Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

139 zadańStrona 9 z 10

Sortuj:

Zadanie 16

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe \(6\sqrt{3}\). Bok tego trójkąta ma długość

\(3\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{3}\)

\(2\sqrt{6}\)

\(6\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na pole

Pole trójkąta równobocznego o boku \(a\) wynosi \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), więc przyrównujemy je do podanej wartości.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\]

2 Wyznaczenie boku

Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{3}\), a następnie mnożymy przez 4. Długość boku jest dodatnia, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[\frac{a^2}{4}=6\quad\Longrightarrow\quad a^2=24\quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\]

Odpowiedź

Bok ma długość \(2\sqrt{6}\). Odpowiedź C.

\[a=2\sqrt{6}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego boku pole wynosi \(6\sqrt{3}\), zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{(2\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{24\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\]

Zadanie 29

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ACB|=90^\circ\) i \(|\angle ABC|=60^\circ\). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|AD|:|DB|=3:1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości przyprostokątnych

Kąt A ma 30°, więc w trójkącie prostokątnym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 60° jest √3 razy dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30°.

\[|\angle A|=30^\circ,\qquad |AC|=\sqrt{3}|BC|\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Trójkąty ACD i CBD są podobne do ABC. Z proporcji odpowiadających sobie boków otrzymujemy długości odcinków przeciwprostokątnej.

\[\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|AB|},\qquad \frac{|DB|}{|BC|}=\frac{|BC|}{|AB|},\qquad |AD|=\frac{|AC|^2}{|AB|},\quad |DB|=\frac{|BC|^2}{|AB|}\]

3 Obliczenie stosunku

Dzielimy otrzymane długości; wspólny mianownik się skraca.

\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|^2}{|BC|^2}=\frac{(\sqrt{3}|BC|)^2}{|BC|^2}=3\]

Odpowiedź

Stosunek długości AD do DB wynosi 3:1.

\[|AD|:|DB|=3:1\]

Sprawdzenie

Niech |BC|=t>0. Wtedy |AC|=√3t i z twierdzenia Pitagorasa |AB|=2t. Otrzymujemy |AD|=3t/2 oraz |DB|=t/2; ich suma wynosi 2t=|AB|, zgodnie z położeniem D na przeciwprostokątnej.

\[|AD|+|DB|=\frac{3t}{2}+\frac{t}{2}=2t=|AB|\]

Zadanie 13

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trapez \(ABCD\), w którym przekątna \(AC\) jest prostopadła do ramienia \(BC\), \(|AD|=|DC|\) oraz \(|\angle ABC|=50^\circ\) (zobacz rysunek).

Stąd wynika, że

Trapez ABCD z przekątną AC, oznaczeniem kąta przy C, kątem 50° przy B i kątem β przy D.

\(\beta=100^\circ\)

\(\beta=120^\circ\)

\(\beta=110^\circ\)

\(\beta=130^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy A w trójkącie ABC

Ponieważ przekątna AC jest prostopadła do BC, trójkąt ABC jest prostokątny. Korzystamy z sumy kątów trójkąta.

\[\angle BAC=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ\]

2 Kąty przy podstawie AC

Podstawy trapezu AB i DC są równoległe, więc kąty BAC i ACD są równe. Ponieważ AD=DC, trójkąt ADC jest równoramienny, zatem kąty przy AC są równe.

\[\angle ACD=\angle BAC=40^\circ,\qquad \angle DAC=\angle ACD=40^\circ\]

3 Obliczenie β

Odejmujemy dwa kąty przy podstawie od sumy kątów trójkąta ADC.

\[\beta=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ\]

Odpowiedź

β = 100°, odpowiedź A.

\[\boxed{\beta=100^\circ\quad(\mathrm{A})}\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta ADC mają miary 40°, 40° i 100°, a ich suma wynosi 180°.

\[40^\circ+40^\circ+100^\circ=180^\circ\]

Zadanie 14

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów \(\alpha\) i \(\beta\) są odpowiednio równe

Okrąg o środku O z punktami A, B, C i D oraz zaznaczonymi dwoma kątami 36° i kątami α oraz β.

\(\alpha=36^\circ,\ \beta=72^\circ\)

\(\alpha=54^\circ,\ \beta=72^\circ\)

\(\alpha=36^\circ,\ \beta=108^\circ\)

\(\alpha=72^\circ,\ \beta=72^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta α

Kąt środkowy α i kąt wpisany DAC są oparte na tym samym łuku DC, więc kąt środkowy jest dwa razy większy.

\[\alpha=2\angle DAC=2\cdot36^\circ=72^\circ\]

2 Obliczenie kąta β

W trójkącie ADC wyznaczamy kąt przy D. Jest on przeciwległy do kąta β w czworokącie wpisanym w okrąg, więc ich suma wynosi 180°.

\[\angle ADC=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ,\qquad\beta=180^\circ-108^\circ=72^\circ\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D.

\[\alpha=72^\circ,\qquad\beta=72^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt ACD wyznacza łuk AD o mierze 72°, a kąt DAC łuk DC o mierze 72°. Kąt β opiera się na łuku ADC o mierze 144°, więc rzeczywiście ma 72°.

\[\beta=\frac{72^\circ+72^\circ}{2}=72^\circ\]

Zadanie 25

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(D\) i \(E\) są środkami przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\). Punkty \(F\) i \(G\) leżą na przeciwprostokątnej \(AB\) tak, że odcinki \(DF\) i \(EG\) są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(BGE\) jest równe 1, a pole trójkąta \(AFD\) jest równe 4.

Zatem pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy C. D i E leżą odpowiednio na AC i BC, a F i G na przeciwprostokątnej AB. Odcinki DF i EG są prostopadłe do AB.

\(12\)

\(16\)

\(18\)

\(20\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty BGE i AFD są prostokątne i mają odpowiednio wspólne kąty przy B i A z trójkątem ABC. Ponieważ E i D są środkami przyprostokątnych, stosunki ich przeciwprostokątnych do AB wynoszą odpowiednio BC/(2AB) i AC/(2AB). Pola trójkątów podobnych są proporcjonalne do kwadratów tych stosunków.

\[1=P_{ABC}\frac{BC^2}{4AB^2},\qquad 4=P_{ABC}\frac{AC^2}{4AB^2}\]

2 Wyznaczenie stosunku boków

Dzielimy drugą równość przez pierwszą, aby usunąć nieznane pole i długość przeciwprostokątnej.

\[4=\frac{AC^2}{BC^2},\qquad AC^2=4BC^2\]

3 Obliczenie pola

Z twierdzenia Pitagorasa wynika AB²=AC²+BC²=5BC². Podstawiamy to do wzoru na pole trójkąta BGE.

\[1=P_{ABC}\frac{BC^2}{4\cdot5BC^2}=\frac{P_{ABC}}{20},\qquad P_{ABC}=20\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ABC wynosi 20. Odpowiedź D.

\[P_{ABC}=20\]

Sprawdzenie

Dla AC²=4BC² i AB²=5BC² otrzymujemy pole BGE równe 20·1/20=1 oraz pole AFD równe 20·4/20=4. Obie wartości zgadzają się z danymi.

\[P_{BGE}=20\cdot\frac{1}{20}=1,\qquad P_{AFD}=20\cdot\frac{4}{20}=4\]

Zadanie 29

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) oraz wysokości \(AD\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina ramię \(AD\) w punkcie \(E\) oraz dwusieczną kąta \(BCD\) w punkcie \(F\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że w czworokącie \(CDEF\) sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Trapez prostokątny ABCD z punktami E na ramieniu AD i F na przecięciu dwusiecznych kątów ABC oraz BCD.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty przy ramieniu BC

Podstawy trapezu są równoległe, więc kąty przy ramieniu BC sumują się do 180°. Oznaczamy kąt ABC przez β.

\[\angle ABC=\beta,\qquad \angle BCD=180^\circ-\beta\]

2 Kąty przy D i F

Wysokość AD jest prostopadła do CD, zatem kąt przy D jest prosty. W trójkącie BCF kąty przy B i C są połowami kątów trapezu. Punkty E, F i B leżą na jednej prostej, więc kąty BFC i CFE są przyległe.

\[\angle CDE=90^\circ,\qquad \angle BFC=180^\circ-\frac{\beta}{2}-\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ,\qquad \angle CFE=180^\circ-\angle BFC=90^\circ\]

3 Kąty przy C i E

Dwusieczna przy C wyznacza kąt DCF. W trójkącie ABE obliczamy kąt AEB; kąty AEB i DEF są przyległe.

\[\angle DCF=\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ-\frac{\beta}{2},\qquad \angle AEB=90^\circ-\frac{\beta}{2},\qquad \angle DEF=180^\circ-\angle AEB=90^\circ+\frac{\beta}{2}\]

Odpowiedź

Obie sumy miar przeciwległych kątów czworokąta CDEF są równe 180°.

\[\angle CDE+\angle CFE=\angle DCF+\angle DEF=180^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty przy D i F dają łącznie 180°, a wyrazy z β w sumie kątów przy C i E się znoszą. Otrzymane cztery kąty sumują się do 360°.

\[90^\circ+90^\circ=180^\circ,\qquad \left(90^\circ-\frac{\beta}{2}\right)+\left(90^\circ+\frac{\beta}{2}\right)=180^\circ\]

Zadanie 30.1

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte

Trygonometria

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\), gdzie \(\alpha=\angle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta \(ADE\).

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC, odcinkiem DE oraz kątem α przy wierzchołku A.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości AD i AE

Podane stosunki dzielą boki AB i AC odpowiednio na trzy równe części.

\[|AD|=\frac{|AB|}{3}=5,\qquad |AE|=\frac{2|AC|}{3}=8\]

2 Obliczenie sinusa kąta α

Kąt α jest kątem trójkąta, więc jego sinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35\]

3 Obliczenie pola

Boki AD i AE tworzą kąt α, dlatego stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P_{ADE}=\frac12|AD|\cdot|AE|\sin\alpha=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac35=12\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ADE wynosi 12 jednostek kwadratowych.

\[P_{ADE}=12\]

Sprawdzenie

Pole ABC wynosi 54, a boki AD i AE stanowią odpowiednio jedną trzecią i dwie trzecie boków AB i AC. Pole ADE stanowi więc dwie dziewiąte pola ABC, czyli 12.

\[P_{ABC}=\frac12\cdot15\cdot12\cdot\frac35=54,\qquad \frac13\cdot\frac23\cdot54=12\]

Zadanie 30.2

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte

Planimetria

Oblicz pole czworokąta \(BCED\).

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC oraz odcinkiem DE; kąt BAC oznaczono jako α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinków AD i AE

Korzystamy z podanych proporcji oraz długości boków trójkąta.

\[|AB|=|AD|+|BD|=3|AD|\Rightarrow |AD|=5,\qquad |AC|=|AE|+|CE|=\frac32|AE|\Rightarrow |AE|=8\]

2 Obliczenie sinusa kąta α

Kąt α jest kątem trójkąta, więc jego sinus jest dodatni. Stosujemy tożsamość trygonometryczną.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35\]

3 Obliczenie pola czworokąta

Odejmujemy pole trójkąta ADE od pola trójkąta ABC. Oba pola obliczamy ze wzoru na pole z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P_{BCED}=\frac12\cdot15\cdot12\cdot\frac35-\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac35=54-12=42\]

Odpowiedź

Pole czworokąta BCED wynosi 42.

\[P_{BCED}=42\]

Sprawdzenie

Trójkąty ADE i ABC mają wspólny kąt α, a stosunki boków przy tym kącie wynoszą 1/3 i 2/3. Zatem pole ADE stanowi 2/9 pola ABC, czyli 12; po odjęciu od 54 otrzymujemy 42.

\[\frac{P_{ADE}}{P_{ABC}}=\frac5{15}\cdot\frac8{12}=\frac29,\qquad 54\left(1-\frac29\right)=42\]

Zadanie 18

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Przekątne równoległoboku mają długości 4 i 8, a kąt między tymi przekątnymi ma miarę \(30^\circ\). Pole tego równoległoboku jest równe

\(32\)

\(16\)

\(12\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podział równoległoboku

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy i wyznaczają cztery trójkąty o równych polach. Połówki przekątnych mają długości 2 i 4.

\[\frac{4}{2}=2,\qquad \frac{8}{2}=4\]

2 Obliczenie pola

Pole jednego trójkąta obliczamy ze wzoru na pole przy dwóch bokach i kącie między nimi. Następnie mnożymy je przez 4.

\[P=4\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\cdot\sin30^\circ=4\cdot4\cdot\frac{1}{2}=8\]

Odpowiedź

Pole wynosi 8. Odpowiedź D.

\[P=8\]

Sprawdzenie

Ze wzoru na pole równoległoboku przez przekątne otrzymujemy ten sam wynik.

\[P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot8\cdot\sin30^\circ=8\]

Zadanie 19

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Cięciwa \(CD\) przecina średnicę \(AB\) tego okręgu w punkcie \(E\) tak, że \(|\angle BEC|=100^\circ\). Kąt środkowy \(ASC\) ma miarę \(110^\circ\) (zobacz rysunek).

Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę

Okrąg o środku S z punktami A, B, C, D oraz przecięciem cięciwy CD i średnicy AB w punkcie E; zaznaczone kąty 100°, 110° i szukany kąt przy A.

\(15^\circ\)

\(20^\circ\)

\(25^\circ\)

\(30^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie łuku BC

Ponieważ AB jest średnicą, promienie SA i SB są przeciwne. Kąt BSC ma więc miarę 180°−110° i wyznacza łuk BC.

\[m(\widehat{BC})=\angle BSC=180^\circ-110^\circ=70^\circ\]

2 Wyznaczenie łuku AD

Kąt utworzony przez dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu jest równy połowie sumy łuków, na których opiera się ten kąt i kąt do niego wierzchołkowy.

\[100^\circ=\frac{m(\widehat{BC})+m(\widehat{AD})}{2}=\frac{70^\circ+m(\widehat{AD})}{2},\quad m(\widehat{AD})=130^\circ\]

3 Obliczenie kąta BAD

Łuki AD i DB tworzą półokrąg, więc łuk DB ma 50°. Kąt wpisany BAD opiera się na tym łuku i ma połowę jego miary.

\[m(\widehat{DB})=180^\circ-130^\circ=50^\circ,\quad \angle BAD=\frac{50^\circ}{2}=25^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BAD ma miarę 25°, odpowiedź C.

\[\angle BAD=25^\circ\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych łuków wzór na kąt BEC daje 100°, zgodnie z daną w zadaniu.

\[\frac{70^\circ+130^\circ}{2}=100^\circ\]

Zadanie 30

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne \(AC\) oraz \(BD\) przecinają się w punkcie \(S\). Wykaż, że jeżeli \(|AS|=\frac{5}{6}|AC|\), to pole trójkąta \(ABS\) jest 25 razy większe od pola trójkąta \(DCS\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie stosunku odcinków przekątnej

Ponieważ punkt S leży na przekątnej AC, odejmujemy AS od AC, aby obliczyć SC.

\[|SC|=|AC|-|AS|=|AC|-\frac{5}{6}|AC|=\frac{1}{6}|AC|,\qquad \frac{|AS|}{|SC|}=5.\]

2 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty ABS i CDS są podobne: kąty przy S są wierzchołkowe, a pozostałe odpowiednie kąty są równe, ponieważ AB jest równoległe do CD. Stosunek ich odpowiadających boków wynosi 5.

\[\triangle ABS\sim\triangle CDS,\qquad \frac{|AS|}{|CS|}=5.\]

3 Porównanie pól

Pola figur podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali podobieństwa.

\[\frac{P_{ABS}}{P_{DCS}}=5^2=25.\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ABS jest 25 razy większe od pola trójkąta DCS.

\[P_{ABS}=25P_{DCS}\]

Sprawdzenie

Stosunek podstaw AB i CD wynosi 5. Odległości punktu S od tych równoległych podstaw także są w stosunku 5, więc ze wzoru na pole trójkąta ponownie otrzymujemy stosunek pól 25.

\[\frac{P_{ABS}}{P_{DCS}}=\frac{\frac12|AB|h_{AB}}{\frac12|CD|h_{CD}}=5\cdot5=25.\]

Zadanie 32

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego \(ABC\): \(A=(-3,-3)\) i \(C=(2,7)\) oraz prosta o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\), zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) tego trójkąta.

Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta i długość odcinka \(AB\).

Układ współrzędnych z prostą zawierającą przeciwprostokątną AB oraz zaznaczonymi punktami A=(-3,-3) i C=(2,7).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie prostej BC

Ponieważ AB jest przeciwprostokątną, kąt przy C jest prosty. Prosta AC ma współczynnik kierunkowy 2, więc prostopadła do niej prosta BC ma współczynnik \(-\frac{1}{2}\).

\[a_{AC}=\frac{7-(-3)}{2-(-3)}=2,\qquad y-7=-\frac{1}{2}(x-2),\qquad y=8-\frac{x}{2}\]

2 Obliczenie współrzędnych B

Punkt B leży zarówno na prostej BC, jak i na prostej zawierającej AB. Przyrównujemy ich równania.

\[8-\frac{x}{2}=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{4}x=\frac{35}{4}\quad\Longrightarrow\quad x=7,\qquad y=8-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}\]

3 Obliczenie długości AB

Stosujemy wzór na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\[|AB|=\sqrt{(7-(-3))^2+\left(\frac{9}{2}-(-3)\right)^2}=\sqrt{100+\frac{225}{4}}=\frac{25}{2}\]

Odpowiedź

Wierzchołek B ma współrzędne (7, 9/2), a długość odcinka AB wynosi 25/2.

\[B=\left(7,\frac{9}{2}\right),\qquad |AB|=\frac{25}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt B spełnia równanie prostej AB. Iloczyn skalarny wektorów CA i CB wynosi zero, więc kąt przy C jest prosty.

\[\frac{3}{4}\cdot7-\frac{3}{4}=\frac{9}{2},\qquad \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-5)(5)+(-10)\left(-\frac{5}{2}\right)=0\]

Zadanie 15

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku \(3:4:5\). Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę

\(45^\circ\)

\(90^\circ\)

\(75^\circ\)

\(60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz miary kątów

Stosunek 3:4:5 oznacza, że kąty mają miary 3x, 4x i 5x dla pewnego x>0.

\[3x,\quad 4x,\quad 5x\]

2 Oblicz x

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°.

\[3x+4x+5x=180^\circ\;\Rightarrow\;12x=180^\circ\;\Rightarrow\;x=15^\circ\]

3 Wyznacz najmniejszy kąt

Najmniejszemu kątowi odpowiadają trzy części stosunku.

\[3x=3\cdot15^\circ=45^\circ\]

Odpowiedź

A. Najmniejszy kąt ma miarę 45°.

\[45^\circ\]

Sprawdzenie

Pozostałe kąty mają miary 60° i 75°. Ich suma z 45° wynosi 180°, a stosunek wynosi 3:4:5.

\[45^\circ+60^\circ+75^\circ=180^\circ,\qquad 45:60:75=3:4:5\]

Zadanie 16

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\), na boku \(AB\) wybrano punkt \(D\) taki, że \(|BD|=|CD|\) oraz \(|\angle ACD|=21^\circ\) (zobacz rysunek).

Wynika stąd, że kąt \(BCD\) ma miarę

Trójkąt ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD i oznaczonym kątem ACD równym 21°.

\(57^\circ\)

\(53^\circ\)

\(51^\circ\)

\(55^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie kąta

Równość boków BD i CD oznacza, że kąty przy podstawie BC trójkąta BCD są równe.

\[x=\angle BCD=\angle DBC\]

2 Kąty przy podstawie ABC

Ponieważ D leży na AB, kąt DBC jest kątem ABC. Z równości AC i BC wynika równość kątów przy podstawie AB.

\[\angle ABC=\angle BAC=x\]

3 Suma kątów

Kąty ADC i CDB są przyległe. Obliczamy je z sumy kątów trójkąta ACD, a następnie stosujemy sumę kątów trójkąta BCD.

\[\angle ADC=180^\circ-x-21^\circ=159^\circ-x,\quad \angle CDB=21^\circ+x;\quad x+x+(21^\circ+x)=180^\circ,\quad x=53^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BCD ma miarę 53°, odpowiedź B.

\[\angle BCD=53^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie BCD kąty mają miary 53°, 53° i 74°, więc ich suma wynosi 180°. W trójkącie ABC kąty przy podstawie mają po 53°, a kąt przy C wynosi 21° + 53° = 74°; ich suma także wynosi 180°.

\[53^\circ+53^\circ+74^\circ=180^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7 cm, a drugi ma 2 cm. Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość

12 cm

9 cm

6 cm

3 cm

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie możliwych długości

W trójkącie trzeci bok musi być dłuższy od różnicy pozostałych boków i krótszy od ich sumy.

\[|7-2|<x<7+2\quad\Longrightarrow\quad 5<x<9\]

2 Wybór odpowiedzi

Spośród podanych długości tylko 6 cm jest liczbą całkowitą spełniającą ten warunek.

\[x=6\,\text{cm}\]

Odpowiedź

Trzeci bok może mieć długość 6 cm. Odpowiedź C.

\[x=6\,\text{cm}\quad(\text{C})\]

Sprawdzenie

Boki 7 cm, 2 cm i 6 cm spełniają nierówności trójkąta: suma każdych dwóch jest większa od trzeciego.

\[7+2>6,\quad 7+6>2,\quad 2+6>7\]