Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

139 zadańStrona 4 z 10

Sortuj:

Zadanie 21

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa

Okrąg o środku S i średnicy AB. Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie A. Prosta l przechodzi przez punkty D, C i B. Odcinki CD i BC oznaczono odpowiednio liczbami 3 i 4.

\(\frac{7}{2}\)

\(5\)

\(\sqrt{12}\)

\(\sqrt{3}+2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość stycznej

Z twierdzenia o stycznej i siecznej obliczamy długość odcinka DA. Punkty D, C, B leżą na jednej prostej, więc DB=DC+CB=7.

\[DA^2=DC\cdot DB=3\cdot(3+4)=21\]

2 Średnica okręgu

Styczna w punkcie A jest prostopadła do średnicy AB. W trójkącie prostokątnym DAB stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AB^2=DB^2-DA^2=7^2-21=28\]

3 Odległość punktu od prostej

Szukana odległość h jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną z A na prostą DB, czyli na prostą l. Porównujemy dwa wzory na pole tego trójkąta.

\[\frac{DA\cdot AB}{2}=\frac{DB\cdot h}{2},\qquad h=\frac{\sqrt{21}\cdot\sqrt{28}}{7}=\sqrt{12}\]

Odpowiedź

Odległość wynosi √12. Odpowiedź C.

\[h=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obliczonych długości do wzoru na wysokość otrzymujemy h²=12, zgodnie z wynikiem.

\[h^2=\frac{DA^2\cdot AB^2}{DB^2}=\frac{21\cdot28}{49}=12\]

Zadanie 22

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\).	P	F
Pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\).	P	F

Trapez ABCD o podstawach AB i CD; przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, odpowiednie kąty przy przekątnych są równe. Z cechy kąt–kąt wynika podobieństwo, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

\[AB\parallel CD\ \Longrightarrow\ \angle BAE=\angle DCE,\quad \angle ABE=\angle CDE\ \Longrightarrow\ \triangle ABE\sim\triangle CDE.\]

2 Porównanie pól

Trójkąty ACD i BCD mają wspólną podstawę CD. Wierzchołki A i B leżą na prostej równoległej do CD, więc wysokości obu trójkątów są równe. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

\[P_{ACD}=\frac12\,CD\cdot h=P_{BCD}.\]

Odpowiedź

Kolejno: P, P.

\[\boxed{\mathrm{P},\ \mathrm{P}}\]

Sprawdzenie

Równość kątów wynika z równoległości podstaw, a równość pól z tej samej długości podstawy CD i tej samej odległości prostej AB od CD.

\[\angle AEB=\angle CED,\qquad h_A=h_B\ \Longrightarrow\ P_{ACD}=P_{BCD}.\]

Zadanie 23

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\) takie, że \(|\angle ADB|=20^\circ\) i \(|\angle DBC|=40^\circ\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(DKC\) jest równa

Okrąg z punktami A, B, C i D na obwodzie. Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K; zaznaczono kąty ADB o mierze 20° i DBC o mierze 40°.

\(80^\circ\)

\(60^\circ\)

\(50^\circ\)

\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miar łuków

Kąt wpisany ma miarę równą połowie miary łuku, na którym jest oparty.

\[|\overset{\frown}{AB}|=2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad |\overset{\frown}{CD}|=2\cdot40^\circ=80^\circ\]

2 Obliczenie kąta DKC

Kąt utworzony przez dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu ma miarę równą połowie sumy miar łuków wyznaczonych przez ten kąt i kąt do niego wierzchołkowy.

\[|\angle DKC|=\frac{|\overset{\frown}{CD}|+|\overset{\frown}{AB}|}{2}=\frac{80^\circ+40^\circ}{2}=60^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta DKC wynosi 60°, więc poprawna jest odpowiedź B.

\[|\angle DKC|=60^\circ\]

Sprawdzenie

Pozostałe dwa łuki mają razem 240°. Sąsiedni kąt CKB ma zatem 120°, a suma kątów sąsiednich wynosi 180°, zgodnie z otrzymanym wynikiem.

\[|\angle CKB|=\frac{360^\circ-40^\circ-80^\circ}{2}=120^\circ,\qquad 60^\circ+120^\circ=180^\circ\]

Zadanie 24

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole trójkąta równobocznego \(T_1\) jest równe \(\frac{(1{,}5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\). Pole trójkąta równobocznego \(T_2\) jest równe \(\frac{(4{,}5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali

ponieważ

\(3\),

\(9\),

każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.

pole trójkąta \(T_2\) jest \(9\) razy większe od pola trójkąta \(T_1\).

bok trójkąta \(T_2\) jest o \(3\) dłuższy od boku trójkąta \(T_1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie stosunku pól

Dzielimy pola, aby ustalić, ile razy pole trójkąta T₂ jest większe od pola trójkąta T₁.

\[\frac{P_{T_2}}{P_{T_1}}=\frac{(4{,}5)^2\sqrt{3}/4}{(1{,}5)^2\sqrt{3}/4}=\left(\frac{4{,}5}{1{,}5}\right)^2=9\]

2 Wyznaczenie skali

Pola figur podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali. Zatem skala wynosi 3, a uzasadnia ją odpowiedź 2.

\[k^2=9,\qquad k=\sqrt{9}=3\]

Odpowiedź

A, uzasadnienie 2. Trójkąt T₂ jest podobny do T₁ w skali 3, ponieważ jego pole jest 9 razy większe.

\[\boxed{\mathrm{A2}}\]

Sprawdzenie

Z podanych wzorów na pola boki mają długości 1,5 i 4,5. Ich iloraz wynosi 3, więc potwierdza wyznaczoną skalę.

\[\frac{4{,}5}{1{,}5}=3\]

Zadanie 25

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(40\sqrt{6}\). Bok \(AD\) tego równoległoboku ma długość \(10\), a kąt \(ABC\) równoległoboku ma miarę \(135^\circ\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku \(AB\) jest równa

Równoległobok ABCD z bokiem AD oznaczonym jako 10 i kątem ABC oznaczonym jako 135°.

\(8\sqrt{3}\)

\(8\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na pole

W równoległoboku pole jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi. Bok BC ma taką samą długość jak AD, więc BC = 10.

\[P=AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC=AB\cdot10\cdot\sin135^\circ\]

2 Obliczenie długości boku

Ponieważ sinus kąta 135° wynosi √2/2, podstawiamy dane do wzoru i dzielimy przez 5√2.

\[40\sqrt6=AB\cdot10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2\cdot AB,\qquad AB=\frac{40\sqrt6}{5\sqrt2}=8\sqrt3\]

Odpowiedź

Długość boku AB wynosi 8√3. Odpowiedź A.

\[AB=8\sqrt3\quad\text{(A)}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej długości wzór daje pole 40√6, zgodne z treścią zadania.

\[8\sqrt3\cdot10\cdot\sin135^\circ=8\sqrt3\cdot10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=40\sqrt6\]

Zadanie 33

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB|=400\,\mathrm{m}\) oraz \(|CD|=100\,\mathrm{m}\). Wysokość trapezu jest równa \(75\,\mathrm{m}\), a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre.

Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe – \(E\) oraz \(F\) – na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\):

\[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]

Trapez ABCD o podstawach AB = 400 m i CD = 100 m oraz wysokości 75 m. Wewnątrz zaznaczono prostokątny plac przeznaczony na parking; jego górne wierzchołki E i F leżą na ramionach trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zależność między bokami

Niech x oznacza wysokość prostokąta w metrach, a y jego szerokość w metrach. Dla prostokąta mamy 0<x≤75. Pole całej działki jest sumą pól dwóch trapezów, więc możemy wyznaczyć y bez dzielenia przez x.

\[\frac{400+100}{2}\cdot75=\frac{400+y}{2}\cdot x+\frac{y+100}{2}\cdot(75-x)\quad\Longrightarrow\quad y=400-4x\]

2 Największe pole

Pole prostokąta jest iloczynem jego boków. Po uzupełnieniu kwadratu widać, że największe pole otrzymujemy dla x=50.

\[P(x)=x(400-4x)=10000-4(x-50)^2\leq10000\]

3 Wymiary prostokąta

Dla x=50 obliczamy szerokość. Ta wysokość należy do dopuszczalnego zakresu.

\[x=50\,\mathrm{m},\qquad y=400-4\cdot50=200\,\mathrm{m}\]

Odpowiedź

Boki prostokąta mają długości 50 m i 200 m. Największe pole wynosi 10 000 m².

\[50\,\mathrm{m}\times200\,\mathrm{m},\qquad P_{\max}=10000\,\mathrm{m}^2\]

Sprawdzenie

Wysokość 50 m mieści się w zakresie od 0 do 75 m, a szerokość 200 m jest dodatnia. Iloczyn boków wynosi 10 000 m². Dla każdej innej dopuszczalnej wysokości od tej wartości odejmujemy dodatnią liczbę.

\[0<50\leq75,\qquad 50\cdot200=10000,\qquad P(x)=10000-4(x-50)^2<10000\ \text{dla }x\ne50\]

Zadanie 20

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Trapez \(T_1\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_2\). Pole trapezu \(T_2\) jest równe \(13\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trapezu \(T_2\) jest równy

\(18\)

\(9\)

\(\frac{169}{9}\)

\(\frac{52}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skali podobieństwa

Stosunek pól figur podobnych jest kwadratem skali podobieństwa, więc obliczamy dodatnią skalę trapezu \(T_2\) względem \(T_1\).

\[k^2=\frac{13}{52}=\frac14,\qquad k=\frac12\]

2 Obliczenie obwodu

Obwody figur podobnych są w stosunku równym skali podobieństwa.

\[O_2=kO_1=\frac12\cdot36=18\]

Odpowiedź

A. Obwód trapezu \(T_2\) wynosi \(18\).

\[O_2=18\]

Sprawdzenie

Stosunek obwodów wynosi \(18:36=1:2\), a kwadrat tej skali daje stosunek pól \(13:52=1:4\).

\[\left(\frac{18}{36}\right)^2=\frac14=\frac{13}{52}\]

Zadanie 21

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Koło ma promień równy \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym \(30^\circ\) jest równy

\(\frac{3}{4}\pi\)

\(\frac{1}{2}\pi\)

\(\frac{3}{4}\pi+6\)

\(\frac{1}{2}\pi+6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości łuku

Kąt 30° stanowi jedną dwunastą pełnego kąta, więc łuk ma jedną dwunastą obwodu koła.

\[l=\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 3=\frac{\pi}{2}\]

2 Obliczenie obwodu wycinka

Do długości łuku dodajemy dwa promienie tworzące brzegi wycinka.

\[O=l+2r=\frac{\pi}{2}+2\cdot 3=\frac{\pi}{2}+6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[O=\frac{1}{2}\pi+6\]

Sprawdzenie

Jedna dwunasta obwodu całego koła wynosi π/2, a dwa promienie mają łącznie długość 6. Ich suma zgadza się z odpowiedzią D.

\[\frac{1}{12}\cdot 6\pi+6=\frac{\pi}{2}+6\]

Zadanie 22

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okręgu \(O\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40^\circ\) większą od kąta \(\alpha\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(\beta\) jest równa

\(40^\circ\)

\(80^\circ\)

\(100^\circ\)

\(120^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności kątów

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany.

\[\beta=2\alpha\]

2 Obliczenie miary kąta

Z treści zadania mamy również \(\beta=\alpha+40^\circ\). Porównujemy oba wyrażenia i obliczamy kąty.

\[2\alpha=\alpha+40^\circ\Rightarrow\alpha=40^\circ\Rightarrow\beta=80^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta β wynosi 80°. Odpowiedź B.

\[\beta=80^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy 80° jest dwa razy większy od kąta wpisanego 40° i przewyższa go o 40°.

\[80^\circ=2\cdot40^\circ,\qquad80^\circ-40^\circ=40^\circ\]

Zadanie 23

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie \(ABC\) długość boku \(AC\) jest równa \(3\), a długość boku \(BC\) jest równa \(4\). Dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek \(|AD|:|DB|\) jest równy

\(4:3\)

\(4:7\)

\(3:4\)

\(3:7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej

Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przyległych do tego kąta.

\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{3}{4}\]

Odpowiedź

Stosunek |AD|:|DB| wynosi 3:4. Odpowiedź C.

\[|AD|:|DB|=3:4\]

Sprawdzenie

Jeśli |AD|=3t i |DB|=4t dla t>0, to ich stosunek wynosi 3:4, zgodnie z twierdzeniem o dwusiecznej.

\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{3t}{4t}=\frac{3}{4}\]

Zadanie 24

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Trapez równoramienny ABCD. Podstawa CD ma oznaczenie 6, ramię AD ma oznaczenie 4, a kąty przy A i B mają oznaczenia 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Po opuszczeniu wysokości z wierzchołka D powstaje trójkąt prostokątny, w którym ramię AD jest przeciwprostokątną.

\[h=AD\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\]

2 Obliczenie dolnej podstawy

Rzut poziomy każdego ramienia ma długość 2. W trapezie równoramiennym dodajemy oba rzuty do górnej podstawy.

\[AB=CD+2\cdot AD\cos 60^\circ=6+2\cdot4\cdot\frac12=10\]

3 Obliczenie pola

Pole trapezu jest iloczynem połowy sumy podstaw i wysokości.

\[P=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot2\sqrt3=16\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole trapezu wynosi 16√3 jednostek kwadratowych.

\[P=16\sqrt3\]

Sprawdzenie

Różnica podstaw wynosi 4, więc na każde ramię przypada rzut długości 2. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tę samą wysokość.

\[AB-CD=10-6=4=2\cdot2,\qquad h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3\]

Zadanie 17

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Koło ma promień równy \(3\). Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym \(30^\circ\) jest równy

\(\frac{3}{4}\pi\)

\(\frac{1}{2}\pi\)

\(\frac{3}{4}\pi+6\)

\(\frac{1}{2}\pi+6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość łuku

Kąt 30° stanowi jedną dwunastą pełnego kąta, więc łuk ma jedną dwunastą długości okręgu.

\[l=\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 3=\frac{\pi}{2}\]

2 Obwód wycinka

Do długości łuku dodajemy dwa promienie.

\[O=l+2r=\frac{\pi}{2}+2\cdot 3=\frac{\pi}{2}+6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[O=\frac{1}{2}\pi+6\]

Sprawdzenie

Łuk stanowi jedną dwunastą obwodu całego koła, czyli 6π : 12 = π/2; po dodaniu dwóch promieni otrzymujemy podany obwód.

\[\frac{6\pi}{12}+3+3=\frac{\pi}{2}+6\]

Zadanie 19

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okręgu \(O\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40^\circ\) większą od kąta \(\alpha\). Miara kąta \(\beta\) jest równa

\(40^\circ\)

\(80^\circ\)

\(100^\circ\)

\(120^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz zależność między kątami

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego.

\[\beta=2\alpha\]

2 Oblicz miarę kąta

Z treści zadania mamy też \(\beta=\alpha+40^\circ\). Porównujemy oba wyrażenia i obliczamy \(\alpha\), a następnie \(\beta\).

\[2\alpha=\alpha+40^\circ\Rightarrow\alpha=40^\circ\Rightarrow\beta=2\cdot40^\circ=80^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: kąt środkowy ma miarę 80°.

\[\beta=80^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt 80° jest dwa razy większy od kąta 40° i przewyższa go o 40°, zgodnie z obiema zależnościami.

\[80^\circ=2\cdot40^\circ,\qquad80^\circ-40^\circ=40^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole trójkąta równobocznego o wysokości \(3\) jest równe

\(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

\(\frac{9\sqrt{3}}{4}\)

\(3\sqrt{3}\)

\(6\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) ma długość \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), więc wyznaczamy bok z podanej wysokości.

\[3=\frac{a\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

2 Obliczenie pola

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta: połowa iloczynu podstawy i wysokości.

\[P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot3}{2}=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(3\sqrt{3}\). Odpowiedź C.

\[P=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Dla boku \(2\sqrt{3}\) wysokość wynosi \(3\), zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=3\]

Zadanie 21

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Każdy z kątów wewnętrznych dziesięciokąta foremnego ma miarę

\(120^\circ\)

\(135^\circ\)

\(144^\circ\)

\(150^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Suma kątów

Dziesięciokąt można podzielić na 8 trójkątów, więc suma jego kątów wewnętrznych wynosi:

\[(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ\]

2 Miara jednego kąta

W dziesięciokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, dlatego dzielimy sumę przez 10.

\[\frac{1440^\circ}{10}=144^\circ\]

Odpowiedź

Każdy kąt ma miarę 144°. Odpowiedź C.

\[144^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt zewnętrzny ma miarę 360° : 10 = 36°, a wraz z kątem wewnętrznym daje 180°.

\[144^\circ+36^\circ=180^\circ\]