Zbiór zadań maturalnych

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka — zadania maturalne

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

79 zadańStrona 4 z 6

Sortuj:

Zadanie 34

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru \(\{3,4,5,6,7,8\}\), a cyfra jedności należy do zbioru \(\{0,1,2,3,4\}\), losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie możliwe liczby

Cyfrę dziesiątek wybieramy na 6 sposobów, a cyfrę jedności na 5 sposobów, więc mnożymy liczby możliwości.

\[|\Omega|=6\cdot5=30\]

2 Policz liczby podzielne przez 4

Sprawdzamy liczby spełniające warunki zadania. Jest ich 9.

\[A=\{32,40,44,52,60,64,72,80,84\},\quad |A|=9\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Każda z 30 liczb ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/10.

\[P(A)=\frac{3}{10}\]

Sprawdzenie

W każdym z sześciu przedziałów od 30–34 do 80–84 liczba wypisanych wielokrotności 4 wynosi kolejno 1, 2, 1, 2, 1, 2. Daje to razem 9 liczb; każda ma dozwolone cyfry.

\[1+2+1+2+1+2=9\]

Zadanie 27

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku znajdują się tylko kule białe i kule czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(3 : 4\). Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo prawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{3}{7}\)

\(\frac{3}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby kul

Stosunek 3:4 oznacza, że liczby kul białych i czerwonych są odpowiednio równe 3k i 4k dla pewnego dodatniego k. Wszystkich kul jest 7k.

\[3k+4k=7k\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Każda kula ma taką samą szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę kul białych przez liczbę wszystkich kul.

\[P(A)=\frac{3k}{7k}=\frac{3}{7}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/7. Odpowiedź C.

\[P(A)=\frac{3}{7}\]

Sprawdzenie

Udziały kul białych i czerwonych sumują się do 1.

\[\frac{3}{7}+\frac{4}{7}=1\]

Zadanie 28

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna pięciu liczb: \(5x+6\), \(6x+7\), \(7x+8\), \(8x+9\), \(9x+10\), jest równa \(8\). Wtedy \(x\) jest równe

\((-35)\)

\(0\)

\(0{,}35\)

\(35\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średniej

Średnia arytmetyczna to suma pięciu liczb podzielona przez 5, więc przyrównujemy ją do 8.

\[\frac{(5x+6)+(6x+7)+(7x+8)+(8x+9)+(9x+10)}{5}=8\]

2 Obliczenie x

Dodajemy wyrazy podobne i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{35x+40}{5}=8\quad\Longrightarrow\quad 7x+8=8\quad\Longrightarrow\quad x=0\]

Odpowiedź

x = 0, odpowiedź B.

\[x=0\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 otrzymujemy liczby 6, 7, 8, 9, 10. Ich średnia wynosi 8.

\[\frac{6+7+8+9+10}{5}=\frac{40}{5}=8\]

Zadanie 34

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu oczek. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb oczek wyrzuconych w dwóch rzutach jest równy \(12\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Wynik zapisujemy jako uporządkowaną parę liczb oczek. Każdy z 6 wyników pierwszego rzutu można połączyć z każdym z 6 wyników drugiego rzutu.

\[|\Omega|=6\cdot 6=36\]

2 Wyniki sprzyjające

Szukamy par liczb od 1 do 6, których iloczyn wynosi 12. Kolejność rzutów ma znaczenie.

\[A=\{(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)\},\quad |A|=4\]

3 Prawdopodobieństwo

Wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 1/9.

\[P(A)=\frac{1}{9}\]

Sprawdzenie

Iloczyn każdej z czterech wypisanych par wynosi 12. Pozostała para dzielników, 1 i 12, nie jest możliwa na tej kostce, więc lista jest kompletna.

\[2\cdot6=3\cdot4=12,\qquad 12>6\]

Zadanie 24

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: \(1, 3, 5, 3\), jest liczba

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Wariancję liczymy względem średniej ocen.

\[\overline{x}=\frac{1+3+5+3}{4}=3\]

2 Obliczenie wariancji

Średnia kwadratów odchyleń od średniej wynosi:

\[V=\frac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2+(3-3)^2}{4}=\frac{4+0+4+0}{4}=2\]

Odpowiedź

Wariancja wynosi 2. Odpowiedź B.

\[V=2\]

Sprawdzenie

Kontrola innym wzorem: średnia kwadratów ocen wynosi 11, a kwadrat średniej wynosi 9, więc wariancja to 2.

\[\frac{1^2+3^2+5^2+3^2}{4}-3^2=11-9=2\]

Zadanie 25

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W urnie jest \(9\) kul, w tym cztery kule czerwone, trzy zielone i dwie kule białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano ani kuli zielonej, ani białej, jest równe

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{4}{9}\)

\(\frac{5}{9}\)

\(\frac{6}{9}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie zdarzenia

Kula, która nie jest ani zielona, ani biała, musi być czerwona. Takich kul są cztery spośród dziewięciu.

\[9-3-2=4\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Przy losowaniu jednej kuli dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych wyników.

\[P=\frac{4}{9}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{4}{9}\). Odpowiedź B.

\[\frac{4}{9}\]

Sprawdzenie

Zielonych i białych kul jest razem pięć, więc z dopełnienia otrzymujemy ten sam wynik.

\[1-\frac{3+2}{9}=\frac{4}{9}\]

Zadanie 33

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na tym, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich wyników

Każdy z czterech rzutów ma dwa możliwe wyniki, więc wszystkich jednakowo prawdopodobnych ciągów jest 16.

\[2^4=16\]

2 Wyniki z równą liczbą orłów i reszek

Równe liczby oznaczają po dwa orły i dwie reszki. Wybieramy dwa spośród czterech miejsc na orły.

\[\binom{4}{2}=6\]

3 Prawdopodobieństwo zdarzenia A

Od wszystkich wyników odejmujemy te z równą liczbą orłów i reszek, a otrzymaną liczbę dzielimy przez 16.

\[P(A)=\frac{16-6}{16}=\frac{5}{8}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 5/8.

\[P(A)=\frac{5}{8}\]

Sprawdzenie

Zdarzenie przeciwne ma prawdopodobieństwo 6/16 = 3/8. Suma prawdopodobieństw zdarzenia i jego dopełnienia wynosi 1.

\[\frac{5}{8}+\frac{3}{8}=1\]

Zadanie 5

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W zestawie 250 liczb występują jedynie liczby 4 i 2. Liczba 4 występuje 128 razy, a liczba 2 występuje 122 razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby 3. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

0,024

0,24

0,0024

0,00024

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Każdą liczbę mnożymy przez liczbę jej wystąpień, a sumę dzielimy przez 250.

\[\overline{x}=\frac{128\cdot4+122\cdot2}{250}=\frac{756}{250}=3{,}024\]

2 Obliczenie błędu

Błąd bezwzględny to wartość bezwzględna różnicy między średnią a jej przybliżeniem.

\[\left|3{,}024-3\right|=0{,}024\]

Odpowiedź

Błąd bezwzględny wynosi 0,024. Odpowiedź A.

\[0{,}024\]

Sprawdzenie

Liczności sumują się do 250, a średnia 3,024 różni się od przybliżenia 3 o 0,024.

\[128+122=250,\qquad 3+0{,}024=3{,}024\]

Zadanie 31

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku jest 8 kul, z czego 5 białych i 3 czarne. Do tego pudełka dołożono \(n\) kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała, jest równe \(\frac{11}{12}\). Oblicz \(n\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Po dołożeniu kul w pudełku jest \(5+n\) kul białych i \(8+n\) kul łącznie, więc stosujemy definicję prawdopodobieństwa.

\[\frac{5+n}{8+n}=\frac{11}{12},\quad n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\]

2 Obliczenie liczby kul

Mnożymy obie strony przez \(12(8+n)\), a następnie rozwiązujemy równanie.

\[12(5+n)=11(8+n)\quad\Longrightarrow\quad 60+12n=88+11n\quad\Longrightarrow\quad n=28\]

Odpowiedź

Dołożono 28 białych kul.

\[n=28\]

Sprawdzenie

Liczba 28 jest nieujemną liczbą całkowitą. Po dołożeniu kul białych jest 33, a wszystkich kul 36; otrzymane prawdopodobieństwo zgadza się z podanym.

\[\frac{5+28}{8+28}=\frac{33}{36}=\frac{11}{12}\]

Zadanie 25

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych \(\{20,21,22,\ldots,39,40\}\) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{2}{7}\)

\(\frac{6}{19}\)

\(\frac{3}{10}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Liczymy wszystkie liczby naturalne od 20 do 40 włącznie.

\[40-20+1=21\]

2 Liczby podzielne przez 4

Wypisujemy wielokrotności 4 należące do podanego zbioru.

\[20,24,28,32,36,40\quad\Rightarrow\quad 6\text{ liczb}\]

3 Prawdopodobieństwo

Przy losowaniu jednej liczby każda z 21 liczb ma jednakową szansę, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 2/7. Odpowiedź B.

\[\boxed{\frac{2}{7}}\]

Sprawdzenie

Kolejne liczby podzielne przez 4 od 20 do 40 różnią się o 4, więc jest ich (40−20)/4+1=6. Razem z pozostałymi 15 liczbami daje to 21 możliwych wyników.

\[\frac{40-20}{4}+1=6,\qquad 6+15=21\]

Zadanie 31

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich wyników

Każdy z trzech rzutów ma 6 jednakowo prawdopodobnych wyników, więc liczymy uporządkowane trójki.

\[|\Omega|=6^3=216\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Suma 16 jest o 2 mniejsza od największej możliwej sumy 18. Możemy więc obniżyć wynik jednego rzutu o 2 albo wyniki dwóch rzutów po 1. Każdy przypadek daje 3 ustawienia.

\[(4,6,6):\ 3\ \text{ustawienia},\qquad (5,5,6):\ 3\ \text{ustawienia},\qquad |A|=3+3=6\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{6}{216}=\frac{1}{36}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo otrzymania sumy 16 wynosi 1/36.

\[P(A)=\frac{1}{36}\]

Sprawdzenie

Wskazane trójki mają sumę 16, a ich liczba stanowi 6 spośród 216 możliwych wyników. Zatem wynik jest zgodny z obliczeniem.

\[4+6+6=16,\qquad 5+5+6=16,\qquad 216\cdot\frac{1}{36}=6\]

Zadanie 23

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych \(3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7\) jest równa 12. Mediana tych liczb jest równa

\(14\)

\(12\)

\(16\)

\(x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości x

Średnia dziesięciu liczb wynosi 12, więc ich suma wynosi 120. Sześć znanych liczb ma sumę 56, a x występuje cztery razy.

\[3+10+5+4x+12+19+7=10\cdot12,\quad 56+4x=120,\quad x=16\]

2 Obliczenie mediany

Po uporządkowaniu dziesięciu liczb mediana jest średnią piątej i szóstej liczby.

\[3,5,7,10,12,16,16,16,16,19;\qquad \frac{12+16}{2}=14\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 14. Odpowiedź A.

\[14\]

Sprawdzenie

Suma uporządkowanych liczb wynosi 120, więc ich średnia to 12. Piąta i szósta liczba to 12 i 16, co potwierdza medianę 14.

\[\frac{3+5+7+10+12+16+16+16+16+19}{10}=12,\qquad \frac{12+16}{2}=14\]

Zadanie 25

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W grupie 60 osób (kobiet i mężczyzn) jest 35 kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe

\(\frac{1}{60}\)

\(\frac{1}{25}\)

\(\frac{7}{12}\)

\(\frac{5}{12}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba mężczyzn

Od liczby wszystkich osób odejmujemy liczbę kobiet.

\[60-35=25\]

2 Prawdopodobieństwo

Każda osoba ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę mężczyzn przez liczbę wszystkich osób i skracamy ułamek.

\[P(\text{mężczyzna})=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 5/12. Odpowiedź D.

\[\frac{5}{12}\]

Sprawdzenie

W grupie jest 25 mężczyzn i 35 kobiet, razem 60 osób. Ich prawdopodobieństwa sumują się do 1.

\[\frac{5}{12}+\frac{35}{60}=\frac{25}{60}+\frac{35}{60}=1\]

Zadanie 30

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru \(\{1,3,5,7,9\}\), i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru \(\{0,2,4,6,8\}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Liczby dwucyfrowe to liczby od 10 do 99, więc wszystkich wyników losowania jest 90.

\[99-10+1=90\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Cyfrę dziesiątek można wybrać na 5 sposobów, a cyfrę jedności niezależnie na 5 sposobów. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wyników sprzyjających.

\[|A|=5\cdot 5=25\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 5/18.

\[P(A)=\frac{5}{18}\]

Sprawdzenie

Pozostałych liczb jest 65, a 25+65=90. Otrzymane prawdopodobieństwo należy do przedziału od 0 do 1.

\[90-25=65,\qquad 0<\frac{5}{18}<1\]

Zadanie 22

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Wśród \(100\) osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Liczba książek	0	1	2	3	4	5
Liczba osób	23	14	28	17	11	7

Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

\(0{,}5\)

\(1\)

\(2\)

\(2{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby książek

Mnożymy każdą liczbę książek przez liczbę osób, które ją przeczytały, a następnie dodajemy wyniki.

\[0\cdot23+1\cdot14+2\cdot28+3\cdot17+4\cdot11+5\cdot7=200\]

2 Obliczenie średniej

Dzielimy łączną liczbę książek przez liczbę ankietowanych osób.

\[\frac{200}{100}=2\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 2 książki na osobę. Odpowiedź C.

\[\boxed{2}\]

Sprawdzenie

Liczebności w tabeli sumują się do 100 osób, więc w obliczeniu średniej użyto właściwego mianownika.

\[23+14+28+17+11+7=100\]