Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

54 zadańStrona 3 z 4

Sortuj:

Zadanie 15

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).

Wtedy

Dwa okręgi o środkach O i P, promienie OA i PB, wspólna styczna AB oraz punkt K przecięcia stycznej z odcinkiem OP.

\(|OK|=6\)

\(|OK|=8\)

\(|OK|=10\)

\(|OK|=12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do prostej AB. Trójkąty OAK i PBK są więc prostokątne, a ich kąty przy K są wierzchołkowe. Z podobieństwa otrzymujemy proporcję odpowiednich boków.

\[\frac{|OK|}{|KP|}=\frac{|OA|}{|PB|}=\frac{5}{3}\]

2 Obliczenie długości OK

Ponieważ K leży na odcinku OP, mamy |KP|=16−|OK|. Podstawiamy tę długość do proporcji i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{|OK|}{16-|OK|}=\frac{5}{3}\quad\Longrightarrow\quad 3|OK|=80-5|OK|\quad\Longrightarrow\quad |OK|=10\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: |OK|=10.

\[|OK|=10\]

Sprawdzenie

Wówczas |KP|=16−10=6, a 10:6=5:3, zgodnie z proporcją wynikającą z podobieństwa.

\[|KP|=6,\qquad \frac{|OK|}{|KP|}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\]

Zadanie 24

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole figury \(F_1\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach \(1\) i \(3\) jest równe polu figury \(F_2\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości \(r\) (zobacz rysunek).

Długość \(r\) promienia jest równa

Figura F₁: dwa koła styczne zewnętrznie o promieniach 1 i 3.

Figura F₂: dwa koła styczne zewnętrznie, każde o promieniu r.

\(\sqrt{3}\)

\(2\)

\(\sqrt{5}\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola figury F₁

Koła są styczne zewnętrznie, więc ich pola się sumują.

\[P_{F_1}=\pi\cdot1^2+\pi\cdot3^2=10\pi\]

2 Porównanie pól

Figura F₂ składa się z dwóch kół o promieniu r. Przyrównujemy jej pole do pola figury F₁.

\[2\pi r^2=10\pi\quad\Longrightarrow\quad r^2=5\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Promień ma długość √5. Odpowiedź C.

\[r=\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Dla r = √5 pole figury F₂ wynosi 2π·5 = 10π, czyli tyle samo co pole figury F₁. Promień jest dodatni.

\[P_{F_2}=2\pi(\sqrt{5})^2=10\pi=P_{F_1}\]

Zadanie 15

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}\), \(3\sqrt{5}\), \(4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

\(10,\ 15,\ 20\)

\(20,\ 45,\ 80\)

\(\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4}\)

\(\sqrt{5},\ 2\sqrt{5},\ 3\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie proporcji boków

W trójkątach podobnych odpowiednie boki są proporcjonalne. Dzielimy długości danych boków przez wspólny czynnik.

\[2\sqrt{5}:3\sqrt{5}:4\sqrt{5}=2:3:4\]

2 Wybór odpowiedzi

Boki w odpowiedzi A mają tę samą proporcję.

\[10:15:20=2:3:4\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: boki mają długości 10, 15, 20.

\[(10,15,20)\]

Sprawdzenie

Każdy bok w odpowiedzi A jest √5 razy dłuższy od odpowiadającego mu boku danego trójkąta. Ponadto 10+15>20, więc te długości tworzą trójkąt.

\[\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{15}{3\sqrt{5}}=\frac{20}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5},\qquad 10+15>20\]

Zadanie 30

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie przyprostokątnych

Niech krótsza przyprostokątna ma długość x cm. Dłuższa ma wtedy długość (x+14) cm, przy czym x>0.

\[x>0,\qquad x+14\]

2 Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

\[x^2+(x+14)^2=26^2\;\Longrightarrow\;x^2+14x-240=0\]

3 Wyznaczenie długości boków

Rozkładamy trójmian na czynniki. Odrzucamy ujemny wynik, ponieważ długość boku musi być dodatnia.

\[(x+24)(x-10)=0\;\Longrightarrow\;x=10\;\text{lub}\;x=-24,\qquad x=10\]

4 Obliczenie obwodu

Przyprostokątne mają długości 10 cm i 24 cm. Dodajemy długości wszystkich trzech boków.

\[10+24+26=60\ \text{cm}\]

Odpowiedź

Obwód trójkąta wynosi 60 cm.

\[60\ \text{cm}\]

Sprawdzenie

Boki spełniają podane warunki: różnica przyprostokątnych wynosi 14 cm, a ich kwadraty sumują się do kwadratu przeciwprostokątnej.

\[24-10=14,\qquad 10^2+24^2=100+576=676=26^2\]

Zadanie 19

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe

Dwa okręgi styczne zewnętrznie o środkach O₁ i O₂ oraz promieniach 3 i 4. Prosta przechodzi przez O₁ i jest styczna do większego okręgu w punkcie P. Zaznaczono odcinki O₁O₂ i PO₂.

\(14\)

\(2\sqrt{33}\)

\(4\sqrt{33}\)

\(12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość między środkami

Okręgi są styczne zewnętrznie, więc odległość między ich środkami jest sumą promieni.

\[O_1O_2=3+4=7\]

2 Długość odcinka stycznej

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przyprostokątną \(O_1P\).

\[O_1P=\sqrt{O_1O_2^2-O_2P^2}=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{33}\]

3 Pole trójkąta

Odcinki \(O_1P\) i \(O_2P\) są prostopadłe, więc pole jest połową iloczynu ich długości.

\[S=\frac12\cdot\sqrt{33}\cdot4=2\sqrt{33}\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(2\sqrt{33}\). Odpowiedź B.

\[S=2\sqrt{33}\]

Sprawdzenie

Długości przyprostokątnych spełniają twierdzenie Pitagorasa: \(33+16=49=7^2\), a obliczone pole odpowiada odpowiedzi B.

\[(\sqrt{33})^2+4^2=7^2\]

Zadanie 31

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

59%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(8\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(4\) i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.

Trapez prostokątny ABCD z podstawą AB o długości 8, przekątną AC o długości 4 i kątem 30° między AC a krótszą podstawą DC.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Podstawy trapezu są równoległe, więc przekątna AC tworzy z poziomem kąt 30°. Wysokość AD jest przyprostokątną naprzeciw tego kąta.

\[AD=AC\sin 30^\circ=4\cdot\frac12=2\]

2 Obliczenie przekątnej BD

Trójkąt ABD jest prostokątny, dlatego stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej BD wynosi 2√17.

\[BD=2\sqrt{17}\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej długości wynosi 68, czyli jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych 8 i 2. Ponadto wysokość 2 spełnia warunek 2/4 = sin 30°.

\[(2\sqrt{17})^2=68=8^2+2^2,\qquad \frac{2}{4}=\sin 30^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

59%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę \(\alpha\). Wtedy

\(14^\circ<\alpha<15^\circ\)

\(29^\circ<\alpha<30^\circ\)

\(60^\circ<\alpha<61^\circ\)

\(75^\circ<\alpha<76^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Romb ma cztery równe boki, więc dzielimy obwód przez cztery.

\[a=\frac{8}{4}=2\]

2 Wyznaczenie kąta

Pole rombu jest równe iloczynowi kwadratu boku i sinusa kąta między bokami. Ponieważ \(\alpha\) jest ostry, wyznacza go jednoznacznie otrzymana wartość sinusa.

\[1=a^2\sin\alpha=4\sin\alpha,\qquad \sin\alpha=\frac14,\qquad \alpha=\arcsin\frac14\]

3 Wybór przedziału

Obliczamy przybliżenie kąta w stopniach i porównujemy je z granicami podanych przedziałów.

\[\alpha\approx14{,}4775^\circ,\qquad 14^\circ<\alpha<15^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: kąt ostry należy do przedziału od 14° do 15°.

\[14^\circ<\alpha<15^\circ\]

Sprawdzenie

Dla boku 2 obwód wynosi 8. Dokładna wartość kąta daje pole 1, a jego przybliżenie leży między 14° i 15° oraz jest kątem ostrym.

\[4a=4\cdot2=8,\qquad P=a^2\sin\alpha=4\cdot\frac14=1\]

Zadanie 22

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole prostokąta \(ABCD\) jest równe 90. Na bokach \(AB\) i \(CD\) wybrano – odpowiednio – punkty \(P\) i \(R\), takie, że \(\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}\) (zobacz rysunek).

Pole czworokąta \(APCR\) jest równe

Prostokąt ABCD z punktami P na boku AB i R na boku CD oraz odcinkami AR i PC.

\(36\)

\(40\)

\(54\)

\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości boków czworokąta

Podane stosunki dzielą boki prostokąta na pięć równych części. Ponieważ przeciwległe boki prostokąta są równe, odcinki AP i CR mają tę samą długość.

\[|AP|=\frac35|AB|,\qquad |CR|=\frac35|CD|=\frac35|AB|\]

2 Obliczenie pola

Odcinki AP i CR są równoległe i równe, więc APCR jest równoległobokiem. Jego wysokość jest równa wysokości prostokąta.

\[P_{APCR}=|AP|\cdot|AD|=\frac35|AB|\cdot|AD|=\frac35\cdot90=54\]

Odpowiedź

Pole czworokąta APCR wynosi 54. Odpowiedź C.

\[P_{APCR}=54\]

Sprawdzenie

Pozostałe dwa trójkąty mają podstawy długości dwóch piątych szerokości prostokąta. Każdy ma pole 18, więc obliczone pole czworokąta jest zgodne z polem całego prostokąta.

\[90-2\cdot\frac12\cdot\frac25\cdot90=54\]

Zadanie 33

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

56%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość 26.

Oblicz pole trójkąta \(T_2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(T_1\).

\[c_1=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\]

2 Wyznaczenie skali podobieństwa

Odpowiadające sobie przeciwprostokątne są w tym samym stosunku co przyprostokątne.

\[k=\frac{26}{13}=2,\qquad a_2=2\cdot5=10,\qquad b_2=2\cdot12=24\]

3 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu jego przyprostokątnych.

\[P_2=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

Odpowiedź

Pole trójkąta T₂ wynosi 120 jednostek kwadratowych.

\[P_2=120\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne 10 i 24 dają przeciwprostokątną 26, więc wynik spełnia warunek zadania. Pole T₁ wynosi 30, a przy skali 2 pole rośnie czterokrotnie do 120.

\[10^2+24^2=676=26^2,\qquad 2^2\cdot\frac{5\cdot12}{2}=120\]

Zadanie 32

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Planimetria

56%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50^\circ\). Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie kątów

Oznaczmy mniejszy z dwóch kątów różniących się o 50° przez x. Drugi ma wtedy x+50°, a trzeci 3x.

\[x,\quad x+50^\circ,\quad 3x\]

2 Suma kątów

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, więc układamy i rozwiązujemy równanie.

\[x+(x+50^\circ)+3x=180^\circ\quad\Rightarrow\quad 5x=130^\circ\quad\Rightarrow\quad x=26^\circ\]

3 Obliczenie pozostałych kątów

Podstawiamy otrzymaną wartość do oznaczeń.

\[x+50^\circ=76^\circ,\qquad 3x=78^\circ\]

Odpowiedź

Kąty trójkąta mają miary 26°, 76° i 78°.

\[26^\circ,\ 76^\circ,\ 78^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty są dodatnie i sumują się do 180°. Dwa wskazane kąty różnią się o 50°, a trzeci jest trzy razy większy od mniejszego z nich.

\[26^\circ+76^\circ+78^\circ=180^\circ,\quad 76^\circ-26^\circ=50^\circ,\quad 78^\circ=3\cdot26^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

55%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe \(\frac{4\sqrt{3}}{9}\). Obwód tego trójkąta jest równy

\(4\)

\(2\)

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego. Długość boku jest dodatnia.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{9}\quad\Rightarrow\quad a^2=\frac{16}{9}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{4}{3}\]

2 Obliczenie obwodu

Trójkąt równoboczny ma trzy boki tej samej długości.

\[O=3a=3\cdot\frac{4}{3}=4\]

Odpowiedź

Obwód wynosi 4. Odpowiedź A.

\[O=4\]

Sprawdzenie

Dla boku 4/3 pole jest równe polu podanemu w zadaniu.

\[P=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{4\sqrt{3}}{9}\]

Zadanie 20

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są: \(|AC|=|BC|=4\) i \(|AB|=3\). Na boku \(BC\), między punktami \(B\) i \(C\), wybrano taki punkt \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek \(BD\) ma długość

Trójkąt ABC z punktem D na boku BC i odcinkiem AD. Bok AC oznaczono liczbą 4, a bok AB liczbą 3.

\(2\)

\(2{,}25\)

\(2{,}5\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie odpowiadających boków

W podobnych trójkątach bokowi AC długości 4 odpowiada bok AB długości 3, a bokowi AB długości 3 odpowiada bok BD. Zapisujemy proporcję tych boków.

\[\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{AC}\]

2 Obliczenie długości BD

Podstawiamy dane i mnożymy obie strony przez 3.

\[\frac{BD}{3}=\frac{3}{4}\quad\Longrightarrow\quad BD=\frac{9}{4}=2{,}25\]

Odpowiedź

Odcinek BD ma długość 2,25. Odpowiedź B.

\[BD=2{,}25\]

Sprawdzenie

Skala podobieństwa wynosi 3/4, więc bokowi AB długości 3 odpowiada BD długości 9/4. Ponadto 0 < 9/4 < 4, zatem D leży między B i C.

\[\frac{BD}{AB}=\frac{9/4}{3}=\frac{3}{4}=\frac{AB}{AC},\qquad 0<\frac{9}{4}<4\]

Zadanie 33

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) – odpowiednio – w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku trójkąta ABC

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego. Długość boku jest dodatnia.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad a^2=36\quad\Longrightarrow\quad a=6\]

2 Wyznaczenie boku trójkąta AKL

Stosunek odpowiadających sobie boków trójkątów ABC i AKL wynosi 3 do 2.

\[\frac{6}{AK}=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad AK=4\]

Odpowiedź

Bok trójkąta AKL ma długość 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Bok długości 6 daje podane pole, a stosunek boków 6 i 4 wynosi 3 do 2.

\[\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3},\qquad\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\]

Zadanie 21

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

46%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wynika stąd, że miara \(\alpha\) kąta \(DAS\) jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B, C i D na obwodzie; zaznaczone kąty przy B, C i D oraz kąt α między AD i AS.

\(25^\circ\)

\(30^\circ\)

\(35^\circ\)

\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy A

W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przeciwległe sumują się do 180°.

\[|\angle DAB|=180^\circ-110^\circ=70^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta BAC

Promienie SB i SC są równe, więc trójkąt SBC jest równoramienny. Jego kąty przy B i C mają po 60°, zatem kąt środkowy BSC ma 60°. Kąt wpisany BAC oparty na tym samym łuku BC jest dwa razy mniejszy.

\[|\angle BSC|=180^\circ-2\cdot60^\circ=60^\circ,\qquad |\angle BAC|=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\]

3 Obliczenie α

Kąt CDA jest prosty, więc CA jest średnicą okręgu, a punkt S leży na CA. Stąd kąt DAS jest kątem DAC.

Odpowiedź

α = 40°, odpowiedź D.

\[\boxed{\alpha=40^\circ}\]

Sprawdzenie

W trójkącie ACD pozostały kąt ACD ma 50°. Ponieważ CA jest średnicą, kąt ABC ma 90°, więc BCA ma 60°. Otrzymujemy BCD = 60° + 50° = 110°, zgodnie z danymi.

\[|\angle ACD|=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ,\quad |\angle BCA|=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ,\quad 50^\circ+60^\circ=110^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

45%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|BC|=6\). Miara kąta \(ACB\) jest równa \(150^\circ\) (zobacz rysunek).

Wysokość trójkąta \(ABC\) opuszczona z wierzchołka \(B\) jest równa

Trójkąt ABC z bokiem BC oznaczonym 6 i kątem ACB oznaczonym 150°.

\(3\)

\(4\)

\(3\sqrt{3}\)

\(4\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Wysokość z wierzchołka B jest odległością punktu B od prostej AC. Ponieważ kąt przy C jest rozwarty, podstawa wysokości leży na przedłużeniu boku AC. Korzystamy z sinusa kąta 150°.

\[h=|BC|\sin\angle ACB=6\sin150^\circ=6\cdot\frac12=3\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi 3. Odpowiedź A.

\[h=3\]

Sprawdzenie

Kąt ostry między BC a przedłużeniem AC ma 30°, więc w powstałym trójkącie prostokątnym wysokość jest połową przeciwprostokątnej długości 6.

\[h=6\sin30^\circ=3\]