Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

54 zadańStrona 2 z 4

Sortuj:

Zadanie 17

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trapez prostokątny \(KLMN\), którego podstawy mają długości \(|KL|=a\), \(|MN|=b\), \(a>b\). Kąt \(KLM\) ma miarę \(60^\circ\). Długość ramienia \(LM\) tego trapezu jest równa

Trapez prostokątny KLMN z dolną podstawą KL oznaczoną a i górną podstawą MN oznaczoną b.

\(a-b\)

\(2(a-b)\)

\(a+\frac{1}{2}b\)

\(\frac{a+b}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinka przy kącie

Po opuszczeniu z punktu M prostopadłej na podstawę KL powstaje trójkąt prostokątny. Jego przyprostokątna leżąca na KL ma długość równą różnicy długości podstaw.

\[a-b\]

2 Obliczenie ramienia

W tym trójkącie ramię LM jest przeciwprostokątną, więc stosujemy cosinus kąta 60°.

\[\cos 60^\circ=\frac{a-b}{|LM|}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad |LM|=2(a-b)\]

Odpowiedź

Długość ramienia LM wynosi 2(a−b). Odpowiedź B.

\[|LM|=2(a-b)\]

Sprawdzenie

Ponieważ a>b, otrzymana długość jest dodatnia. Jej rzut na podstawę ma długość 2(a−b)·cos 60°=a−b, zgodnie z różnicą podstaw.

\[2(a-b)\cdot\frac12=a-b\]

Zadanie 16

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20^\circ\) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa

\(5^\circ\)

\(10^\circ\)

\(20^\circ\)

\(30^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności kątów

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego. Oznaczamy miarę kąta wpisanego przez \(x\).

\[2x-x=20^\circ\]

2 Obliczenie kąta

Rozwiązujemy równanie, aby otrzymać miarę kąta wpisanego.

\[x=20^\circ\]

Odpowiedź

Kąt wpisany ma miarę 20°, odpowiedź C.

\[20^\circ\]

Sprawdzenie

Odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę 40°, więc różnica wynosi wymagane 20°.

\[40^\circ-20^\circ=20^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

71%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(8\) oraz \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{5}\) (zobacz rysunek).

Pole tego trójkąta jest równe

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy C, bokiem AC o długości 8 i kątem α przy A.

\(12\)

\(\frac{37}{3}\)

\(\frac{62}{5}\)

\(\frac{64}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie drugiej przyprostokątnej

Tangens kąta przy wierzchołku A jest ilorazem długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta i przyprostokątnej przy nim.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{8}=\frac{2}{5},\qquad BC=8\cdot\frac{2}{5}=\frac{16}{5}\]

2 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu długości jego przyprostokątnych.

\[P=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot\frac{16}{5}=\frac{64}{5}\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(\frac{64}{5}\). Odpowiedź D.

\[P=\frac{64}{5}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Obliczona długość \(BC\) jest dodatnia, a iloraz przyprostokątnych zgadza się z podanym tangensem.

\[\frac{BC}{AC}=\frac{16/5}{8}=\frac{2}{5}\]

Zadanie 20

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\), \(|LM|=b\) oraz \(a\neq b\). Dwusieczna kąta \(KML\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) takim, że \(|KN|=c\), \(|NL|=d\) oraz \(|MN|=e\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie \(KLM\) prawdziwa jest równość

Trójkąt KLM z punktem N na boku KL i dwusieczną MN. Boki KM i LM oznaczono a i b, odcinki KN i NL oznaczono c i d, a odcinek MN oznaczono e.

\(a\cdot b=c\cdot d\)

\(a\cdot d=b\cdot c\)

\(a\cdot c=b\cdot d\)

\(a\cdot b=e\cdot e\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej

Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przyległych do tego kąta.

\[\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|},\qquad \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\]

2 Usunięcie mianowników

Długości boków są dodatnie, więc można pomnożyć obie strony przez \(bd\).

\[\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\quad\Longrightarrow\quad bc=ad\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(a\cdot d=b\cdot c\).

\[a\cdot d=b\cdot c\]

Sprawdzenie

Równość \(ad=bc\) daje \(c/d=a/b\), czyli dokładnie stosunek wynikający z twierdzenia o dwusiecznej. Ponieważ \(a\ne b\), otrzymujemy też \(c\ne d\), zgodnie z nierównym podziałem boku \(KL\).

\[ad=bc\ \Longleftrightarrow\ \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\quad(b,d>0)\]

Zadanie 17

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku \(S\). Punkt \(D\) jest punktem przecięcia cięciwy \(AC\) i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu \(B\). Miara kąta \(BSC\) jest równa \(\alpha\), a miara kąta \(ADB\) jest równa \(\gamma\) (zobacz rysunek).

Wtedy kąt \(ABD\) ma miarę

Okrąg o środku S z punktami A, B i C na okręgu oraz punktem D w miejscu przecięcia cięciwy AC ze średnicą poprowadzoną z B. Zaznaczono kąty α i γ.

\(\frac{\alpha}{2}+\gamma-180^\circ\)

\(180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\)

\(180^\circ-\alpha-\gamma\)

\(\alpha+\gamma-180^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy A

Ponieważ D leży na cięciwie AC, kąt BAD jest kątem wpisanym opartym na łuku BC. Ma więc połowę miary kąta środkowego BSC.

\[\angle BAD=\angle BAC=\frac{\alpha}{2}\]

2 Suma kątów trójkąta ABD

Odejmujemy od 180° miary dwóch znanych kątów trójkąta ABD.

\[\angle ABD=180^\circ-\angle BAD-\angle ADB=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\]

Odpowiedź

Kąt ABD ma miarę \(180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\). Odpowiedź B.

\[\boxed{\angle ABD=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma}\quad\text{B}\]

Sprawdzenie

Otrzymane trzy kąty trójkąta ABD sumują się do 180°, a na rysunku kąt ABD jest dodatni.

\[\frac{\alpha}{2}+\gamma+\left(180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\right)=180^\circ\]

Zadanie 14

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\).

Zatem

Okrąg z trójkątem ABC, średnicą CD, punktem E, odcinkami DE i EB oraz kątem DEB oznaczonym α.

\(\alpha=30^\circ\)

\(\alpha<30^\circ\)

\(\alpha>45^\circ\)

\(\alpha=45^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy D

Kąty wpisane CAB i CDB opierają się na tym samym łuku CB, więc mają równe miary. Trójkąt ABC jest równoboczny.

\[\angle CDB=\angle CAB=60^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta przy C

Kąt CBD opiera się na średnicy CD, więc jest prosty. Z sumy kątów trójkąta CBD obliczamy kąt DCB.

\[\angle DCB=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\]

3 Wyznaczenie kąta α

Kąty DEB i DCB opierają się na tym samym łuku DB, dlatego są równe.

\[\alpha=\angle DEB=\angle DCB=30^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: α = 30°.

\[\boxed{\alpha=30^\circ}\]

Sprawdzenie

W trójkącie CBD otrzymane kąty 30°, 90° i 60° sumują się do 180°. Punkty C i E leżą po tej samej stronie cięciwy DB, więc użyte kąty wpisane są równe.

\[30^\circ+90^\circ+60^\circ=180^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A, B, P\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(6\). Czworokąt \(ASBP\) jest rombem, w którym kąt ostry \(PAS\) ma miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

Okrąg o środku S z punktami A, P i B na okręgu. Odcinki AS, SB, BP i PA tworzą romb. Zaznaczono kąt PAS równy 60° oraz zakreskowano obszar ograniczony odcinkami SA i SB oraz łukiem APB.

\(6\pi\)

\(9\pi\)

\(10\pi\)

\(12\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

W rombie wszystkie boki są równe, więc AP=AS=6. Ponieważ SP jest promieniem, trójkąt ASP jest równoboczny. Przekątna SP rombu dzieli kąt ASB na połowy.

\[AS=AP=SP=6,\qquad \angle ASP=60^\circ,\qquad \angle ASB=2\cdot60^\circ=120^\circ\]

2 Obliczenie pola

Zakreskowana figura jest wycinkiem koła o promieniu 6 i kącie środkowym 120°.

\[P=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot6^2=12\pi\]

Odpowiedź

Pole wynosi 12π. Odpowiedź D.

\[12\pi\]

Sprawdzenie

Kąt 120° stanowi jedną trzecią pełnego kąta, a 12π jest jedną trzecią pola koła 36π.

\[\frac{12\pi}{36\pi}=\frac13=\frac{120^\circ}{360^\circ}\]

Zadanie 17

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Prosta \(k\) jest styczna w punkcie \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa \(80^\circ\). Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą, która przecina prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(BAC\) jest równa

Okrąg o środku O styczny do prostej k w punkcie A; punkty C, B i O leżą na jednej prostej, a kąt AOB ma 80°.

\(10^\circ\)

\(30^\circ\)

\(40^\circ\)

\(50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy podstawie trójkąta AOB

Promienie OA i OB są równe, więc trójkąt AOB jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie mają równe miary.

\[\angle BAO=\frac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ\]

2 Kąt między cięciwą a styczną

Promień OA jest prostopadły do stycznej k, a półprosta AB leży wewnątrz kąta OAC. Odejmujemy więc kąt BAO od kąta prostego.

\[\angle BAC=90^\circ-50^\circ=40^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta BAC wynosi 40°. Odpowiedź C.

\[\angle BAC=40^\circ\]

Sprawdzenie

Ponieważ C, B i O leżą na jednej prostej, kąt ABC ma 130°. W trójkącie AOC kąt ACO ma 10°, więc także kąt ACB ma 10°. Suma kątów trójkąta ABC wynosi 40° + 130° + 10° = 180°.

\[\angle ABC=180^\circ-50^\circ=130^\circ,\quad \angle ACB=180^\circ-90^\circ-80^\circ=10^\circ\]

Zadanie 16

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie rozwartym \(150^\circ\). Pole tego rombu jest równe

\(8\)

\(12\)

\(8\sqrt{3}\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Pole rombu o boku \(a\) i kącie \(\alpha\) między bokami wynosi \(a^2\sin\alpha\), ponieważ wysokość ma długość \(a\sin\alpha\).

\[P=4^2\sin150^\circ=16\sin30^\circ=16\cdot\frac12=8\]

Odpowiedź

Pole rombu wynosi 8. Odpowiedź A.

\[P=8\]

Sprawdzenie

Wysokość rombu wynosi \(4\sin150^\circ=2\), więc iloczyn boku i wysokości ponownie daje \(4\cdot2=8\).

\[P=4\cdot2=8\]

Zadanie 21

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przez punkty \(A\) i \(B\), leżące na okręgu o środku \(O\), poprowadzono proste styczne do tego okręgu, przecinające się w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(ACB\) jest równa

Okrąg o środku O i styczne w punktach A i B przecinające się w punkcie C; zaznaczony kąt AOB ma miarę 140°.

\(20^\circ\)

\(35^\circ\)

\(40^\circ\)

\(70^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty przy punktach styczności

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc kąty przy A i B są proste.

\[\angle OAC=\angle OBC=90^\circ\]

2 Suma kątów czworokąta

W czworokącie AOBC suma kątów wynosi 360°, a z rysunku odczytujemy, że kąt AOB ma 140°.

\[\angle ACB=360^\circ-90^\circ-140^\circ-90^\circ=40^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ACB ma miarę 40°, czyli odpowiedź C.

\[\angle ACB=40^\circ\quad\text{(C)}\]

Sprawdzenie

Otrzymane kąty czworokąta AOBC sumują się do 360°.

\[90^\circ+140^\circ+90^\circ+40^\circ=360^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Z odcinków o długościach: \(5\), \(2a+1\), \(a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

\(a=6\)

\(a=4\)

\(a=3\)

\(a=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równych boków

W trójkącie równoramiennym dwa boki mają tę samą długość, więc rozpatrujemy wszystkie możliwe pary.

\[5=2a+1\Rightarrow a=2;\qquad 5=a-1\Rightarrow a=6;\qquad 2a+1=a-1\Rightarrow a=-2\]

2 Sprawdzenie warunków trójkąta

Długości boków muszą być dodatnie, a suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Tylko dla \(a=2\) warunki są spełnione.

\[a=2:\ (5,5,1),\quad 5+1>5;\qquad a=6:\ (5,13,5),\quad 5+5<13;\qquad a=-2:\ 2a+1=-3<0\]

Odpowiedź

a = 2, odpowiedź D.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla a = 2 otrzymujemy boki 5, 5 i 1. Są dodatnie, dwa są równe, a nierówności trójkąta zachodzą.

\[5+1>5,\qquad 5+5>1\]

Zadanie 22

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trójkącie \(ABC\), wpisanym w okrąg o środku w punkcie \(S\), kąt \(ACB\) ma miarę \(42^\circ\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(BAS\) jest równa

Trójkąt ABC wpisany w okrąg o środku S. Przy wierzchołku C oznaczono kąt 42°. Z punktu A poprowadzono półprostą przez S, a kąt BAS zaznaczono kolorem.

\(42^\circ\)

\(45^\circ\)

\(48^\circ\)

\(69^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt środkowy

Kąt środkowy ASB i kąt wpisany ACB są oparte na tym samym łuku AB, więc kąt środkowy jest dwa razy większy.

\[\angle ASB=2\angle ACB=2\cdot42^\circ=84^\circ\]

2 Kąt przy podstawie

Odcinki SA i SB są promieniami okręgu, zatem trójkąt ASB jest równoramienny. Jego kąty przy A i B są równe.

\[\angle BAS=\frac{180^\circ-84^\circ}{2}=48^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta BAS wynosi 48°. Odpowiedź C.

\[\angle BAS=48^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie ASB kąty 48°, 48° i 84° sumują się do 180°, a otrzymany kąt BAS jest ostry.

\[48^\circ+48^\circ+84^\circ=180^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W rombie o boku długości \(6\sqrt{2}\) kąt rozwarty ma miarę \(150^\circ\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

\(24\)

\(72\)

\(36\)

\(36\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Pole rombu jest równe iloczynowi kwadratów długości boku i sinusa kąta między bokami.

\[P=(6\sqrt{2})^2\sin150^\circ=72\cdot\frac12=36\]

2 Wyznaczenie iloczynu przekątnych

Pole rombu jest też równe połowie iloczynu długości jego przekątnych, więc mnożymy pole przez 2.

\[P=\frac{d_1d_2}{2},\qquad d_1d_2=2\cdot36=72\]

Odpowiedź

B. Iloczyn długości przekątnych wynosi 72.

\[d_1d_2=72\]

Sprawdzenie

Kąt ostry rombu ma 30°. Obliczone z niego pole wynosi 36, tyle samo co połowa otrzymanego iloczynu przekątnych.

\[(6\sqrt{2})^2\sin30^\circ=72\cdot\frac12=36=\frac{72}{2}\]

Zadanie 17

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Obwód trójkąta \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równy

Trójkąt ABC z kątem 30° przy A i kątem prostym przy B. Bok BC oznaczono jako a.

\(\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a\)

\(\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a\)

\((3+\sqrt{3})a\)

\((2+\sqrt{2})a\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Trójkąt jest prostokątny, a bok BC leży naprzeciw kąta 30°. Z definicji sinusa wyznaczamy AC.

\[\sin 30^\circ=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{AC}=\frac12,\qquad AC=2a\]

2 Obliczenie drugiej przyprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość AB.

\[AB^2=AC^2-BC^2=(2a)^2-a^2=3a^2,\qquad AB=\sqrt3a\]

3 Obliczenie obwodu

Dodajemy długości trzech boków.

\[P=AB+BC+AC=\sqrt3a+a+2a=(3+\sqrt3)a\]

Odpowiedź

Obwód wynosi (3+√3)a. Poprawna odpowiedź: C.

\[P=(3+\sqrt3)a\quad\text{— C}\]

Sprawdzenie

Dla dodatniej długości a otrzymane boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, a stosunek boku naprzeciw kąta 30° do przeciwprostokątnej wynosi 1/2.

\[a^2+(\sqrt3a)^2=(2a)^2,\qquad \frac{a}{2a}=\frac12\]

Zadanie 19

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ACO\) ma miarę \(70^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C oraz zaznaczonym kątem ACO o mierze 70°.

\(10^\circ\)

\(20^\circ\)

\(35^\circ\)

\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta środkowego

Promienie \(OA\) i \(OC\) są równe, więc trójkąt \(AOC\) jest równoramienny. Oba kąty przy podstawie mają po \(70^\circ\).

\[\angle AOC=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt \(ABC\) i kąt środkowy \(AOC\) są oparte na tym samym łuku \(AC\), więc kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

\[\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta ABC wynosi 20°. Odpowiedź B.

\[\angle ABC=20^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy ma 40°, więc oparty na tym samym łuku kąt wpisany ma 20°. Wynik jest kątem ostrym.

\[2\cdot20^\circ=40^\circ\]