite 144. Odejmujemy pole podstawy i dzielimy wynik przez cztery jednakowe ściany boczne.

\[P_p=6^2=36,\qquad P_b=4\cdot36-36=108,\qquad P_{\triangle SAB}=\frac{108}{4}=27\]

2 Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Niech O będzie środkiem podstawy, a M środkiem boku AB. Wysokość ściany bocznej SM obliczamy z jej pola. Następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOM.

\[27=\frac{1}{2}\cdot6\cdot SM\Rightarrow SM=9,\qquad OM=3,\qquad SO^2=SM^2-OM^2=9^2-3^2=72\]

3 Obliczenie cosinusa kąta

Rzutem krawędzi AS na podstawę jest AO, więc $\alpha=\angle SAO$. Połowa przekątnej kwadratu ma długość $AO=3\sqrt2$. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy AS, a następnie cosinus w trójkącie prostokątnym ASO.

\[AO=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2,\qquad AS=\sqrt{SO^2+AO^2}=\sqrt{72+18}=3\sqrt{10},\qquad \cos\alpha=\frac{AO}{AS}=\frac{3\sqrt2}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt5}{5}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi $\frac{\sqrt5}{5}$.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\]

Sprawdzenie

W trójkącie ASO zachodzi $AO^2+SO^2=18+72=90=AS^2$. Otrzymany cosinus należy do przedziału $(0,1)$, zgodnie z ostrym kątem nachylenia.

\[(3\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2=(3\sqrt{10})^2,\qquad 0<\frac{\sqrt5}{5}<1\]

Zadanie 26

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

44%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$. Punkty $E, F, G, B$ są wierzchołkami ostrosłupa $EFGB$ (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa $EFGB$ jest równe

Sześcian ABCDEFGH z zaznaczonym ostrosłupem EFGB i krawędzią a

$a^2$

$\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$

$\frac{3}{2}a^2$

$\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Trzy ściany prostokątne

Trójkąty EFG, EFB i FGB są prostokątne. W każdym przyprostokątne są krawędziami sześcianu długości a, więc każdy ma pole $\frac{a^2}{2}$.

\[P_{EFG}+P_{EFB}+P_{FGB}=3\cdot\frac{a\cdot a}{2}=\frac{3a^2}{2}\]

2 Czwarta ściana

Odcinki EG, EB i BG są przekątnymi ścian sześcianu. Trójkąt EGB jest zatem równoboczny o boku $a\sqrt{2}$.

\[P_{EGB}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\]

3 Pole całkowite

Dodajemy pola czterech trójkątnych ścian ostrosłupa.

\[P_c=\frac{3a^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[P_c=\frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2\]

Sprawdzenie

Dla a > 0 każda z trzech ścian prostokątnych ma pole $\frac{a^2}{2}$, a ściana równoboczna ma pole $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$. Ich suma ma jednostkę pola i zgadza się z odpowiedzią D.

\[3\cdot\frac{a^2}{2}+\frac{\sqrt{3}a^2}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2\]

Zadanie 26

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

39%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

$15\sqrt{2}$

$45$

$5\sqrt{2}$

$10$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest kwadratem o boku 15, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[p=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}\]

2 Przekątna graniastosłupa

Rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątną kwadratu. Z definicji cosinusa kąta nachylenia obliczamy jej długość.

\[\cos\alpha=\frac{p}{d},\qquad \frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{d},\qquad d=45\]

Odpowiedź

Długość przekątnej wynosi 45. Odpowiedź B.

\[d=45\]

Sprawdzenie

Stosunek długości rzutu do obliczonej przekątnej jest równy podanemu cosinusowi, a przekątna jest dłuższa od swojego rzutu.

\[\frac{15\sqrt{2}}{45}=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad 45>15\sqrt{2}\]

Zadanie 36

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

35%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDEF$ jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$, $|AB|=8$. Wysokość trójkąta $ABC$, poprowadzona z wierzchołka $C$, ma długość 3. Przekątna $CE$ ściany bocznej tworzy z krawędzią $CB$ podstawy $ABC$ kąt $60^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prostego ABCDEF o podstawie trójkąta równoramiennego ABC, z oznaczeniami długości 3 i 8 oraz kąta 60° między CB i CE.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Boki podstawy

Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli bok AB na połowy. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość równych ramion.

\[|AC|=|BC|=\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2+3^2}=5\]

2 Wysokość graniastosłupa

Graniastosłup jest prosty, więc trójkąt CBE jest prostokątny w B. Korzystamy z tangensa podanego kąta.

\[\tan 60^\circ=\frac{|BE|}{|BC|},\qquad |BE|=5\tan 60^\circ=5\sqrt{3}\]

3 Pole całkowite i objętość

Pole całkowite to suma pól dwóch podstaw i ścian bocznych. Objętość jest iloczynem pola podstawy i wysokości graniastosłupa.

\[P_p=\frac{8\cdot3}{2}=12,\quad P_c=2P_p+(8+5+5)\cdot5\sqrt{3}=24+90\sqrt{3},\quad V=P_p\cdot5\sqrt{3}=60\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi 24+90√3 jednostek kwadratowych, a objętość 60√3 jednostek sześciennych.

\[P_c=24+90\sqrt{3},\qquad V=60\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

W trójkącie CBE przekątna ma długość 10, więc stosunek CB do CE wynosi 1/2, zgodnie z cosinusem kąta 60°.

\[|CE|=\sqrt{5^2+(5\sqrt{3})^2}=10,\qquad \cos 60^\circ=\frac{|CB|}{|CE|}=\frac{5}{10}=\frac12\]

Zadanie 34

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

34%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe $45\sqrt{3}$. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny z wierzchołkami oznaczonymi A, B, C, D, E, F.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pola podstawy

Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i trzy jednakowe ściany boczne. Każda ściana boczna ma pole równe polu podstawy, więc pole całkowite jest pięciokrotnością pola podstawy.

\[5P_p=45\sqrt{3},\qquad P_p=9\sqrt{3}\]

2 Obliczenie boku podstawy

Podstawa jest trójkątem równobocznym o boku $a$, zatem korzystamy ze wzoru na jego pole.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=36\quad\Rightarrow\quad a=6\]

3 Obliczenie wysokości i objętości

Ściana boczna jest prostokątem o bokach $a$ i $h$. Z równości pól wyznaczamy wysokość, a następnie mnożymy pole podstawy przez wysokość.

\[ah=P_p\quad\Rightarrow\quad h=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2},\qquad V=P_ph=9\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{81}{2}\]

Odpowiedź

Objętość graniastosłupa wynosi $\frac{81}{2}$.

\[V=\frac{81}{2}\]

Sprawdzenie

Pole jednej ściany bocznej wynosi $6\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$, tyle samo co pole podstawy. Pole całkowite wynosi więc $2\cdot9\sqrt{3}+3\cdot9\sqrt{3}=45\sqrt{3}$, zgodnie z treścią.

\[P_b=9\sqrt{3}=P_p,\qquad P_c=5\cdot9\sqrt{3}=45\sqrt{3}\]

Zadanie 33

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

32%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$. Wysokość $SO$ tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa $ABCS$ oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku podstawy

Dla boku $a$ wysokość trójkąta równobocznego, a więc także ostrosłupa, wynosi $\frac{a\sqrt3}{2}$. Podstawiamy te wartości do wzoru na objętość.

\[27=\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^3}{8},\qquad a=6\]

2 Wysokość ściany bocznej

Niech $M$ będzie środkiem boku $AB$. Punkt $O$ jest środkiem trójkąta równobocznego, więc $OM$ stanowi jedną trzecią wysokości podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SOM$ obliczamy $SM$.

\[SO=3\sqrt3,\qquad OM=\sqrt3,\qquad SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{27+3}=\sqrt{30}\]

3 Pole powierzchni bocznej

Trzy ściany boczne są przystającymi trójkątami o podstawie $6$ i wysokości $\sqrt{30}$.

\[P_b=3\cdot\frac12\cdot6\cdot\sqrt{30}=9\sqrt{30}\]

4 Cosinus kąta

Rzutem wysokości ściany $SM$ na płaszczyznę podstawy jest $OM$. Szukany kąt to zatem kąt $SMO$, którego cosinus obliczamy w trójkącie prostokątnym $SOM$.

\[\cos\angle SMO=\frac{OM}{SM}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni bocznej wynosi 9√30, a cosinus szukanego kąta wynosi √10/10.

\[P_b=9\sqrt{30},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}\]

Sprawdzenie

Dla boku 6 objętość wynosi 27. Ponadto kwadrat obliczonej wysokości ściany jest równy sumie kwadratów SO i OM, a cosinus należy do przedziału od 0 do 1.

\[V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot3\sqrt3=27,\qquad (\sqrt{30})^2=(3\sqrt3)^2+(\sqrt3)^2=30,\qquad 0<\frac{\sqrt{10}}{10}<1\]