Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

139 zadańStrona 6 z 10

Sortuj:

Zadanie 17

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Punkty \(B\) i \(C\) są położone na okręgu tak, że \(BC\) jest jego średnicą. Cięciwa \(AB\) tworzy ze styczną kąt o mierze \(40^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(ABC\) jest równa

Okrąg z punktami A, B i C, średnicą BC oraz styczną w punkcie A. Kąt między cięciwą AB a styczną oznaczono jako 40°.

\(20^\circ\)

\(40^\circ\)

\(45^\circ\)

\(50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt między styczną a cięciwą

Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że jest on równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie.

\[\angle ACB=40^\circ\]

2 Kąt oparty na średnicy

Kąt wpisany oparty na średnicy BC jest prosty.

\[\angle BAC=90^\circ\]

3 Obliczenie szukanego kąta

Suma kątów w trójkącie ABC wynosi 180°.

\[\angle ABC=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta ABC wynosi 50°. Odpowiedź D.

\[\angle ABC=50^\circ\]

Sprawdzenie

Obliczone kąty trójkąta ABC sumują się do 180°.

\[40^\circ+90^\circ+50^\circ=180^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o bokach \(|AC|=24\), \(|BC|=10\), \(|AB|=26\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa

Trójkąt prostokątny ABC z oznaczeniami boków BC = 10, CA = 24 i AB = 26. Dwusieczne kątów przecinają się w punkcie P; odległość punktu P od boku AB oznaczono x.

\(2\)

\(4\)

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{13}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole i półobwód

Przyprostokątne mają długości 10 i 24, więc obliczamy pole trójkąta oraz jego półobwód.

\[S=\frac{10\cdot24}{2}=120,\qquad s=\frac{10+24+26}{2}=30\]

2 Odległość punktu P od boku

Punkt przecięcia dwusiecznych jest środkiem okręgu wpisanego, dlatego jego odległość od każdego boku wynosi x. Pole trójkąta jest równe iloczynowi półobwodu i tej odległości.

\[S=sx,\qquad 120=30x,\qquad x=4\]

Odpowiedź

Odległość wynosi 4. Odpowiedź B.

\[x=4\]

Sprawdzenie

Dla x = 4 wzór na pole daje 120, czyli tyle samo co wzór wykorzystujący przyprostokątne.

\[\frac{10+24+26}{2}\cdot4=120=\frac{10\cdot24}{2}\]

Zadanie 19

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą \(5\). Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości

\(4\) i \(6\)

\(4\) i \(3\)

\(10\) i \(10\)

\(5\) i \(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek na długości przekątnych

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy. Ich połówki oraz bok długości 5 tworzą trójkąt, więc suma długości połówek musi być większa od 5.

\[\frac{p}{2}+\frac{q}{2}>5,\quad\text{czyli}\quad p+q>10\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

W odpowiedziach A i D suma wynosi 10, a w B jest mniejsza od 10. Odpowiedź C spełnia warunek i jest możliwa: prostokąt o bokach 5 oraz \(5\sqrt{3}\) ma obie przekątne długości 10.

\[\sqrt{5^2+(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+75}=10\]

Odpowiedź

C — przekątne mogą mieć długości 10 i 10.

\[p=q=10\]

Sprawdzenie

W skonstruowanym prostokącie jeden bok ma długość 5, a obie przekątne mają długość 10. Pozostałe pary odpadają, ponieważ ich sumy wynoszą odpowiednio 10, 7 i 10, więc nie spełniają ostrej nierówności trójkąta.

\[4+6=10,\quad 4+3=7,\quad 5+5=10\]

Zadanie 20

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę \(120^\circ\), a najdłuższy bok ma długość \(12\) (zobacz rysunek).

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

Trójkąt równoramienny z kątem przy wierzchołku oznaczonym 120° i podstawą oznaczoną 12.

\(6\)

\(2\sqrt{3}\)

\(4\sqrt{3}\)

\(6\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór wysokości

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu boku i opuszczonej na niego wysokości. Najkrótsza wysokość pada więc na najdłuższy bok, czyli podstawę długości 12.

\[P=\frac12 ah_a,\qquad h_a=\frac{2P}{a}\]

2 Podział trójkąta

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku na połowy.

\[\frac{12}{2}=6,\qquad \frac{120^\circ}{2}=60^\circ\]

3 Obliczenie wysokości

W powstałym trójkącie prostokątnym korzystamy z tangensa kąta 60°.

\[\tan 60^\circ=\frac{6}{h}=\sqrt{3},\qquad h=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Najkrótsza wysokość ma długość 2√3. Odpowiedź B.

\[h=2\sqrt{3}\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wysokości stosunek połowy podstawy do wysokości wynosi √3, czyli tangens kąta 60°. Obie połówki tworzą zatem kąt 120° przy wierzchołku.

\[\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]

Zadanie 32

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez o podstawach długości \(a\) oraz \(b\) i wysokości \(h\). Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość \(h\) trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pól

Pole trapezu jest równe połowie sumy podstaw pomnożonej przez wysokość. Po wydłużeniu każda podstawa ma 125% pierwotnej długości.

\[P=\frac{(a+b)h}{2},\qquad P'=\frac{(1{,}25a+1{,}25b)h'}{2}\]

2 Wyznaczenie nowej wysokości

Pola są równe, więc przyrównujemy wzory. Ponieważ suma długości podstaw jest dodatnia, możemy ją skrócić.

\[\frac{(a+b)h}{2}=\frac{1{,}25(a+b)h'}{2}\quad\Longrightarrow\quad h'=\frac{h}{1{,}25}=0{,}8h\]

3 Obliczenie procentu skrócenia

Nowa wysokość stanowi 80% pierwotnej, zatem ubyło 20%.

\[\frac{h-h'}{h}\cdot100\%=\frac{h-0{,}8h}{h}\cdot100\%=20\%\]

Odpowiedź

Wysokość skrócono o 20%.

\[20\%\]

Sprawdzenie

Po zmianie suma podstaw jest 1,25 razy większa, a wysokość stanowi 0,8 poprzedniej. Iloczyn tych czynników wynosi 1, więc pole pozostaje takie samo.

\[1{,}25\cdot0{,}8=1\]

Zadanie 33

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trójkącie \(ABC\) boki \(BC\) i \(AC\) są równej długości. Prosta \(k\) jest prostopadła do podstawy \(AB\) tego trójkąta i przecina boki \(AB\) oraz \(BC\) w punktach – odpowiednio – \(D\) i \(E\). Pole czworokąta \(ADEC\) jest 17 razy większe od pola trójkąta \(BED\). Oblicz \(\frac{|CE|}{|EB|}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podział trójkąta

Opuszczamy wysokość z C na AB i oznaczamy jej podstawę przez M. W trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę i pole na połowy.

\[P_{BMC}=\frac12P_{ABC}\]

2 Porównanie pól

Trójkąty BED i BMC są podobne, ponieważ ED i CM są prostopadłe do AB oraz mają wspólny kąt przy B. Stosunek ich pól jest kwadratem stosunku odpowiednich boków.

\[P_{ABC}=P_{ADEC}+P_{BED}=18P_{BED},\qquad \left(\frac{|BE|}{|BC|}\right)^2=\frac{P_{BED}}{P_{BMC}}=\frac{2P_{BED}}{P_{ABC}}=\frac19\]

3 Obliczenie ilorazu

Długości są dodatnie, więc wybieramy dodatni pierwiastek. Następnie odejmujemy BE od BC.

\[\frac{|BE|}{|BC|}=\frac13,\qquad \frac{|CE|}{|EB|}=\frac{|BC|-|BE|}{|BE|}=\frac{1-\frac13}{\frac13}=2\]

Odpowiedź

Szukany iloraz wynosi 2.

\[\frac{|CE|}{|EB|}=2\]

Sprawdzenie

Gdy BE stanowi jedną trzecią BC, pole BED stanowi jedną dziewiątą pola BMC, czyli jedną osiemnastą pola ABC. Pozostały czworokąt ma więc pole 17 razy większe od pola BED.

\[P_{BED}=\frac19P_{BMC}=\frac1{18}P_{ABC},\qquad P_{ADEC}=\frac{17}{18}P_{ABC}=17P_{BED}\]

Zadanie 17

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o środku \(S\). Bok \(AD\) jest średnicą tego okręgu, a miara kąta \(BDC\) jest równa \(20^\circ\) (zobacz rysunek).

Wtedy miara kąta \(BSC\) jest równa

Okrąg o środku S z wpisanym czworokątem ABCD. Odcinek AD przechodzi przez S. Narysowano odcinki AB, BC, CD i BD oraz zaznaczono kąt BDC o mierze 20°.

\(10^\circ\)

\(20^\circ\)

\(30^\circ\)

\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o kącie środkowym

Kąt wpisany BDC i kąt środkowy BSC są oparte na tym samym łuku BC. Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od wpisanego.

\[\angle BSC=2\angle BDC=2\cdot20^\circ=40^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BSC ma miarę 40°. Odpowiedź D.

\[\angle BSC=40^\circ\]

Sprawdzenie

Połowa otrzymanego kąta środkowego to 20°, czyli podana miara kąta BDC.

\[\frac{40^\circ}{2}=20^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Okrąg o środku w punkcie \(O\) jest wpisany w trójkąt \(ABC\). Wiadomo, że \(|AB|=|AC|\) i \(|\angle BOC|=100^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(BAC\) jest równa

Trójkąt ABC z okręgiem wpisanym o środku O. Zaznaczono kąt BOC o mierze 100°.

\(20^\circ\)

\(30^\circ\)

\(40^\circ\)

\(50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dwusieczne kątów

Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznych kątów trójkąta, więc w trójkącie BOC kąty przy B i C są połowami odpowiednich kątów trójkąta ABC.

\[\angle OBC=\frac12\angle ABC,\qquad \angle OCB=\frac12\angle ACB\]

2 Obliczenie kąta BAC

Z sumy kątów w trójkącie BOC oraz z sumy kątów w trójkącie ABC otrzymujemy równanie.

\[100^\circ=180^\circ-\frac{\angle ABC+\angle ACB}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-\angle BAC}{2}=90^\circ+\frac{\angle BAC}{2}\quad\Rightarrow\quad\angle BAC=20^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BAC ma miarę 20°, więc poprawna jest odpowiedź A.

\[\angle BAC=20^\circ\]

Sprawdzenie

Ponieważ AB = AC, kąty przy podstawie mają po 80°. Ich połowy mają po 40°, zatem kąt BOC ma 180° − 40° − 40° = 100°, zgodnie z treścią.

\[\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ,\qquad \angle BOC=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Cięciwy \(DB\) i \(AC\) przecinają się w punkcie \(E\), \(|\angle ACB|=55^\circ\) oraz \(|\angle AEB|=140^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(DAC\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B, C, D na obwodzie. Cięciwy DB i AC przecinają się w E. Zaznaczono kąty ACB o mierze 55° i AEB o mierze 140°.

\(45^\circ\)

\(55^\circ\)

\(70^\circ\)

\(85^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy punkcie E

Punkty A, E i C leżą na jednej prostej, więc kąty AEB i CEB są przyległe.

\[|\angle CEB|=180^\circ-140^\circ=40^\circ\]

2 Kąt przy punkcie B

W trójkącie CEB suma kątów wynosi 180°. Ponieważ E leży na AC i DB, otrzymany kąt EBC jest kątem DBC.

\[|\angle DBC|=|\angle EBC|=180^\circ-55^\circ-40^\circ=85^\circ\]

3 Kąt DAC

Kąty DAC i DBC są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku DC, więc mają równe miary.

\[|\angle DAC|=|\angle DBC|=85^\circ\]

Odpowiedź

85°, odpowiedź D.

\[|\angle DAC|=85^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie CEB obliczone kąty mają miary 55°, 40° i 85°; ich suma wynosi 180°.

\[55^\circ+40^\circ+85^\circ=180^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(70\). Na boku \(AB\) obrano punkt \(E\), na przekątnej \(AC\) obrano punkt \(F\), a na boku \(AD\) obrano punkt \(G\) – tak, że czworokąt \(AEFG\) jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto \(|EF|=30\) i \(|GF|=40\).

Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy

Prostokąt ABCD z przekątną AC oraz prostokątem AEFG; punkty E, F i G leżą odpowiednio na AB, AC i AD.

\(158\)

\(196\)

\(336\)

\(490\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Boki mniejszego prostokąta

Przeciwległe boki prostokąta są równe, więc AE=GF=40. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przekątną AF.

\[AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{40^2+30^2}=50\]

2 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty AEF i ABC są prostokątne oraz mają wspólny kąt przy A, ponieważ F leży na AC. Skala większego trójkąta wynosi AC/AF=70/50=7/5.

\[AB=40\cdot\frac{7}{5}=56,\qquad BC=30\cdot\frac{7}{5}=42\]

3 Obwód

Obwód prostokąta jest równy podwojonej sumie długości sąsiednich boków.

\[P=2(AB+BC)=2(56+42)=196\]

Odpowiedź

Obwód wynosi 196. Odpowiedź B.

\[P=196\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Boki 56 i 42 dają przekątną długości 70, zgodną z treścią zadania.

\[\sqrt{56^2+42^2}=\sqrt{4900}=70\]

Zadanie 23

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(3,7)\) i \(C=(-4,6)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości przekątnej

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AC|=\sqrt{(-4-3)^2+(6-7)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]

2 Wyznaczenie promienia

Środek okręgu opisanego na kwadracie jest środkiem przekątnej, więc promień stanowi połowę jej długości.

\[R=\frac{|AC|}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[R=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Sprawdzenie

Podwojenie otrzymanego promienia daje długość przekątnej AC.

\[2R=2\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}=|AC|\]

Zadanie 33

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego trapezu przecinają się w punkcie \(S\) (zobacz rysunek) tak, że \(\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{3}{2}\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(12\). Oblicz pole trójkąta \(CDS\).

Trapez ABCD o podstawach AB i CD; przekątne AC i BD przecinają się w punkcie S.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, trójkąty \(ABS\) i \(CDS\) są podobne. Odpowiadające sobie boki \(AS\) i \(CS\) mają stosunek \(3:2\).

\[\frac{|AS|}{|CS|}=\frac{3}{2}\]

2 Obliczenie pola

Pola figur podobnych są proporcjonalne do kwadratów długości odpowiadających sobie boków.

\[\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4},\qquad P_{CDS}=12\cdot\frac{4}{9}=\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta \(CDS\) wynosi \(\frac{16}{3}\).

\[P_{CDS}=\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Stosunek otrzymanych pól wynosi \(12:\frac{16}{3}=9:4\), czyli kwadrat stosunku odpowiadających sobie boków \(3:2\).

\[\frac{12}{16/3}=\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2\]

Zadanie 15

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A=(80,-1)\) i \(B=(-6,-19)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(ABC\). W tym trójkącie kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych

\((43,-10)\)

\((37,10)\)

\((43,10)\)

\((37,-10)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozpoznanie przeciwprostokątnej

Kąt przy C jest prosty, więc bok AB jest przeciwprostokątną. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej.

\[S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\]

2 Obliczenie środka

Podstawiamy współrzędne końców odcinka AB do wzoru na jego środek.

\[S=\left(\frac{80+(-6)}{2},\frac{-1+(-19)}{2}\right)=(37,-10)\]

Odpowiedź

Środek okręgu ma współrzędne (37, −10). Odpowiedź D.

\[S=(37,-10)\]

Sprawdzenie

Punkt (37, −10) jest jednakowo odległy od A i B: w obu przypadkach kwadrat odległości wynosi 1930.

\[SA^2=(80-37)^2+(-1+10)^2=1930,\quad SB^2=(-6-37)^2+(-19+10)^2=1930\]

Zadanie 16

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) są dane długości boków: \(|AB|=8\), \(|BC|=5\), \(|DC|=5\), \(|AD|=4\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta ostrego \(ABC\) w tym trapezie jest równy

Trapez prostokątny ABCD z oznaczonym kątem ABC i długościami boków 8, 5, 5, 4

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Utworzenie trójkąta prostokątnego

Opuszczamy z punktu C prostopadłą na AB i oznaczamy jej podstawę przez E. Ponieważ AD jest prostopadłe do podstaw, ADCE jest prostokątem. Stąd AE=DC=5 oraz CE=AD=4.

\[|AE|=5,\qquad |CE|=4\]

2 Obliczenie tangensa

Odcinek BE jest różnicą długości podstawy AB i odcinka AE. W trójkącie prostokątnym BCE tangens kąta ABC jest ilorazem przyprostokątnej naprzeciw kąta i przyprostokątnej przy kącie.

\[|BE|=8-5=3,\qquad \tan\angle ABC=\frac{|CE|}{|BE|}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta ABC wynosi 4/3. Odpowiedź A.

\[\tan\angle ABC=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Obliczone przyprostokątne dają przeciwprostokątną długości 5, zgodną z podaną długością BC. Ponieważ obie przyprostokątne mają dodatnie długości, rozpatrywany kąt jest ostry.

\[|BC|=\sqrt{3^2+4^2}=5\]

Zadanie 17

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(1,-2)\) i \(C=(0,5)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Obwód tego kwadratu jest równy

\(12\)

\(20\)

\(28\)

\(48\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Długość odcinka łączącego punkty obliczamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AC|=\sqrt{(0-1)^2+(5-(-2))^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]

2 Obliczenie boku i obwodu

Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\), a obwód jest równy \(4a\).

\[a=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5,\qquad O=4\cdot5=20\]

Odpowiedź

Obwód kwadratu wynosi 20. Odpowiedź B.

\[O=20\]

Sprawdzenie

Dla boku długości 5 przekątna ma długość \(5\sqrt{2}\), zgodną z długością odcinka \(AC\).

\[5\sqrt{2}=|AC|\]