Otwarte2 pkt
Planimetria
53%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) – odpowiednio – w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie boku trójkąta ABC
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego. Długość boku jest dodatnia.
\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad a^2=36\quad\Longrightarrow\quad a=6\]
2 Wyznaczenie boku trójkąta AKL
Stosunek odpowiadających sobie boków trójkątów ABC i AKL wynosi 3 do 2.
\[\frac{6}{AK}=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad AK=4\]
Odpowiedź
Bok trójkąta AKL ma długość 4.
\[4\]
Sprawdzenie
Bok długości 6 daje podane pole, a stosunek boków 6 i 4 wynosi 3 do 2.
\[\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3},\qquad\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\]