Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

139 zadańStrona 8 z 10

Sortuj:

Zadanie 29

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Na boku \(CD\) tego prostokąta wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=2|DE|\), a na boku \(AB\) wybrano taki punkt \(F\), że \(|BF|=|DE|\). Niech \(P\) oznacza punkt przecięcia prostej \(EF\) z prostą \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające.

Prostokąt ABCD z punktami E na boku CD i F na boku AB oraz punktem P na przedłużeniu BC; odcinki AE i EP.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie odcinków

Z warunków zadania wyrażamy EC i BF przez długość DE.

\[EC=2DE,\qquad BF=DE,\qquad \frac{EC}{BF}=2\]

2 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty ECP i FBP mają kąty proste przy C i B oraz jednakowe kąty przy P, więc są podobne.

\[\frac{CP}{BP}=\frac{EC}{BF}=2\]

3 Wyznaczenie BP

P leży na przedłużeniu BC, zatem CP=CB+BP. W prostokącie BC=AD.

\[CB+BP=2BP\quad\Longrightarrow\quad BP=CB=AD\]

4 Dowód przystawania

Trójkąty AED i PFB mają równe odpowiednie boki przy kątach prostych. Z cechy bok–kąt–bok są przystające; odpowiadają sobie wierzchołki A i P, E i F oraz D i B.

\[AD=PB,\qquad DE=BF,\qquad \angle ADE=\angle PBF=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad\triangle AED\cong\triangle PFB\]

Odpowiedź

Trójkąty AED i FPB są przystające. Przy zapisie uwzględniającym kolejność odpowiadających sobie wierzchołków: AED ≅ PFB.

\[\triangle AED\cong\triangle PFB\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia Pitagorasa wynika też równość odpowiadających sobie przeciwprostokątnych AE i PF, zgodna z ustalonym przyporządkowaniem.

\[AE^2=AD^2+DE^2=PB^2+BF^2=PF^2\quad\Longrightarrow\quad AE=PF\]

Zadanie 17

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha+\beta=114^\circ\). Wynika stąd, że

Okrąg o środku S z punktami K, L i M na okręgu oraz zaznaczonymi kątami α i β.

\(\beta=19^\circ\)

\(\beta=38^\circ\)

\(\beta=57^\circ\)

\(\beta=76^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku KL, więc kąt środkowy ma miarę dwa razy większą.

\[\alpha=2\beta\]

2 Obliczenie kąta

Podstawiamy tę zależność do podanej sumy i rozwiązujemy równanie.

\[2\beta+\beta=114^\circ\quad\Rightarrow\quad 3\beta=114^\circ\quad\Rightarrow\quad\beta=38^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: β = 38°.

\[\boxed{\beta=38^\circ}\]

Sprawdzenie

Wtedy α = 76°, a suma kątów wynosi 114°, zgodnie z warunkiem.

\[\alpha=2\cdot38^\circ=76^\circ,\qquad 76^\circ+38^\circ=114^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa \(80^\circ\). Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę

\(120^\circ\)

\(125^\circ\)

\(130^\circ\)

\(135^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równań

Sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do 180°, a ich różnica wynosi 80°. Oznaczamy kąt rozwarty przez x, a ostry przez y.

\[\begin{cases}x+y=180^\circ\\x-y=80^\circ\end{cases}\]

2 Obliczenie kąta rozwartego

Dodajemy równania, aby wyeliminować y.

\[2x=260^\circ,\qquad x=130^\circ\]

Odpowiedź

Kąt rozwarty ma miarę 130°. Odpowiedź C.

\[130^\circ\]

Sprawdzenie

Drugi kąt ma miarę 50°. Ich suma wynosi 180°, a różnica 80°.

\[130^\circ+50^\circ=180^\circ,\qquad 130^\circ-50^\circ=80^\circ\]

Zadanie 28

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W równoległoboku \(ABCD\) punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\). Z wierzchołka \(D\) poprowadzono prostą przecinającą bok \(BC\) w punkcie \(E\). Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).

Równoległobok ABCD; punkt E na boku BC, prosta DE przedłużona do punktu F na przedłużeniu boku AB.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie trójkątów

Ponieważ \(DC\parallel AB\), a \(B,F\) leżą na prostej \(AB\), odpowiednie kąty trójkątów \(DCE\) i \(FBE\) są równe. Kąty przy \(E\) są wierzchołkowe, więc trójkąty są podobne.

\[\angle DCE=\angle FBE,\quad \angle DEC=\angle FEB\quad\Longrightarrow\quad \triangle DCE\sim\triangle FBE\]

2 Równość odcinków

Punkt \(E\) jest środkiem \(BC\), zatem \(CE=BE\). Z podobieństwa wynika, że odpowiadające im boki \(DC\) i \(BF\) też są równe.

\[\frac{DC}{BF}=\frac{CE}{BE}=1\quad\Longrightarrow\quad DC=BF\]

3 Wniosek

Przeciwległe boki równoległoboku są równe, więc \(AB=DC=BF\). Z rysunku wynika, że \(B\) leży między \(A\) i \(F\); jest zatem środkiem \(AF\).

\[AB=DC=BF\]

Odpowiedź

Punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).

\[AB=BF\]

Sprawdzenie

Podobieństwo daje \(BF=DC\), a własność równoległoboku daje \(DC=AB\). Odcinki \(AB\) i \(BF\) są więc równe i tworzą cały odcinek \(AF\).

\[AF=AB+BF=2AB=2BF\]

Zadanie 34

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Planimetria

W trójkącie prostokątnym \(ACB\) przyprostokątna \(AC\) ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta \(ACB\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie boków

Niech druga przyprostokątna ma długość \(x\), a przeciwprostokątna \(c\). Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy zależność między bokami.

\[c^2=5^2+x^2=25+x^2\]

2 Obliczenie drugiej przyprostokątnej

W trójkącie prostokątnym promień okręgu wpisanego jest równy połowie różnicy sumy przyprostokątnych i przeciwprostokątnej. Podstawiamy \(r=2\), a następnie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[2=\frac{5+x-c}{2}\quad\Rightarrow\quad c=x+1\quad\Rightarrow\quad (x+1)^2=25+x^2\quad\Rightarrow\quad 2x=24\quad\Rightarrow\quad x=12\]

3 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu długości przyprostokątnych.

\[P=\frac{5\cdot12}{2}=30\]

Odpowiedź

Pole trójkąta wynosi 30.

\[P=30\]

Sprawdzenie

Dla przyprostokątnych 5 i 12 przeciwprostokątna ma długość 13, a promień okręgu wpisanego wynosi 2. Wszystkie długości są dodatnie.

\[5^2+12^2=13^2,\qquad r=\frac{5+12-13}{2}=2\]

Zadanie 16

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt wpisany \(ABC\) o mierze \(20^\circ\) (patrz rysunek).

Miara kąta \(CAO\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C na okręgu oraz odcinkami AB, BC, AO i CO.

\(85^\circ\)

\(70^\circ\)

\(80^\circ\)

\(75^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy COA i kąt wpisany CBA są oparte na tym samym łuku CA, więc kąt środkowy ma dwa razy większą miarę.

\[\angle COA=2\angle CBA=2\cdot20^\circ=40^\circ\]

2 Obliczenie kąta CAO

Odcinki OA i OC są promieniami, więc trójkąt AOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie są równe.

\[\angle CAO=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\]

Odpowiedź

Kąt CAO ma miarę 70°. Odpowiedź B.

\[\angle CAO=70^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta AOC sumują się do 180°, a kąt środkowy 40° jest dwa razy większy od danego kąta wpisanego 20°.

\[70^\circ+70^\circ+40^\circ=180^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Odcinek \(BD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego \(ABC\) trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne \(AC\) i \(BC\) mają długości odpowiednio \(5\) i \(3\).

Wówczas miara \(\varphi\) kąta \(DBC\) spełnia warunek

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy C, odcinkiem BD, punktem D na AC, oznaczeniami długości 3 i 5 oraz kątem φ przy B.

\(20^\circ<\varphi<25^\circ\)

\(25^\circ<\varphi<30^\circ\)

\(30^\circ<\varphi<35^\circ\)

\(35^\circ<\varphi<40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta ABC

W trójkącie prostokątnym tangens kąta przy B jest ilorazem długości przeciwległej i przyległej przyprostokątnej.

\[\tan\angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{3},\qquad \angle ABC=\arctan\frac{5}{3}\approx59{,}04^\circ\]

2 Obliczenie kąta φ

Odcinek BD leży na dwusiecznej kąta ABC, więc dzieli ten kąt na połowy.

\[\varphi=\frac{1}{2}\angle ABC\approx\frac{59{,}04^\circ}{2}=29{,}52^\circ\]

Odpowiedź

Zachodzi 25° < φ < 30°, zatem poprawna odpowiedź to B.

\[25^\circ<\varphi<30^\circ\quad\text{— B}\]

Sprawdzenie

Podwojenie otrzymanej miary daje około 59,04°, czyli obliczony kąt ABC. Ponadto 29,52° należy do przedziału (25°, 30°).

\[2\cdot29{,}52^\circ=59{,}04^\circ,\qquad 25^\circ<29{,}52^\circ<30^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Trójkąt \(ABC\) jest podobny do trójkąta \(A'B'C'\) w skali \(\frac{5}{2}\), przy czym \(|AB|=\frac{5}{2}|A'B'|\). Stosunek pola trójkąta \(ABC\) do pola trójkąta \(A'B'C'\) jest równy

\(\frac{4}{25}\)

\(\frac{2}{5}\)

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{25}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie skali podobieństwa

Pola figur podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali, ponieważ w tej samej skali zmieniają się podstawa i wysokość trójkąta.

\[\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}}=\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\]

Odpowiedź

Stosunek pól wynosi 25:4. Odpowiedź D.

\[\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}}=\frac{25}{4}\]

Sprawdzenie

Bok AB jest 5/2 razy dłuższy od odpowiadającego mu boku A′B′, a odpowiadająca mu wysokość także jest 5/2 razy większa. Ich iloczyn daje stosunek pól 25/4.

\[\frac{\frac12\cdot\frac52 a\cdot\frac52 h}{\frac12 ah}=\frac{25}{4}\]

Zadanie 21

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe \(\frac{1}{3}\pi^3\). Długość boku tego trójkąta jest równa

\(\frac{\pi}{3}\)

\(\pi\)

\(\sqrt{3}\pi\)

\(3\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia

Korzystamy ze wzoru na pole koła i z tego, że promień jest dodatni.

\[\pi R^2=\frac{1}{3}\pi^3\quad\Rightarrow\quad R^2=\frac{\pi^2}{3}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\]

2 Wyznaczenie boku

W trójkącie równobocznym promień koła opisanego spełnia zależność \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\).

\[a=R\sqrt{3}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}=\pi\]

Odpowiedź

Długość boku wynosi \(\pi\). Odpowiedź B.

\[a=\pi\]

Sprawdzenie

Dla boku \(a=\pi\) promień wynosi \(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\), a pole koła jest zgodne z treścią zadania.

\[\pi\left(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{1}{3}\pi^3\]

Zadanie 22

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Pole trójkąta prostokątnego \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równe

Trójkąt prostokątny ABC z kątem 30° przy A i bokiem AC o długości 4.

Uwaga redakcyjna: W oryginalnym arkuszu warianty B i C są równoważne. Zachowano oryginalne odpowiedzi; w tym zbiorze wskaż wszystkie poprawne warianty.

\(\frac{32\sqrt{3}}{6}\)

\(\frac{16\sqrt{3}}{6}\)

\(\frac{8\sqrt{3}}{3}\)

\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiej przyprostokątnej

Kąt przy C jest prosty, więc AC i BC są przyprostokątnymi. Dla kąta 30° przy A stosujemy tangens.

\[\tan 30^\circ=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{4},\qquad BC=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

2 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu długości przyprostokątnych.

\[P=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{4\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\). Poprawne są odpowiedzi B i C.

\[P=\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{6}\]

Sprawdzenie

Obliczona długość BC daje wymagany tangens kąta przy A, a wartości w odpowiedziach B i C są równe.

\[\frac{BC}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ,\qquad \frac{16\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Zadanie 28

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dwusieczna kąta ostrego \(ABC\) przecina przyprostokątną \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) w punkcie \(D\).

Udowodnij, że jeżeli \(|AD|=|BD|\), to \(|CD|=\frac{1}{2}\cdot|BD|\).

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy C. Punkt D leży na odcinku AC, a odcinek BD łączy B z D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy A

W trójkącie ABD boki AD i BD są równe, więc kąty leżące naprzeciw nich też są równe. Ponieważ BD jest dwusieczną kąta ABC, kąt przy A ma połowę miary kąta ABC.

\[\angle BAC=\angle BAD=\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC\]

2 Wyznaczenie kąta przy B

Kąty ostre trójkąta prostokątnego ABC sumują się do 90°, zatem kąt ABC ma 60°, a jego połowa ma 30°.

\[\frac{1}{2}\angle ABC+\angle ABC=90^\circ\quad\Rightarrow\quad\angle ABC=60^\circ,\qquad\angle DBC=30^\circ\]

3 Zastosowanie własności trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym BCD bok CD leży naprzeciw kąta 30°, więc ma połowę długości przeciwprostokątnej BD.

\[|CD|=\frac{1}{2}|BD|\]

Odpowiedź

Teza została udowodniona.

\[|CD|=\frac{1}{2}|BD|\]

Sprawdzenie

W trójkącie BCD pozostały kąt ostry ma 60°, więc stosunek boków CD do przeciwprostokątnej BD równy 1:2 jest zgodny z własnością trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°.

\[\angle BDC=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\]

Zadanie 32

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Planimetria

Ramię trapezu równoramiennego \(ABCD\) ma długość \(\sqrt{26}\). Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku \(2:3\). Oblicz pole tego trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie stosunku podstaw

Trójkąty utworzone przez podstawy i punkt przecięcia przekątnych są podobne, więc stosunek długości podstaw jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków przekątnych. Oznaczamy krótszą podstawę przez 2x, a dłuższą przez 3x, bez przypisywania ich do AB lub CD.

\[a:b=2:3,\qquad a=2x,\quad b=3x,\quad x>0\]

2 Wyznaczenie wysokości

W trapezie równoramiennym przekątne mają jednakowe przesunięcia poziome równe połowie sumy podstaw. Są symetryczne, więc ich prostopadłość oznacza, że wysokość jest równa temu przesunięciu.

\[h=\frac{a+b}{2}=\frac{5x}{2}\]

3 Obliczenie skali

Poziome przesunięcie końców ramienia to połowa różnicy podstaw. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta złożonego z ramienia, wysokości i tego przesunięcia.

\[26=h^2+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2=\left(\frac{5x}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{13x^2}{2},\qquad x^2=4,\quad x=2\]

4 Obliczenie pola

Podstawy mają długości 4 i 6, a wysokość 5. Podstawiamy je do wzoru na pole trapezu.

\[P=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{4+6}{2}\cdot5=25\]

Odpowiedź

Pole trapezu wynosi 25 jednostek kwadratowych.

\[P=25\]

Sprawdzenie

Dla podstaw 4 i 6 wysokość wynosi 5. Poziome przesunięcie końców ramienia wynosi 1, zatem jego długość to √26. Przekątne mają przesunięcia poziome równe 5 i pionowe równe 5, więc są prostopadłe. Z podobieństwa trójkątów odcinki każdej przekątnej są w stosunku 4:6 = 2:3.

\[\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26},\qquad 5\cdot5-5\cdot5=0,\qquad 4:6=2:3\]

Zadanie 4

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

o mniej niż 50%, ale więcej niż 40%.

o mniej niż 60%, ale więcej niż 50%.

dokładnie o 60%.

o więcej niż 60%.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie promieni

Oznaczamy promień drugiego koła przez r. Promień pierwszego jest od niego większy o 30%.

\[r_1=r+0{,}30r=1{,}30r\]

2 Porównanie pól

Pole koła jest proporcjonalne do kwadratu promienia, więc obliczamy stosunek pól.

\[\frac{P_1}{P_2}=\frac{\pi(1{,}30r)^2}{\pi r^2}=1{,}69\]

3 Obliczenie wzrostu

Od stosunku pól odejmujemy 1, aby otrzymać wzrost względem pola drugiego koła.

\[(1{,}69-1)\cdot100\%=69\%\]

Odpowiedź

Pole pierwszego koła jest większe o 69%, czyli o więcej niż 60%. Odpowiedź D.

\[69\%>60\%\]

Sprawdzenie

Przy promieniu drugiego koła równym 10 promień pierwszego wynosi 13. Pola wynoszą odpowiednio 100π i 169π, a różnica 69π stanowi 69% mniejszego pola.

\[\frac{169\pi-100\pi}{100\pi}=0{,}69=69\%\]

Zadanie 14

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leżą punkty \(A\), \(B\) i \(C\) (zobacz rysunek). Kąt \(ABC\) ma miarę \(121^\circ\), a kąt \(BOC\) ma miarę \(40^\circ\).

Kąt \(AOB\) ma miarę

Okrąg o środku O z punktami A, B, C oraz zaznaczonymi kątami.

\(59^\circ\)

\(50^\circ\)

\(81^\circ\)

\(78^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie łuku AC

Kąt wpisany ABC ma 121°, więc łuk AC, na którym nie leży B, ma dwa razy większą miarę. Drugi łuk AC przechodzi przez B.

\[2\cdot121^\circ=242^\circ,\qquad 360^\circ-242^\circ=118^\circ\]

2 Obliczenie kąta AOB

Miara łuku AC przechodzącego przez B jest sumą kątów środkowych AOB i BOC.

\[\angle AOB+40^\circ=118^\circ,\qquad \angle AOB=78^\circ\]

Odpowiedź

Kąt AOB ma miarę 78°, czyli odpowiedź D.

\[\boxed{78^\circ\;\text{— D}}\]

Sprawdzenie

Kąty środkowe AOB i BOC dają razem 118°. Łuk AC nieprzechodzący przez B ma więc 242°, a oparty na nim kąt wpisany ma 121°, zgodnie z treścią.

\[\frac{360^\circ-(78^\circ+40^\circ)}{2}=121^\circ\]

Zadanie 15

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AB\), a ponadto \(|AE|=|DE|=4\), \(|AB|=6\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(CE\) ma długość

Trójkąt ABC z punktami E na boku AC i D na boku BC; odcinek ED jest równoległy do AB. Przy odcinkach AE i ED oznaczono 4, a przy AB oznaczono 6.

\(\frac{16}{3}\)

\(\frac{8}{3}\)

\(8\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ \(DE\parallel AB\), trójkąty \(CDE\) i \(CAB\) są podobne. Stosunek odpowiadających sobie boków wynosi \(4:6\).

\[\frac{CE}{CA}=\frac{DE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]

2 Obliczenie długości CE

Punkt \(E\) leży na boku \(AC\), więc \(CA=CE+AE=CE+4\). Podstawiamy to do proporcji.

\[\frac{CE}{CE+4}=\frac{2}{3}\quad\Longrightarrow\quad 3CE=2CE+8\quad\Longrightarrow\quad CE=8\]

Odpowiedź

Odcinek CE ma długość 8. Poprawna odpowiedź: C.

\[|CE|=8\]

Sprawdzenie

Dla CE = 8 mamy CA = 12, a stosunki odpowiadających sobie boków są równe: 8/12 = 4/6.

\[\frac{CE}{CA}=\frac{8}{8+4}=\frac{2}{3}=\frac{DE}{AB}\]