Zbiór zadań maturalnych

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka — zadania maturalne

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

35 zadańStrona 2 z 3

Sortuj:

Zadanie 29.2

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

68%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 29, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa

Diagram słupkowy cen za 1 kg pomidorów w szesnastu sklepach. Ceny 5,05; 5,60; 5,70; 6,00; 6,30 zł odpowiadają kolejno liczbie sklepów 2, 4, 2, 5, 3.

5,80 zł

5,73 zł

5,85 zł

6,00 zł

5,70 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie liczby sklepów

Z diagramu odczytujemy, ile sklepów oferuje każdą cenę. Razem jest 16 sklepów.

\[2+4+2+5+3=16\]

2 Obliczenie średniej

Każdą cenę mnożymy przez liczbę sklepów, w których występuje, a sumę dzielimy przez 16.

\[\frac{5{,}05\cdot2+5{,}60\cdot4+5{,}70\cdot2+6{,}00\cdot5+6{,}30\cdot3}{16}=\frac{92{,}80}{16}=5{,}80\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Średnia cena wynosi 5,80 zł. Odpowiedź A.

\[\boxed{5{,}80\ \text{zł}\quad\text{A}}\]

Sprawdzenie

Obliczona średnia pomnożona przez liczbę sklepów daje łączną kwotę używaną w obliczeniu.

\[5{,}80\cdot16=92{,}80\ \text{zł}\]

Zadanie 23

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Cztery liczby: \(2,\ 3,\ a,\ 8\), tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: \(5,\ 3,\ 6,\ 8,\ 2\). Zatem

\(a=7\)

\(a=6\)

\(a=5\)

\(a=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Mediana pięciu danych

Porządkujemy liczby, ponieważ mediana nieparzystej liczby danych jest wartością środkową.

\[2<3<5<6<8,\qquad M_5=5\]

2 Wyznaczenie liczby a

Mediana czterech uporządkowanych danych jest średnią dwóch środkowych liczb. Przyrównujemy ją do 5.

\[\frac{3+a}{2}=5\quad\Longrightarrow\quad 3+a=10\quad\Longrightarrow\quad a=7\]

Odpowiedź

A. \(a=7\).

\[a=7\]

Sprawdzenie

Dla \(a=7\) liczby pozostają uporządkowane rosnąco, a ich mediana wynosi 5.

\[2<3<7<8,\qquad \frac{3+7}{2}=5\]

Zadanie 27

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna liczb \(x, y, z\) jest równa 4.

Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(1+x\), \(2+y\), \(3+z\), \(14\), jest równa

\(6\)

\(9\)

\(8\)

\(13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy liczb

Ze wzoru na średnią arytmetyczną wyznaczamy sumę liczb x, y, z.

\[\frac{x+y+z}{3}=4\quad\Rightarrow\quad x+y+z=12\]

2 Obliczenie nowej średniej

Dodajemy cztery podane liczby i dzielimy ich sumę przez 4.

\[\frac{(1+x)+(2+y)+(3+z)+14}{4}=\frac{12+20}{4}=8\]

Odpowiedź

Średnia jest równa 8. Odpowiedź C.

\[8\]

Sprawdzenie

Suma czterech liczb wynosi 32, a średnia 8 pomnożona przez 4 również daje 32.

\[4\cdot 8=32=12+1+2+3+14\]

Zadanie 23

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Mediana zestawu sześciu danych liczb: \(4, 8, 21, a, 16, 25\), jest równa \(14\). Zatem

\(a=7\)

\(a=12\)

\(a=14\)

\(a=20\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal środkowe liczby

Przy sześciu danych mediana jest średnią trzeciej i czwartej liczby po uporządkowaniu. Aby wynosiła 14, liczba a musi leżeć między 8 a 16: dla a mniejszego lub równego 8 mediana wynosi 12, a dla a większego lub równego 16 jest co najmniej 16.

\[8<a<16\]

2 Oblicz a

W tym przedziale środkowymi liczbami są a i 16, więc ich średnia musi wynosić 14.

\[\frac{a+16}{2}=14\quad\Longrightarrow\quad a+16=28\quad\Longrightarrow\quad a=12\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: a = 12.

\[a=12\]

Sprawdzenie

Po uporządkowaniu liczb otrzymujemy 4, 8, 12, 16, 21, 25. Średnia dwóch środkowych liczb wynosi 14, a 12 należy do przyjętego przedziału.

\[\frac{12+16}{2}=14\]

Zadanie 33

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są dwa zbiory: \(A=\{100,200,300,400,500,600,700\}\) i \(B=\{10,11,12,13,14,15,16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Z każdego siedmioelementowego zbioru wybieramy jedną liczbę, więc wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne.

\[|A|\cdot|B|=7\cdot7=49\]

2 Reszty z dzielenia przez 3

Suma jest podzielna przez 3, gdy reszty składników wynoszą odpowiednio 0 i 0, 1 i 2 albo 2 i 1. W każdym zbiorze są dwie liczby o reszcie 0, trzy o reszcie 1 i dwie o reszcie 2.

\[A:\ (2,3,2),\qquad B:\ (2,3,2)\quad\text{dla reszt }(0,1,2)\]

3 Prawdopodobieństwo

Liczymy pary o pasujących resztach i dzielimy ich liczbę przez liczbę wszystkich par.

\[P=\frac{2\cdot2+3\cdot2+2\cdot3}{49}=\frac{16}{49}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 16/49.

\[\frac{16}{49}\]

Sprawdzenie

Pary o resztach (0,0), (1,2) i (2,1) dają odpowiednio 4, 6 i 6 wyników, razem 16. Liczby 16 i 49 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, więc ułamek jest nieskracalny.

\[4+6+6=16,\qquad \operatorname{NWD}(16,49)=1\]

Zadanie 30

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K = \{5, 6, 7, 8, 9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(K\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie wyniki

Losujemy dwukrotnie ze zwracaniem, więc za każdym razem mamy 5 możliwości. Kolejność losowania ma znaczenie.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Policz wyniki sprzyjające

Suma jest parzysta, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste. W zbiorze są 2 liczby parzyste i 3 nieparzyste.

\[|A|=2\cdot2+3\cdot3=4+9=13\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{13}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo otrzymania parzystej sumy wynosi 13/25.

\[P(A)=\frac{13}{25}\]

Sprawdzenie

Nieparzystą sumę dają pary liczb o różnej parzystości: jest ich 2·3+3·2=12. Razem z 13 parami o parzystej sumie daje to wszystkie 25 wyników.

\[13+(2\cdot3+3\cdot2)=25\]

Zadanie 34

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa \(4\) lub \(5\), lub \(6\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Rozróżniamy kolejność rzutów. Każdy z dwóch rzutów ma 6 możliwych wyników, więc wszystkich jednakowo prawdopodobnych par jest 36.

\[|\Omega|=6\cdot 6=36\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Sumę 4 można uzyskać na 3 sposoby, sumę 5 na 4 sposoby, a sumę 6 na 5 sposobów. Są to rozłączne przypadki, więc dodajemy ich liczby.

\[|A|=3+4+5=12\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{1}{3}\).

\[P(A)=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Pozostałe sumy to 2, 3 oraz od 7 do 12. Odpowiada im łącznie 24 pary wyników, a razem z 12 parami sprzyjającymi daje to wszystkie 36 par.

\[(1+2)+(6+5+4+3+2+1)+12=36\]

Zadanie 25

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31\), \(16\), \(25\), \(29\), \(27\), \(x\), jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa

\(26\)

\(27\)

\(28\)

\(29\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby x

Zapisujemy średnią sześciu liczb i przyrównujemy ją do podanej wartości.

\[\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad\frac{128+x}{6}=\frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad128+x=3x\quad\Longrightarrow\quad x=64\]

2 Wyznaczenie mediany

Porządkujemy liczby rosnąco. Przy sześciu liczbach mediana jest średnią trzeciej i czwartej.

\[16,25,27,29,31,64;\qquad \frac{27+29}{2}=28\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 28. Odpowiedź C.

\[\boxed{28}\]

Sprawdzenie

Dla x = 64 średnia wynosi 32, czyli tyle samo co x/2. Liczba 64 jest naturalna, a środkowe liczby w uporządkowanym ciągu to 27 i 29.

\[\frac{128+64}{6}=32=\frac{64}{2},\qquad\frac{27+29}{2}=28\]

Zadanie 30

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek nieparzystego iloczynu

Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. W podanym zbiorze są trzy takie liczby: 1, 3 i 5.

\[P(\text{liczba nieparzysta})=\frac{3}{5}\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Losujemy ze zwracaniem, więc wyniki obu losowań są niezależne. Mnożymy zatem prawdopodobieństwa wylosowania liczby nieparzystej w każdym losowaniu.

\[P(A)=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 9/25.

\[P(A)=\frac{9}{25}\]

Sprawdzenie

Możliwych uporządkowanych par jest 5·5=25, a par złożonych z dwóch liczb nieparzystych jest 3·3=9. Daje to ten sam wynik.

\[\frac{3\cdot 3}{5\cdot 5}=\frac{9}{25}\]

Zadanie 25

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{8}\)

\(\frac{1}{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczymy wyniki sprzyjające

Wypisujemy wszystkie dzielniki liczby 24 należące do zbioru, z którego losujemy.

\[A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\},\quad |A|=8\]

2 Obliczamy prawdopodobieństwo

Każda z 24 liczb ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[P(A)=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Ponieważ 24 ma postać \(2^3\cdot3\), liczba jej dodatnich dzielników wynosi \((3+1)(1+1)=8\). Potwierdza to liczbę wyników sprzyjających.

\[24=2^3\cdot3,\quad (3+1)(1+1)=8\]

Zadanie 33

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich możliwości

Liczby dwucyfrowe to liczby od 10 do 99, więc jest ich 90.

\[99-10+1=90\]

2 Policzenie liczb spełniających warunki

Pierwszą dwucyfrową wielokrotnością 3 jest 12, a ostatnią mniejszą od 40 jest 39. Tworzą ciąg o różnicy 3.

\[\frac{39-12}{3}+1=10\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych wyników i skracamy ułamek.

\[P=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 1/9.

\[\frac{1}{9}\]

Sprawdzenie

Liczby sprzyjające to 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 i 39. Jest ich 10; każda jest mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Ułamek 1/9 jest nieskracalny.

\[\frac{10}{90}=\frac{1}{9}\]

Zadanie 26

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata	1	2	3	4	5	6
przyrost (w cm)	10	10	7	8	8	7

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Dodajemy przyrosty z sześciu lat i dzielimy sumę przez liczbę lat.

\[\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{50}{6}=\frac{25}{3}\,\text{cm}\]

2 Zaokrąglenie

Zaokrąglamy średnią do pełnych centymetrów.

\[\frac{25}{3}\,\text{cm}\approx 8\,\text{cm}\]

3 Obliczenie błędu względnego

Dzielimy wartość błędu bezwzględnego przez dokładną średnią i zapisujemy wynik w procentach.

\[\frac{\left|8-\frac{25}{3}\right|}{\frac{25}{3}}\cdot100\%=\frac{1}{25}\cdot100\%=4\%\]

Odpowiedź

Średni roczny przyrost po zaokrągleniu wynosi 8 cm, a błąd względny tego przybliżenia wynosi 4%.

\[8\,\text{cm};\quad 4\%\]

Sprawdzenie

Przyrosty sumują się do 50 cm. Przybliżenie 8 cm różni się od dokładnej średniej o 1/3 cm, czyli o 4% tej średniej.

\[8+\frac{1}{3}=\frac{25}{3},\qquad \frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}}=\frac{1}{25}=4\%\]

Zadanie 35

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru ośmiu liczb \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(15\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losowania są kolejno i ze zwracaniem, więc każde z ośmiu wskazań może wystąpić w obu losowaniach.

\[|\Omega|=8\cdot 8=64\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Iloczyn jest podzielny przez 15, gdy zawiera czynnik 5 i czynnik 3. Jedyną liczbą z czynnikiem 5 jest 5, a czynnik 3 mają liczby 3, 6 i 9. Liczba 5 może wypaść jako pierwsza albo druga.

\[|A|=2\cdot 3=6\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/32.

\[P(A)=\frac{3}{32}\]

Sprawdzenie

Wyniki sprzyjające to (5,3), (5,6), (5,9), (3,5), (6,5) i (9,5). Ich iloczyny są podzielne przez 15; innych par sprzyjających nie ma.

\[5\cdot 3=15,\quad 5\cdot 6=30,\quad 5\cdot 9=45\]

Zadanie 30

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

W każdym z dwóch rzutów może wypaść jedna z sześciu ścianek, więc wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników jest 36.

\[6\cdot 6=36\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne: w żadnym rzucie nie wypada pięć oczek. W każdym rzucie odpowiada mu pięć wyników.

\[P(A)=1-\frac{5\cdot 5}{36}=\frac{11}{36}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie pięć oczek, wynosi 11/36.

\[P(A)=\frac{11}{36}\]

Sprawdzenie

Gdy pięć oczek wypada w pierwszym rzucie, mamy 6 wyników, a gdy w drugim — także 6. Wynik (5,5) został policzony dwa razy, więc wyników sprzyjających jest 6+6−1=11.

\[\frac{6+6-1}{36}=\frac{11}{36}\]

Zadanie 22

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

\(0\le p<0{,}2\)

\(0{,}2\le p\le 0{,}35\)

\(0{,}35<p\le 0{,}5\)

\(0{,}5<p\le 1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie wyniki

W każdym z trzech rzutów są dwa możliwe wyniki, więc liczba jednakowo prawdopodobnych wyników wynosi osiem.

\[2^3=8\]

2 Policz wyniki sprzyjające

Wybieramy, w których dwóch z trzech rzutów wypadnie orzeł.

\[\binom{3}{2}=3\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników, a otrzymaną wartość porównujemy z przedziałami w odpowiedziach.

\[p=\frac{3}{8}=0{,}375,\qquad 0{,}35<0{,}375\le 0{,}5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: prawdopodobieństwo wynosi 3/8.

\[p=\frac{3}{8}\]

Sprawdzenie

Wyniki sprzyjające to OOR, ORO i ROO. Są trzy spośród ośmiu możliwych wyników, więc otrzymane prawdopodobieństwo i wybór C są poprawne.

\[\frac{3}{8}=0{,}375\in(0{,}35;0{,}5]\]