Zbiór zadań maturalnych

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka — zadania maturalne

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

79 zadańStrona 5 z 6

Sortuj:

Zadanie 25

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe

\(\frac{1}{16}\)

\(\frac{3}{8}\)

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{3}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Prawdopodobieństwo jednego układu

Po każdym losowaniu kulę zwracamy, więc losowania są niezależne. W każdym z nich prawdopodobieństwo wylosowania białej lub czarnej kuli wynosi \(\frac12\).

\[P(\text{trzy białe, potem czarna})=\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}\]

2 Liczba możliwych układów

Jedyna czarna kula może wypaść w dowolnym z czterech losowań. Dodajemy prawdopodobieństwa tych rozłącznych układów.

\[P(\text{dokładnie trzy białe})=\binom43\cdot\frac1{16}=4\cdot\frac1{16}=\frac14\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac14\]

Sprawdzenie

Są dokładnie cztery pasujące kolejności: BBB C, BB C B, B C BB i C BBB (B oznacza białą, C czarną). Każda ma prawdopodobieństwo \(\frac1{16}\), więc łącznie otrzymujemy \(\frac14\).

\[4\cdot\frac1{16}=\frac14\]

Zadanie 31

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każdy z czterech rzutów ma dwa jednakowo prawdopodobne wyniki, więc wszystkie ciągi wyników są jednakowo prawdopodobne.

\[|\Omega|=2^4=16\]

2 Wyniki sprzyjające

Orłów jest więcej niż reszek, gdy w czterech rzutach wypadną dokładnie trzy albo cztery orły. Wybieramy miejsca, na których wypadną orły.

\[\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5\]

3 Prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P=\frac{5}{16}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 5/16.

\[\frac{5}{16}\]

Sprawdzenie

Dokładnie dwa orły można uzyskać na 6 sposobów. Z symetrii przypadków więcej orłów i więcej reszek jest po 5; łącznie daje to wszystkie 16 wyników.

\[5+\binom{4}{2}+5=5+6+5=16\]

Zadanie 24

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

Ocena	6	5	4	3	2
Liczba ocen	2	3	5	5	1

Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa

\(3\)

\(3{,}5\)

\(4\)

\(4{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba ocen

Mediana zależy od liczby danych i ich kolejności, więc najpierw sumujemy liczby ocen.

\[2+3+5+5+1=16\]

2 Środkowe oceny

Przy 16 ocenach mediana jest średnią 8. i 9. oceny w szeregu rosnącym. Ocena 2 zajmuje miejsce 1., oceny 3 miejsca od 2. do 6., a oceny 4 miejsca od 7. do 11.

\[\frac{4+4}{2}=4\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 4. Odpowiedź C.

\[4\]

Sprawdzenie

Ósma i dziewiąta ocena należą do pięciu ocen równych 4, więc ich średnia rzeczywiście wynosi 4.

\[7\leq 8<9\leq 11\]

Zadanie 25

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe

\(\frac{14}{15}\)

\(\frac{1}{14}\)

\(\frac{14}{29}\)

\(\frac{15}{29}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba dziewcząt

Od liczby wszystkich uczniów odejmujemy liczbę chłopców.

\[29-15=14\]

2 Prawdopodobieństwo

Każdy uczeń ma jednakową szansę na wylosowanie, więc dzielimy liczbę dziewcząt przez liczbę wszystkich uczniów.

\[P(\text{dziewczyna})=\frac{14}{29}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{14}{29}\). Odpowiedź C.

\[\frac{14}{29}\]

Sprawdzenie

W grupie jest 14 dziewcząt i 15 chłopców, razem 29 osób. Ich prawdopodobieństwa sumują się do 1.

\[\frac{14}{29}+\frac{15}{29}=1\]

Zadanie 33

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru \(A=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru \(B=\{-1,0,1,2\}\) losujemy liczbę \(b\). Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja \(f\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunki zdarzenia

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni. Wtedy miejsce zerowe jest dodatnie dokładnie wtedy, gdy wyraz wolny jest ujemny.

\[a>0,\qquad x_0=-\frac{b}{a}>0\iff b<0\]

2 Policzenie wyników

Zbiór A zawiera trzy dodatnie wartości, a w zbiorze B jedyną ujemną wartością jest −1. Wszystkich par jest 6 razy 4.

\[|\Omega|=6\cdot4=24,\qquad |E|=3\cdot1=3\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę par spełniających oba warunki przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych par.

\[P(E)=\frac{3}{24}=\frac18\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 1/8.

\[P(E)=\frac18\]

Sprawdzenie

Dla trzech korzystnych par (a,−1), gdzie a należy do {1,2,3}, funkcja jest rosnąca, a jej miejsce zerowe wynosi 1/a i jest dodatnie. Żadna inna wartość b nie daje dodatniego miejsca zerowego przy a>0.

\[a\in\{1,2,3\},\quad b=-1\implies x_0=\frac1a>0\]

Zadanie 25

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od \(20\), jest równe

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{5}{36}\)

\(\frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{9}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każdy rzut ma 6 wyników, więc dwóch rzutów daje 36 jednakowo prawdopodobnych par uporządkowanych.

\[|\Omega|=6\cdot 6=36\]

2 Pary sprzyjające

Wypisujemy pary, których iloczyn przekracza 20. Kolejność ma znaczenie, ponieważ rzuty są kolejne.

\[(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)\]

3 Prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę 6 par sprzyjających przez liczbę 36 wszystkich wyników.

\[P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{1}{6}\]

Sprawdzenie

Wypisane iloczyny to 24, 25, 30, 24, 30 i 36, więc wszystkie przekraczają 20. Dla pierwszego wyniku co najwyżej 3 iloczyn nie przekracza 18; pozostałe przypadki są uwzględnione.

\[3\cdot 6=18<20\]

Zadanie 23

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) jest równa \(9\). Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa

\(8\)

\(9\)

\(10\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie x

Osiem liczb ma średnią 9, więc ich suma wynosi 72. Suma siedmiu znanych liczb to 56.

\[x+2+4+6+8+10+12+14=8\cdot9=72,\quad x+56=72,\quad x=16\]

2 Obliczenie mediany

Po uporządkowaniu ośmiu liczb mediana jest średnią czwartej i piątej liczby.

\[2,4,6,8,10,12,14,16;\quad \frac{8+10}{2}=9\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 9. Odpowiedź B.

\[9\]

Sprawdzenie

Suma uporządkowanych liczb wynosi 72, więc ich średnia to 9; środkowe liczby to 8 i 10.

\[\frac{2+4+6+8+10+12+14+16}{8}=9\]

Zadanie 25

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Z pudełka, w którym jest tylko \(6\) kul białych i \(n\) kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{1}{3}\). Liczba kul czarnych jest równa

\(n=9\)

\(n=2\)

\(n=18\)

\(n=12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli to liczba kul białych podzielona przez liczbę wszystkich kul.

\[\frac{6}{6+n}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie liczby kul czarnych

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę \(3(6+n)\), a następnie odejmujemy 6.

\[18=6+n\quad\Rightarrow\quad n=12\]

Odpowiedź

W pudełku jest 12 kul czarnych. Odpowiedź D.

\[n=12\]

Sprawdzenie

Dla 12 kul czarnych wszystkich kul jest 18, więc prawdopodobieństwo wylosowania białej wynosi jedną trzecią.

\[\frac{6}{6+12}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 30

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru liczb \(\{1,2,4,5,10\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losowania odbywają się ze zwracaniem, więc każde z dwóch losowań ma 5 możliwych wyników. Kolejność ma znaczenie.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Iloraz jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy druga liczba dzieli pierwszą. Dla kolejnych pierwszych liczb: 1, 2, 4, 5 i 10 otrzymujemy odpowiednio 1, 2, 3, 2 i 4 możliwe drugie liczby.

\[|A|=1+2+3+2+4=12\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{12}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 12/25.

\[P(A)=\frac{12}{25}\]

Sprawdzenie

Licząc według drugiej wylosowanej liczby, otrzymujemy odpowiednio 5, 3, 1, 2 i 1 dopuszczalnych pierwszych liczb. Suma ponownie wynosi 12, a otrzymane prawdopodobieństwo należy do przedziału od 0 do 1.

\[5+3+1+2+1=12,\qquad 0\leq\frac{12}{25}\leq1\]

Zadanie 21

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy

\(0\leq p<0{,}25\)

\(0{,}25\leq p\leq 0{,}4\)

\(0{,}4<p\leq 0{,}5\)

\(p>0{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczymy możliwe wyniki

W każdym z trzech rzutów są dwa jednakowo prawdopodobne wyniki, więc wszystkich ciągów wyników jest osiem.

\[2^3=8\]

2 Liczymy wyniki sprzyjające

Dokładnie jeden orzeł może wypaść w pierwszym, drugim albo trzecim rzucie.

\[\binom{3}{1}=3\]

3 Obliczamy prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[p=\frac{3}{8}=0{,}375\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[0{,}25\leq p\leq 0{,}4\]

Sprawdzenie

Wartość 0,375 należy do przedziału z odpowiedzi B.

\[0{,}25\leq 0{,}375\leq 0{,}4\]

Zadanie 22

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(x-1\), \(3x\), \(5x+1\) i \(7x\) jest równa 72. Wynika stąd, że

\(x=9\)

\(x=10\)

\(x=17\)

\(x=18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średniej

Średnia arytmetyczna to suma czterech liczb podzielona przez 4, więc układamy równanie.

\[\frac{(x-1)+3x+(5x+1)+7x}{4}=72\]

2 Rozwiązanie równania

Redukujemy wyrazy podobne: liczby −1 i 1 się znoszą. Następnie dzielimy obie strony przez 4.

\[\frac{16x}{4}=72\quad\Rightarrow\quad 4x=72\quad\Rightarrow\quad x=18\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: x = 18.

\[x=18\]

Sprawdzenie

Dla x = 18 podane liczby to 17, 54, 91 i 126. Ich średnia wynosi 72.

\[\frac{17+54+91+126}{4}=\frac{288}{4}=72\]

Zadanie 23

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Jeżeli do zestawu czterech danych: \(4\), \(7\), \(8\), \(x\) dołączymy liczbę \(2\), to średnia arytmetyczna wzrośnie o \(2\). Zatem

\(x=-51\)

\(x=-6\)

\(x=10\)

\(x=29\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średnich

Średnia to suma danych podzielona przez ich liczbę. Po dołączeniu liczby 2 mamy pięć danych.

\[\overline{x}_4=\frac{19+x}{4},\qquad \overline{x}_5=\frac{21+x}{5}\]

2 Ułożenie i rozwiązanie równania

Nowa średnia jest o 2 większa od poprzedniej, więc przyrównujemy ich różnicę do 2 i mnożymy przez 20.

\[\frac{21+x}{5}-\frac{19+x}{4}=2\quad\Longrightarrow\quad 4(21+x)-5(19+x)=40\quad\Longrightarrow\quad -11-x=40\quad\Longrightarrow\quad x=-51\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: x = −51.

\[x=-51\]

Sprawdzenie

Dla x = −51 początkowa średnia wynosi −8, a po dołączeniu 2 wynosi −6. Wzrosła więc dokładnie o 2.

\[\frac{4+7+8-51}{4}=-8,\qquad \frac{4+7+8-51+2}{5}=-6,\qquad -6-(-8)=2\]

Zadanie 25

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe

\(\frac{1}{48}\)

\(\frac{1}{24}\)

\(\frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie prawdopodobieństwa

Rzuty są niezależne, więc mnożymy prawdopodobieństwa uzyskania orła na każdej monecie i sześciu oczek na kostce.

\[P=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{24}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 1/24. Odpowiedź B.

\[\boxed{\frac{1}{24}}\]

Sprawdzenie

Dwie monety i kostka dają łącznie 4 · 6 = 24 jednakowo prawdopodobne wyniki. Tylko jeden z nich to dwa orły i sześć oczek, więc wynik 1/24 jest poprawny.

\[\frac{1}{4\cdot 6}=\frac{1}{24}\]

Zadanie 34

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba \(5\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich par

Kolejność losowania nie ma znaczenia, więc liczymy dwuelementowe podzbiory siedmiu liczb.

\[|\Omega|=\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21\]

2 Liczba par sprzyjających

Aby większą liczbą było 5, drugą liczbą musi być jedna z liczb 1, 2, 3, 4.

\[|A|=4\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne, dlatego dzielimy liczbę par sprzyjających przez liczbę wszystkich par.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{4}{21}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 4/21.

\[\frac{4}{21}\]

Sprawdzenie

Przy uwzględnieniu kolejności jest 42 możliwych wyników i 8 sprzyjających, co daje tę samą wartość.

\[\frac{8}{42}=\frac{4}{21}\]

Zadanie 23

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,\ 4,\ 7,\ 8,\ x\) jest równa \(n\), natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,\ 4,\ 7,\ 8,\ x,\ 2x\) jest równa \(2n\). Wynika stąd, że

\(x=49\)

\(x=21\)

\(x=14\)

\(x=7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średnich

Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez ich liczbę. Ponieważ \(2+4+7+8=21\), zapisujemy obie średnie.

\[n=\frac{21+x}{5},\qquad 2n=\frac{21+3x}{6}\]

2 Wyznaczenie x

Podstawiamy pierwszą równość do drugiej i mnożymy przez 30, aby usunąć mianowniki.

\[\frac{21+3x}{6}=2\cdot\frac{21+x}{5}\quad\Longrightarrow\quad 5(21+3x)=12(21+x)\quad\Longrightarrow\quad 105+15x=252+12x\quad\Longrightarrow\quad x=49\]

Odpowiedź

A. x = 49.

\[x=49\]

Sprawdzenie

Dla x = 49 pierwsza średnia wynosi 14, a druga 28, czyli jest dwa razy większa.

\[\frac{21+49}{5}=14,\qquad \frac{21+3\cdot49}{6}=28=2\cdot14\]