Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
54 zadańStrona 1 z 4
Zadanie 7
Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
88%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BDC\) jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B, C, D oraz odcinkami i kątami oznaczonymi 27°, 118° i znakiem zapytania.

A
\(91^\circ\)
B
\(72{,}5^\circ\)
C
\(18^\circ\)
D
\(32^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt wpisany ADC

Kąt środkowy ASC i kąt wpisany ADC opierają się na tym samym łuku AC, więc kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

\[\angle ADC=\frac{118^\circ}{2}=59^\circ\]

2 Szukany kąt

Półprosta DB leży wewnątrz kąta ADC, a kąt ADB ma 27°, więc odejmujemy jego miarę.

\[\angle BDC=\angle ADC-\angle ADB=59^\circ-27^\circ=32^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BDC ma 32°, czyli odpowiedź D.

\[\boxed{\angle BDC=32^\circ\quad(\mathrm{D})}\]

Sprawdzenie

Kąty ADB i BDC mają łącznie 59°, czyli połowę kąta środkowego ASC.

\[27^\circ+32^\circ=59^\circ=\frac{118^\circ}{2}\]
Zadanie 15
Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
86%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leży punkt \(C\) (zobacz rysunek). Odcinek \(AB\) jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \(\alpha\) ma miarę

Okrąg o środku O, średnica AB i punkt C na okręgu. Odcinki AC, OC i BC; kąt 56° przy C między CA i CO oraz kąt środkowy α między OC i OB.

A
\(116^\circ\)
B
\(114^\circ\)
C
\(112^\circ\)
D
\(110^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta AOC

Odcinki OA i OC są promieniami, więc trójkąt AOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie mają po 56°.

\[\angle AOC=180^\circ-56^\circ-56^\circ=68^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta α

AB jest średnicą, więc kąty AOC i COB tworzą kąt półpełny.

\[\alpha=180^\circ-68^\circ=112^\circ\]

Odpowiedź

Kąt α ma miarę 112°. Odpowiedź C.

\[\alpha=112^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty AOC i COB mają łącznie 180°, zgodnie z tym, że A, O i B leżą na jednej prostej.

\[68^\circ+112^\circ=180^\circ\]
Zadanie 19
Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
85%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe

A
\(3\sqrt{3}\)
B
\(4\sqrt{3}\)
C
\(27\sqrt{3}\)
D
\(36\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

W trójkącie równobocznym wysokość ma długość połowy boku pomnożonej przez pierwiastek z trzech, więc wyznaczamy bok z podanej wysokości.

\[h=\frac{a\sqrt{3}}{2},\quad 6\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2},\quad a=12\]

2 Obliczenie pola

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta: połowa iloczynu podstawy i wysokości.

\[P=\frac{ah}{2}=\frac{12\cdot6\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi 36√3. Odpowiedź D.

\[P=36\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Dla boku 12 wysokość wynosi 6√3, zgodnie z treścią zadania. Pole jest dodatnie i odpowiada odpowiedzi D.

\[\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\]
Zadanie 16
Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
85%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość

Dwa podobne trójkąty. W trójkącie ABC bok AB oznaczono x, bok BC ma długość 9, kąt A ma 70°, a kąt B ma 48°. W trójkącie PQR bok QR ma długość 18, bok QP ma długość 17, kąt P ma 70°, a kąt R ma 62°.

A
\(8\)
B
\(8{,}5\)
C
\(9{,}5\)
D
\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie odpowiadających boków

W trójkącie ABC kąt C ma 62°, a w trójkącie PQR kąt Q ma 48°. Zatem w podobnych trójkątach A odpowiada P, B odpowiada Q, a C odpowiada R. Bokowi BC odpowiada QR, a bokowi AB odpowiada PQ.

\[\angle C=180^\circ-70^\circ-48^\circ=62^\circ,\qquad \angle Q=180^\circ-70^\circ-62^\circ=48^\circ\]

2 Obliczenie boku AB

Stosunek odpowiadających boków jest stały. Ponieważ BC ma długość 9, a QR długość 18, mniejszy trójkąt ma boki dwa razy krótsze.

\[\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{9}{18}=\frac12,\qquad AB=\frac12\cdot17=8{,}5\]

Odpowiedź

Bok AB ma długość 8,5. Odpowiedź B.

\[AB=8{,}5\]

Sprawdzenie

Otrzymana długość zachowuje skalę podobieństwa: stosunek AB do PQ wynosi tyle samo co stosunek BC do QR.

\[\frac{8{,}5}{17}=\frac12=\frac9{18}\]
Zadanie 16
Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
82%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10\), \(|BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek).

Długość odcinka \(DE\) jest równa

Trójkąt ABC. Punkt D leży na boku BC, punkt E na boku AB, a odcinek DE jest równoległy do AC. Na rysunku oznaczono BD jako 10, DC jako 2 oraz AC jako 24.

A
\(22\)
B
\(20\)
C
\(12\)
D
\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ DE jest równoległy do AC, trójkąty BDE i BAC są podobne. Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

\[\frac{|DE|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|BC|}\]

2 Obliczenie długości DE

Podstawiamy dane do proporcji i obliczamy szukaną długość.

\[\frac{|DE|}{24}=\frac{10}{12},\qquad |DE|=24\cdot\frac{10}{12}=20\]

Odpowiedź

Długość odcinka DE wynosi 20. Odpowiedź B.

\[|DE|=20\]

Sprawdzenie

Skala podobieństwa wynosi 10/12 = 5/6, a 5/6 długości AC, czyli 24, to 20. Wynik jest mniejszy od AC, zgodnie z rysunkiem.

\[\frac{20}{24}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\]
Zadanie 19
Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
81%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Miara kąta \(BCA\) jest równa \(50^\circ\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(ABO\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C na okręgu. Zaznaczono kąt BCA równy 50° oraz kąt ABO.

A
\(20^\circ\)
B
\(35^\circ\)
C
\(40^\circ\)
D
\(50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy AOB oparty na tym samym łuku AB ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego BCA.

\[\angle AOB=2\angle BCA=2\cdot50^\circ=100^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta ABO

Promienie OA i OB są równe, więc trójkąt AOB jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie AB mają równe miary.

\[\angle ABO=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ABO ma miarę 40°, więc poprawna odpowiedź to C.

\[\angle ABO=40^\circ\quad\text{(C)}\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta AOB sumują się do 180°, a połowa kąta środkowego 100° daje podany kąt wpisany 50°.

\[40^\circ+40^\circ+100^\circ=180^\circ,\qquad\frac{100^\circ}{2}=50^\circ\]
Zadanie 17
Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
80%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt środkowy \(DOC\) ma miarę \(118^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(ABC\) jest równa

Okrąg ze środkiem O i punktami A, B, C, D na okręgu; zaznaczono kąt środkowy DOC o mierze 118°.

A
\(59^\circ\)
B
\(48^\circ\)
C
\(62^\circ\)
D
\(31^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Punkty A, O i D leżą na jednej prostej, więc kąty AOC i DOC sumują się do 180°.

\[\angle AOC=180^\circ-118^\circ=62^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta wpisanego

Kąt ABC i kąt środkowy AOC opierają się na tym samym łuku AC. Kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

\[\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{62^\circ}{2}=31^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta ABC wynosi 31°, odpowiedź D.

\[\angle ABC=31^\circ\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy oparty na łuku AC ma 62°, a jego połowa to 31°, zgodnie z własnością kąta wpisanego.

\[2\cdot31^\circ=62^\circ=180^\circ-118^\circ\]
Zadanie 20
Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
79%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trójkącie \(ABC\) bok \(BC\) ma długość \(13\), a wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) na odcinki o długościach \(|AD|=3\) i \(|BD|=12\) (zobacz rysunek obok). Długość boku \(AC\) jest równa

Trójkąt ABC z wysokością CD opuszczoną na bok AB; odcinki AD i DB mają długości 3 i 12, a bok BC ma długość 13.

A
\(\sqrt{34}\)
B
\(\frac{13}{4}\)
C
\(2\sqrt{14}\)
D
\(3\sqrt{45}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Wysokość CD jest prostopadła do AB, więc trójkąt BCD jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy CD.

\[CD^2=BC^2-BD^2=13^2-12^2=25,\quad CD=5\]

2 Obliczenie boku AC

Trójkąt ACD także jest prostokątny, więc ponownie stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC^2=AD^2+CD^2=3^2+5^2=34,\quad AC=\sqrt{34}\]

Odpowiedź

Długość boku AC wynosi \(\sqrt{34}\). Poprawna odpowiedź: A.

\[AC=\sqrt{34}\]

Sprawdzenie

Obliczona wysokość spełnia zależność dla trójkąta BCD: \(5^2+12^2=13^2\). Obie długości są dodatnie.

\[25+144=169\]
Zadanie 16
Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
78%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha+\beta=111^\circ\). Wynika stąd, że

Okrąg o środku S z punktami K, L i M oraz zaznaczonymi kątami α przy S i β przy M.

A
\(\alpha=74^\circ\)
B
\(\alpha=76^\circ\)
C
\(\alpha=70^\circ\)
D
\(\alpha=72^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o kątach

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku KL, więc kąt środkowy ma miarę dwa razy większą.

\[\alpha=2\beta\]

2 Obliczenie miar kątów

Podstawiamy tę zależność do podanej sumy miar kątów.

\[2\beta+\beta=111^\circ\quad\Rightarrow\quad\beta=37^\circ\quad\Rightarrow\quad\alpha=74^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: α = 74°.

\[\boxed{\alpha=74^\circ\;\text{(A)}}\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy 74° jest dwa razy większy od kąta wpisanego 37°, a ich suma wynosi 111°.

\[74^\circ=2\cdot37^\circ,\qquad 74^\circ+37^\circ=111^\circ\]
Zadanie 21
Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
77%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest równoległobok o bokach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120^\circ\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego równoległoboku jest równe

A
\(12\)
B
\(12\sqrt{3}\)
C
\(6\)
D
\(6\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Pole równoległoboku o bokach \(a\) i \(b\) oraz kącie \(\alpha\) między nimi wynosi \(ab\sin\alpha\). Ponieważ \(\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), podstawiamy dane.

\[P=3\cdot4\cdot\sin120^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(6\sqrt3\). Poprawna odpowiedź: D.

\[P=6\sqrt3\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości \(4\) wynosi \(3\sin120^\circ=\frac{3\sqrt3}{2}\). Iloczyn podstawy i wysokości daje \(6\sqrt3\), zgodnie z wynikiem.

\[4\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=6\sqrt3\]
Zadanie 22
Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
77%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W równoległoboku \(ABCD\), przedstawionym na rysunku, kąt \(\alpha\) ma miarę \(70^\circ\).

Wtedy kąt \(\beta\) ma miarę

Równoległobok ABCD z kątami α przy A i β przy B, dwoma dodatkowymi odcinkami oraz dwoma kątami oznaczonymi łukiem i kropką.

A
\(80^\circ\)
B
\(70^\circ\)
C
\(60^\circ\)
D
\(50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie punktów i kąta przy D

Niech E leży na AD i jest początkiem odcinka EB, a F leży na DC i jest końcem odcinka FB. Kąty sąsiednie równoległoboku sumują się do 180°.

\[\angle EDF=\angle ADC=180^\circ-70^\circ=110^\circ\]

2 Kąty oznaczone kropkami

Oba zaznaczone kąty są równe. Oznaczmy ich miarę przez γ. Ponieważ D, F i C leżą na jednej prostej, kąt czworokąta E D F B przy F jest przyległy do zaznaczonego kąta.

\[\angle DEB=\angle BFC=\gamma,\qquad \angle DFB=180^\circ-\gamma\]

3 Suma kątów czworokąta

Suma kątów wewnętrznych czworokąta E D F B wynosi 360°. Po podstawieniu miary γ się redukują.

\[\gamma+110^\circ+(180^\circ-\gamma)+\beta=360^\circ\quad\Rightarrow\quad\beta=70^\circ\]

Odpowiedź

Kąt β ma miarę 70°. Odpowiedź B.

\[\beta=70^\circ\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu β = 70° suma czterech kątów czworokąta wynosi 360° dla każdej miary γ zgodnej z rysunkiem.

\[\gamma+110^\circ+(180^\circ-\gamma)+70^\circ=360^\circ\]
Zadanie 22
Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Planimetria
75%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości \(5\) i \(12\). Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość \(26\).

Oblicz pole trójkąta \(T_2\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta T₁.

\[c_1=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\]

2 Wyznaczenie przyprostokątnych T₂

Trójkąty są podobne, więc wszystkie boki T₂ są dwa razy dłuższe.

\[k=\frac{26}{13}=2,\qquad a_2=2\cdot5=10,\qquad b_2=2\cdot12=24\]

3 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu jego przyprostokątnych.

\[P_2=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

Odpowiedź

Pole trójkąta T₂ wynosi 120 jednostek kwadratowych.

\[P_2=120\]

Sprawdzenie

Boki 10 i 24 dają przeciwprostokątną 26, zgodnie z treścią zadania.

\[10^2+24^2=676=26^2\]
Zadanie 20
Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
74%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Boki równoległoboku mają długości \(6\) i \(10\), a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę \(120^\circ\). Pole tego równoległoboku jest równe

A
\(30\sqrt{3}\)
B
\(30\)
C
\(60\sqrt{3}\)
D
\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór wzoru

Pole równoległoboku jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=ab\sin\alpha=6\cdot10\cdot\sin120^\circ\]

2 Obliczenie pola

Kąt 120° ma taki sam sinus jak 60°, czyli \(\frac{\sqrt3}{2}\).

\[P=60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(30\sqrt3\). Odpowiedź A.

\[P=30\sqrt3\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości 10 wynosi \(6\sin120^\circ=3\sqrt3\), więc pole to \(10\cdot3\sqrt3=30\sqrt3\).

\[h=3\sqrt3,\quad P=10h=30\sqrt3\]
Zadanie 21
Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria
73%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ACO\) ma miarę \(70^\circ\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C na okręgu oraz zaznaczonym kątem ACO o mierze 70°.

A
\(10^\circ\)
B
\(20^\circ\)
C
\(35^\circ\)
D
\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta środkowego

Promienie OA i OC są równe, więc trójkąt AOC jest równoramienny. Kąty przy A i C mają po 70°.

\[\angle AOC=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt ABC i kąt środkowy AOC są oparte na tym samym łuku AC. Kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

\[\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ\]

Odpowiedź

B. Miara kąta ABC wynosi 20°.

\[\angle ABC=20^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt 20° jest ostry, a jego podwojona miara, 40°, zgadza się z obliczonym kątem środkowym AOC.

\[2\cdot20^\circ=40^\circ\]
Zadanie 21
Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria
73%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary \(5\,\mathrm{dm}\times 3\,\mathrm{dm}\times 2\,\mathrm{dm}\) (zobacz rysunek).

Przekątna \(KL\) tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do \(0{,}01\,\mathrm{dm}\) – równa

Prostopadłościan z wierzchołkami K i L oraz wymiarami 5 dm, 3 dm i 2 dm

A
\(5{,}83\,\mathrm{dm}\)
B
\(6{,}16\,\mathrm{dm}\)
C
\(3{,}61\,\mathrm{dm}\)
D
\(5{,}39\,\mathrm{dm}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest prostokątem o bokach 5 dm i 3 dm, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[d^2=5^2+3^2=34\,\mathrm{dm}^2\]

2 Przekątna prostopadłościanu

Przekątna podstawy i wysokość 2 dm tworzą z przekątną KL trójkąt prostokątny.

\[KL^2=d^2+2^2=34+4=38\,\mathrm{dm}^2,\qquad KL=\sqrt{38}\,\mathrm{dm}\approx6{,}16\,\mathrm{dm}\]

Odpowiedź

B. Przekątna KL ma długość 6,16 dm z dokładnością do 0,01 dm.

\[KL\approx6{,}16\,\mathrm{dm}\]

Sprawdzenie

Ponieważ 6,155² = 37,884025 < 38 < 38,007225 = 6,165², liczba √38 zaokrągla się do 6,16.

\[6{,}155<\sqrt{38}<6{,}165\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz