Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

139 zadańStrona 7 z 10

Sortuj:

Zadanie 29

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Bok \(AB\) jest średnicą, a punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\). Punkt \(D\) leży na tym okręgu, a odcinek \(SD\) zawarty jest w symetralnej boku \(BC\) trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że odcinek \(AD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta \(CAB\).

Okrąg z średnicą AB, trójkątem ABC oraz punktami S i D; zaznaczono odcinki AD i SD.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odległości od B i C

Punkt D leży na symetralnej odcinka BC, więc jest jednakowo odległy od jego końców.

\[DB=DC\]

2 Równe kąty wpisane

Równe cięciwy DB i DC wyznaczają równe łuki. Kąty wpisane oparte na tych łukach mają zatem równe miary.

\[\angle BAD=\angle DAC\]

Odpowiedź

Odcinek AD leży na dwusiecznej kąta CAB.

\[\angle CAD=\angle DAB\]

Sprawdzenie

Na rysunku D leży na łuku BC niezawierającym A, więc AD przebiega wewnątrz kąta CAB. Równe kąty rzeczywiście dzielą go na połowy.

\[\angle CAB=\angle CAD+\angle DAB=2\angle DAB\]

Zadanie 15

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a wysokość \(CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \(ADC\) i \(CDB\), że pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od pola trójkąta \(CDB\) (zobacz rysunek).

Przyprostokątna \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) jest równa

Trójkąt prostokątny ABC z wysokością CD poprowadzoną z wierzchołka C na przeciwprostokątną AB. Przy boku AC oznaczono długość 6.

\(1{,}5\)

\(2\)

\(2{,}5\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie pól

Trójkąty ADC i CDB mają podstawy AD i DB leżące na tej samej prostej oraz wspólną wysokość CD. Stosunek ich pól jest więc równy stosunkowi podstaw.

\[\frac{P_{ADC}}{P_{CDB}}=\frac{AD}{DB}=4\]

2 Obliczenie przyprostokątnej

Z twierdzenia o przyprostokątnej wynika, że kwadraty AC i BC są proporcjonalne do ich rzutów na przeciwprostokątną, czyli odpowiednio AD i DB.

\[\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AD}{DB}=4,\qquad \frac{6^2}{BC^2}=4,\qquad BC^2=9,\qquad BC=3\]

Odpowiedź

Przyprostokątna BC ma długość 3. Odpowiedź D.

\[BC=3\]

Sprawdzenie

Dla AC = 6 i BC = 3 stosunek kwadratów przyprostokątnych wynosi 36 : 9 = 4 : 1, zatem AD : DB = 4 : 1. Trójkąty o wspólnej wysokości CD mają taki sam stosunek pól, zgodny z treścią zadania.

\[AC^2:BC^2=36:9=4:1=AD:DB=P_{ADC}:P_{CDB}\]

Zadanie 29

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dwa okręgi o promieniach \(r=2\) i \(R=6\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej \(k\). Wykaż, że prosta \(l\) przechodząca przez środki \(S\) i \(P\) tych okręgów przecina prostą \(k\) pod kątem \(\alpha=30^\circ\) (zobacz rysunek).

Dwa okręgi styczne zewnętrznie i styczne do prostej k; prosta l przechodzi przez ich środki S i P, a między prostymi zaznaczono kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środków

Okręgi są styczne zewnętrznie, więc odległość ich środków jest sumą promieni.

\[SP=r+R=2+6=8\]

2 Różnica odległości od prostej

Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do prostej k. Środki leżą po tej samej jej stronie, więc ich odległości od k różnią się o 4.

\[R-r=6-2=4\]

3 Obliczenie kąta

Po poprowadzeniu przez S prostej równoległej do k otrzymujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej SP=8 i przyprostokątnej naprzeciw kąta α równej 4.

\[\sin\alpha=\frac{R-r}{SP}=\frac{4}{8}=\frac12\]

4 Wybór wartości kąta

Na rysunku α jest kątem ostrym. Jedyny kąt ostry, którego sinus wynosi jedna druga, ma 30°.

\[\alpha=30^\circ\]

Odpowiedź

Prosta l przecina prostą k pod kątem 30°.

\[\boxed{\alpha=30^\circ}\]

Sprawdzenie

Dla kąta 30° składowa odcinka SP prostopadła do k wynosi 4, czyli dokładnie tyle, ile wynosi różnica promieni.

\[SP\sin30^\circ=8\cdot\frac12=4=R-r\]

Zadanie 32

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym podstawa \(AB\) ma długość 12, a każde z ramion \(AC\) i \(BC\) ma długość równą 10. Punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(BC\) (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta \(\alpha\), jaki środkowa \(AD\) tworzy z ramieniem \(AC\) trójkąta \(ABC\).

Trójkąt ABC z podstawą AB oznaczoną 12 i ramionami oznaczonymi 10. Punkt D leży na ramieniu BC. Odcinek AD tworzy z AC kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z C dzieli podstawę na odcinki długości 6. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jej długość.

\[h=\sqrt{10^2-6^2}=8\]

2 Obliczenie długości środkowej

Przyjmujemy A=(0,0), B=(12,0) i C=(6,8). Ponieważ D jest środkiem BC, ma współrzędne (9,4).

\[D=\left(\frac{12+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(9,4),\qquad AD=\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}\]

3 Obliczenie sinusa kąta

Odcinki BD i CD są równe, więc trójkąt ACD ma połowę pola ABC. Korzystamy też ze wzoru na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P_{ACD}=\frac12\cdot\frac{12\cdot8}{2}=24,\qquad 24=\frac12\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot\sin\alpha,\qquad \sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\]

Odpowiedź

Sinus kąta α wynosi \(\frac{24}{5\sqrt{97}}\).

\[\sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\]

Sprawdzenie

Podstawienie wyniku do wzoru na pole daje 24, czyli połowę pola trójkąta ABC. Ponadto otrzymany sinus jest mniejszy od 1.

\[\frac12\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot\frac{24}{5\sqrt{97}}=24,\qquad \frac{24^2}{25\cdot97}=\frac{576}{2425}<1\]

Zadanie 14

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\). Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych \(BC\) i \(SD\), a odcinki \(AB\) i \(SC\) są równej długości. Miara kąta \(BCS\) jest równa \(34^\circ\) (zobacz rysunek). Wtedy

Okrąg o środku S z punktami B, C i D na okręgu oraz punktem A poza nim. Zaznaczono odcinki, promienie r, kąt 34° przy C i kąt α przy A.

\(\alpha=12^\circ\)

\(\alpha=17^\circ\)

\(\alpha=22^\circ\)

\(\alpha=34^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty w trójkącie BCS

Ponieważ SB i SC są promieniami okręgu, trójkąt BCS jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie BC są równe.

\[\angle SBC=\angle BCS=34^\circ\]

2 Kąt przy punkcie B

Punkty A, B i C leżą na jednej prostej, więc kąty ABS i SBC są przyległe.

\[\angle ABS=180^\circ-34^\circ=146^\circ\]

3 Obliczenie kąta α

Z warunku AB=SC oraz równości promieni SC=SB wynika AB=SB. Trójkąt ABS jest więc równoramienny, a jego kąty przy podstawie AS są równe.

\[\alpha=\angle BAS=\frac{180^\circ-146^\circ}{2}=17^\circ\]

Odpowiedź

α = 17°, odpowiedź B.

\[\boxed{\alpha=17^\circ}\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta ABS sumują się do 180°, a oba kąty przy podstawie mają po 17°, zgodnie z równością AB=SB.

\[17^\circ+17^\circ+146^\circ=180^\circ\]

Zadanie 16

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że \(|\angle AOB|=70^\circ\), \(|\angle OAC|=25^\circ\). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\angle OBC\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B, C; odcinki OA, OB, AC i BC, kąty 70° i 25° oraz szukany kąt przy B.

\(\alpha=25^\circ\)

\(\alpha=60^\circ\)

\(\alpha=70^\circ\)

\(\alpha=85^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy środku

Ponieważ OA i OC są promieniami, trójkąt AOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie mają po 25°.

\[\angle AOC=180^\circ-25^\circ-25^\circ=130^\circ\]

2 Kąt BOC

Cięciwa AC przecina promień OB, więc promień OB leży wewnątrz kąta AOC. Odejmujemy kąt AOB.

\[\angle BOC=130^\circ-70^\circ=60^\circ\]

3 Szukany kąt

OB i OC są promieniami, zatem trójkąt BOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie są równe.

\[\angle OBC=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ\]

Odpowiedź

Kąt OBC ma miarę 60°. Odpowiedź B.

\[\alpha=60^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie BOC otrzymujemy trzy kąty po 60°, więc ich suma wynosi 180°.

\[60^\circ+60^\circ+60^\circ=180^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę \(44^\circ\). Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka \(A\) przecina bok \(BC\) tego trójkąta w punkcie \(D\). Kąt \(ADC\) ma miarę

\(78^\circ\)

\(34^\circ\)

\(68^\circ\)

\(102^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta przy podstawie

Ponieważ \(AC=BC\), kąty przy podstawie są równe. Kąt między ramionami leży przy wierzchołku \(C\).

\[\angle BAC=\angle ABC=\frac{180^\circ-44^\circ}{2}=68^\circ\]

2 Zastosowanie dwusiecznej

Dwusieczna \(AD\) dzieli kąt przy wierzchołku \(A\) na dwie równe części.

\[\angle CAD=\frac{68^\circ}{2}=34^\circ\]

3 Obliczenie szukanego kąta

Punkt \(D\) leży na boku \(BC\), więc \(\angle ACD=44^\circ\). Korzystamy z sumy kątów trójkąta \(ACD\).

\[\angle ADC=180^\circ-34^\circ-44^\circ=102^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ADC ma miarę 102°. Odpowiedź D.

\[\angle ADC=102^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta ACD sumują się do 180°.

\[34^\circ+44^\circ+102^\circ=180^\circ\]

Zadanie 28

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt \(ABC\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.

Trójkąt ABC z punktem S na boku AB.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie pól

Trójkąty ACS i BCS mają podstawy AS i SB na tej samej prostej oraz wspólną wysokość opuszczoną z C. Ponieważ S jest środkiem AB, ich pola są równe.

\[AS=SB\quad\Longrightarrow\quad P_{ACS}=P_{BCS}\]

2 Porównanie odległości

Oznaczmy odległości punktów A i B od prostej CS przez d_A i d_B. Obliczamy oba pola, przyjmując CS za podstawę. Równość pól i wspólna długość CS dają tezę.

\[\frac12 CS\cdot d_A=\frac12 CS\cdot d_B\quad\Longrightarrow\quad d_A=d_B\]

Odpowiedź

Odległości punktów A i B od prostej CS są równe.

\[d(A,CS)=d(B,CS)\]

Sprawdzenie

Oba trójkąty mają po połowie pola ABC, a ich wspólna podstawa CS ma dodatnią długość. Zatem równość pól rzeczywiście oznacza równość wysokości, czyli szukanych odległości.

\[P_{ACS}=P_{BCS}=\frac12P_{ABC},\qquad CS>0\]

Zadanie 14

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na podstawie \(AB\) tego trójkąta leży punkt \(D\), taki że \(|AD|=|CD|\), \(|BC|=|BD|\) oraz \(\angle BCD=72^\circ\) (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt \(ACD\) ma miarę

Trójkąt ABC z punktem D na podstawie AB, odcinkiem CD i zaznaczonym kątem BCD równym 72°.

\(38^\circ\)

\(36^\circ\)

\(42^\circ\)

\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty w trójkącie BCD

Ponieważ |BC|=|BD|, kąty przy podstawie CD są równe. Z sumy kątów trójkąta obliczamy kąt przy B.

\[\angle BDC=\angle BCD=72^\circ,\qquad \angle CBD=180^\circ-72^\circ-72^\circ=36^\circ\]

2 Kąty w trójkącie ABC

Punkt D leży na AB, więc kąt ABC jest równy CBD. Z równości |AC|=|BC| wynika równość kątów przy podstawie AB.

\[\angle ABC=\angle BAC=36^\circ,\qquad \angle ACB=180^\circ-2\cdot36^\circ=108^\circ\]

3 Szukany kąt

Odcinek CD dzieli kąt ACB na kąty ACD i BCD, więc odejmujemy znany kąt.

\[\angle ACD=108^\circ-72^\circ=36^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ACD ma miarę 36°, odpowiedź B.

\[\angle ACD=36^\circ\]

Sprawdzenie

Ponieważ A, D i B leżą na jednej prostej, kąt ADC ma 108°. W trójkącie ACD kąty przy A i C mają zatem po 36°, co potwierdza warunek |AD|=|CD|.

\[\angle ADC=180^\circ-72^\circ=108^\circ,\qquad \angle ACD=180^\circ-108^\circ-36^\circ=36^\circ\]

Zadanie 29

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\), a środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) trójkąta (zobacz rysunek). Prosta \(BC\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(C\), a ponadto \(|AC|=r\sqrt{3}\). Wykaż, że kąt \(ACB\) ma miarę \(120^\circ\).

Okrąg o środku S oraz trójkąt ABC; punkty A i C leżą na okręgu, S leży na boku AB, a prosta BC jest styczna do okręgu w punkcie C.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy środku okręgu

Promienie SA i SC mają długość r. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASC obliczamy kąt ASC.

\[\cos\angle ASC=\frac{r^2+r^2-(r\sqrt{3})^2}{2r^2}=-\frac12,\qquad \angle ASC=120^\circ\]

2 Wyznaczenie kątów przy A i B

Trójkąt ASC jest równoramienny. Ponieważ A, S i B leżą na jednej prostej, kąt CSB jest przyległy do kąta ASC. Promień SC jest prostopadły do stycznej BC.

\[\angle BAC=\angle SAC=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ,\qquad \angle CSB=60^\circ,\qquad \angle ABC=90^\circ-60^\circ=30^\circ\]

3 Obliczenie kąta ACB

Korzystamy z sumy kątów trójkąta ABC.

\[\angle ACB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ACB ma miarę 120°.

\[\angle ACB=120^\circ\]

Sprawdzenie

Otrzymane kąty trójkąta ABC sumują się do 180°. Ponadto w trójkącie ASC kąt 120° daje z twierdzenia cosinusów wymaganą długość AC.

\[30^\circ+30^\circ+120^\circ=180^\circ,\qquad AC^2=r^2+r^2-2r^2\cos120^\circ=3r^2\]

Zadanie 31

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=\left(-\frac{21}{2},-1\right)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie nachylenia przekątnej BD

Przekątne rombu są prostopadłe, więc iloczyn współczynników kierunkowych prostych AC i BD wynosi −1.

\[\frac{1}{3}\cdot a_{BD}=-1\quad\Rightarrow\quad a_{BD}=-3\]

2 Wyznaczenie równania prostej

Prosta BD przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych S. Podstawiamy jego współrzędne do równania prostej o wyznaczonym nachyleniu.

\[y+1=-3\left(x+\frac{21}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad y=-3x-\frac{65}{2}\]

Odpowiedź

Równanie prostej BD:

\[y=-3x-\frac{65}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt S należy do obu prostych, a ich współczynniki kierunkowe mają iloczyn −1, więc proste są prostopadłe.

\[-3\cdot\left(-\frac{21}{2}\right)-\frac{65}{2}=-1,\qquad \frac{1}{3}\cdot(-3)=-1\]

Zadanie 33

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Planimetria

Środek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Prostopadła poprowadzona ze środka okręgu dzieli cięciwę na połowy. Promień, odległość 10 cm i połowa cięciwy tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[r^2=10^2+\left(\frac{r+22}{2}\right)^2\]

2 Obliczenie promienia

Usuwamy mianownik i rozwiązujemy równanie kwadratowe. Ujemny pierwiastek odrzucamy, ponieważ promień jest dodatni.

\[4r^2=400+(r+22)^2\quad\Longrightarrow\quad 3r^2-44r-884=0\quad\Longrightarrow\quad (r-26)(3r+34)=0\quad\Longrightarrow\quad r=26\ \text{cm}\]

Odpowiedź

Promień okręgu wynosi 26 cm.

\[r=26\ \text{cm}\]

Sprawdzenie

Dla promienia 26 cm cięciwa ma długość 48 cm, czyli o 22 cm więcej niż promień. Jej połowa ma 24 cm, a odległość środka od cięciwy wynosi 10 cm, ponieważ 10² + 24² = 26².

\[26+22=48,\qquad 10^2+\left(\frac{48}{2}\right)^2=100+576=676=26^2\]

Zadanie 16

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Na tym okręgu wybrano punkt \(C\), taki, że \(|OB|=|BC|\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(AOC\) jest równe

Okrąg o średnicy AB i środku O; punkt C leży na okręgu poniżej średnicy. Zaznaczono odcinki AC, OC i BC.

\(\frac{1}{2}r^2\)

\(\frac{1}{4}r^2\)

\(\frac{\pi}{4}r^2\)

\(\frac{\sqrt{3}}{4}r^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta

Odcinki OB i OC są promieniami, a z treści zadania BC ma tę samą długość. Trójkąt OBC jest więc równoboczny. Ponieważ AB jest średnicą, kąty BOC i AOC sumują się do 180°.

\[|OB|=|OC|=|BC|=r,\quad \angle BOC=60^\circ,\quad \angle AOC=120^\circ\]

2 Obliczenie pola

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P_{AOC}=\frac12|OA|\cdot|OC|\sin\angle AOC=\frac12r^2\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{4}r^2\]

Odpowiedź

Pole trójkąta AOC wynosi \(\frac{\sqrt3}{4}r^2\). Odpowiedź D.

\[\boxed{D.\ \frac{\sqrt3}{4}r^2}\]

Sprawdzenie

Kąt AOC jest rozwarty, lecz jego sinus jest dodatni i równy \(\frac{\sqrt3}{2}\), więc obliczone pole jest dodatnie i ma jednostkę pola.

\[\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\]

Zadanie 18

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Długości boków trapezu równoramiennego są równe \(12\), \(13\), \(2\), \(13\).

Wysokość \(h\) tego trapezu jest równa

Trapez równoramienny z zaznaczoną wysokością h.

\(5\)

\(8\)

\(10\)

\(12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinka przy podstawie

W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 12 i 2, a ramiona po 13. Po opuszczeniu wysokości różnica podstaw dzieli się na dwa równe odcinki.

\[x=\frac{12-2}{2}=5\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość, odcinek długości 5 i ramię długości 13 tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[h^2+5^2=13^2,\quad h=\sqrt{169-25}=12\]

Odpowiedź

Wysokość trapezu wynosi 12. Odpowiedź D.

\[h=12\]

Sprawdzenie

Obliczona wysokość i odcinek przy podstawie tworzą z ramieniem trójkąt prostokątny: 144 + 25 = 169.

\[12^2+5^2=13^2\]

Zadanie 19

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku \(2:3:3:4\). Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

\(60^\circ\)

\(50^\circ\)

\(40^\circ\)

\(30^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie jednej części

Suma kątów czworokąta wynosi 360°, a podany stosunek obejmuje łącznie 12 części.

\[2+3+3+4=12,\qquad 360^\circ:12=30^\circ\]

2 Obliczenie najmniejszego kąta

Najmniejszemu kątowi odpowiadają 2 części.

\[2\cdot30^\circ=60^\circ\]

Odpowiedź

Najmniejszy kąt ma miarę 60°. Odpowiedź A.

\[60^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty wyznaczone z podanego stosunku sumują się do 360°.

\[60^\circ+90^\circ+90^\circ+120^\circ=360^\circ\]