Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

140 zadańStrona 1 z 10

Sortuj:

Zadanie 1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}\) jest równa

\((-2)\)

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwiastków

Pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są ujemne. Obliczamy wartości występujące w liczniku i mianowniku.

\[\sqrt[3]{-64}=-4,\qquad \sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[5]{-32}=-2\]

2 Obliczenie ilorazu

Podstawiamy obliczone wartości i dzielimy dwie liczby ujemne.

\[\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}=\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \((-4)^3=-64\), \(3^3=27\) i \((-2)^5=-32\), podstawione pierwiastki są poprawne. Mianownik jest różny od zera, a \((-2)\cdot\frac{1}{2}=-1\), czyli tyle wynosi licznik.

\[(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1=-4+3\]

Zadanie 2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{9^4}{3^{-20}}\) jest równa

\(9^{-24}\)

\(9^{-6}\)

\(9^{14}\)

\(9^{56}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Aby zastosować regułę dzielenia potęg, zapisujemy mianownik jako potęgę liczby 9.

\[3^{-20}=(3^2)^{-10}=9^{-10}\]

2 Dzielenie potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{9^4}{3^{-20}}=\frac{9^4}{9^{-10}}=9^{4-(-10)}=9^{14}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[9^{14}\]

Sprawdzenie

Niezależnie, po sprowadzeniu licznika i mianownika do podstawy 3 otrzymujemy ten sam wynik.

\[\frac{9^4}{3^{-20}}=\frac{3^8}{3^{-20}}=3^{28}=(3^2)^{14}=9^{14}\]

Zadanie 3

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{5}\sqrt[3]{25}\) jest równa

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{2}\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz argument jako potęgę liczby 5

Ponieważ \(25=5^2\), możemy zastosować regułę \(\sqrt[3]{a}=a^{1/3}\).

\[\sqrt[3]{25}=(5^2)^{1/3}=5^{2/3}\]

2 Oblicz logarytm

Logarytm przy podstawie 5 wskazuje wykładnik potęgi liczby 5.

\[\log_5\sqrt[3]{25}=\log_5 5^{2/3}=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Podnosząc 5 do otrzymanej potęgi, dostajemy argument logarytmu.

\[\left(5^{2/3}\right)^3=5^2=25\]

Zadanie 5

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\geq 0\) liczba \(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\) jest podzielna przez 19.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik zawiera czynnik 7^n, więc wyłączamy go przed nawias.

\[7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=7^n(1+7+7^2)\]

2 Wykaż podzielność

Suma w nawiasie wynosi 57, czyli 19 razy 3. Ponieważ dla całkowitego n≥0 liczba 3·7^n jest całkowita, otrzymujemy wielokrotność 19.

\[7^n(1+7+49)=57\cdot 7^n=19\cdot(3\cdot 7^n)\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej n≥0 podana liczba jest podzielna przez 19.

\[19\mid\left(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\right)\]

Sprawdzenie

Dla n=0 suma wynosi 1+7+49=57=19·3. Dla każdego większego całkowitego n czynnik 3·7^n nadal jest liczbą całkowitą, więc wykazana postać pozostaje wielokrotnością 19.

\[7^0+7^1+7^2=57=19\cdot3\]

Zadanie 1

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}\) jest równa

\((-2)\)

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwiastków

Pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są ujemne, ponieważ odpowiednie potęgi liczb ujemnych są ujemne.

\[\sqrt[3]{-64}=-4,\quad \sqrt[3]{27}=3,\quad \sqrt[5]{-32}=-2\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczone pierwiastki i dzielimy.

\[\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}=\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera, a potęgi obliczonych pierwiastków dają liczby pod pierwiastkami.

\[-2\ne 0,\quad (-4)^3=-64,\quad 3^3=27,\quad (-2)^5=-32\]

Zadanie 2

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{9^4}{3^{-20}}\) jest równa

\(9^{-24}\)

\(9^{-6}\)

\(9^{14}\)

\(9^{56}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz potęgi przy tej samej podstawie

Ponieważ \(9=3^2\), możemy zastosować regułę dzielenia potęg o tej samej podstawie.

\[\frac{9^4}{3^{-20}}=\frac{(3^2)^4}{3^{-20}}=\frac{3^8}{3^{-20}}\]

2 Oblicz wykładnik

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki, a następnie wracamy do podstawy \(9\).

\[\frac{3^8}{3^{-20}}=3^{8-(-20)}=3^{28}=(3^2)^{14}=9^{14}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(9^{14}\).

\[9^{14}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(3^{-20}=1/3^{20}\), wyjściowy iloraz jest równy \(3^8\cdot3^{20}=3^{28}=9^{14}\).

\[\frac{9^4}{3^{-20}}=3^8\cdot3^{20}=3^{28}=9^{14}\]

Zadanie 3

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{5}\sqrt[3]{25}\) jest równa

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{2}\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastek jako potęgę

Ponieważ \(25=5^2\), korzystamy z definicji pierwiastka trzeciego stopnia.

\[\sqrt[3]{25}=\left(5^2\right)^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{2}{3}}\]

2 Oblicz logarytm

Logarytm o podstawie \(5\) z potęgi liczby \(5\) jest równy wykładnikowi tej potęgi.

\[\log_5\sqrt[3]{25}=\log_5 5^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Wynik to \(\frac{2}{3}\), odpowiedź B.

\[\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od \(1\), a liczba logarytmowana jest dodatnia. Ponadto podniesienie \(5^{\frac{2}{3}}\) do trzeciej potęgi daje \(25\), więc jest to \(\sqrt[3]{25}\).

\[\left(5^{\frac{2}{3}}\right)^3=5^2=25\]

Zadanie 28

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 0\) liczba \(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\) jest podzielna przez 19.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik zawiera czynnik \(7^n\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=7^n(1+7+7^2)\]

2 Wykaż podzielność

Suma w nawiasie wynosi \(57=19\cdot3\). Ponieważ dla \(n\ge0\) liczba \(3\cdot7^n\) jest całkowita, całe wyrażenie jest wielokrotnością 19.

\[7^n(1+7+49)=57\cdot7^n=19(3\cdot7^n)\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej \(n\ge0\) podana liczba jest podzielna przez 19.

\[19\mid\left(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(n=0\) otrzymujemy \(1+7+49=57=3\cdot19\). Ogólny rozkład \(19(3\cdot7^n)\) potwierdza podzielność dla każdego dopuszczalnego \(n\).

\[n=0:\quad 1+7+49=57=19\cdot3\]

Zadanie 1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}\) jest równa

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz pierwiastki

Obie liczby pod pierwiastkami są nieujemne, więc możemy skorzystać ze wzoru na iloczyn pierwiastków.

\[\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot 2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\]

2 Oblicz potęgę i dodaj

Wykładnik \(-1\) oznacza odwrotność liczby 2.

\[\frac{5}{2}+2^{-1}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 3.

\[3\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej wartości pierwszego składnika jest równy iloczynowi liczb pod pierwiastkami, a po dodaniu jednej drugiej otrzymujemy 3.

\[\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{8}\cdot2=\frac{25}{4},\qquad \frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\]

Zadanie 2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

1200 zł

1236 zł

1836 zł

3600 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odsetki po pierwszym roku

Bank dolicza 6% do wpłaconego kapitału, więc od tej kwoty obliczamy pierwszy przyrost.

\[10\,000\cdot 0{,}06=600\ \text{zł}\]

2 Odsetki po drugim roku

Zgodnie z procentem składanym drugie odsetki liczymy od kapitału powiększonego o pierwsze odsetki.

\[(10\,000+600)\cdot 0{,}06=636\ \text{zł}\]

3 Suma odsetek

Dodajemy odsetki z obu lat.

\[600+636=1236\ \text{zł}\]

Odpowiedź

B. Łączna wartość odsetek wynosi 1236 zł.

\[1236\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po dwóch latach na lokacie jest 11 236 zł; po odjęciu wpłaconych 10 000 zł otrzymujemy 1236 zł odsetek.

\[10\,000\cdot(1{,}06)^2-10\,000=11\,236-10\,000=1236\ \text{zł}\]

Zadanie 3

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\sqrt{5\sqrt{5}}\) jest równa

\(5^{\frac{1}{4}}\)

\(5^{\frac{1}{2}}\)

\(5^{\frac{3}{4}}\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastki jako potęgi

Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku \(\frac{1}{2}\), więc możemy zastosować prawa działań na potęgach o tej samej podstawie.

\[\sqrt{5\sqrt{5}}=\left(5\cdot5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[5^{\frac{3}{4}}\]

Sprawdzenie

Otrzymana liczba jest dodatnia, a jej kwadrat wynosi \(5\sqrt{5}\), więc jest szukanym pierwiastkiem kwadratowym.

\[\left(5^{\frac{3}{4}}\right)^2=5^{\frac{3}{2}}=5\sqrt{5}\]

Zadanie 4

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{8}4-\log_{8}32\) jest równa

\((-2)\)

\((-1)\)

\(1\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc ich różnica jest logarytmem ilorazu argumentów.

\[\log_{8}4-\log_{8}32=\log_{8}\frac{4}{32}=\log_{8}\frac{1}{8}\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(8^{-1}=\frac{1}{8}\), szukany logarytm jest równy \(-1\).

\[\log_{8}\frac{1}{8}=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: −1.

\[-1\]

Sprawdzenie

Argumenty logarytmów są dodatnie, a podstawa 8 jest dodatnia i różna od 1. Kontrola: \(8^{-1}=\frac{1}{8}=\frac{4}{32}\).

\[8^{-1}=\frac{1}{8}=\frac{4}{32}\]

Zadanie 5

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba naturalna \(4^{12}\cdot 5^{24}\) jest podzielna przez \(20\).	P	F
Liczba naturalna \(4^{12}\cdot 5^{24}\) jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie liczby

Zapisujemy 4 jako kwadrat 2 i łączymy potęgi o tym samym wykładniku.

\[4^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}\]

2 Podzielność przez 20

Wyłączamy czynnik 20. Pozostały czynnik jest liczbą całkowitą, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

\[10^{24}=20\cdot(5\cdot10^{22})\]

3 Liczba cyfr

Potęga \(10^{24}\) to 1 i 24 zera, czyli liczba 25-cyfrowa. Drugie stwierdzenie też jest prawdziwe.

\[10^{24}=1\underbrace{00\ldots0}_{24\text{ zera}}\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{P}\]

Sprawdzenie

Iloraz przez 20 jest całkowity. Ponadto liczba leży od \(10^{24}\) do \(10^{25}-1\), więc ma dokładnie 25 cyfr.

\[\frac{10^{24}}{20}=5\cdot10^{22}\in\mathbb{N},\qquad 10^{24}\leqslant10^{24}<10^{25}\]

Zadanie 7

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^2+21n\) jest podzielna przez \(14\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz 7 przed nawias

Aby wykazać podzielność przez 14, wystarczy wykazać, że pozostały czynnik jest parzysty.

\[7n^2+21n=7n(n+3)\]

2 Wykaż parzystość iloczynu

Liczby całkowite n i n+3 mają różną parzystość, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn można zatem zapisać jako 2k dla pewnej liczby całkowitej k.

\[n(n+3)=2k\quad(k\in\mathbb{Z})\]

3 Zapisz liczbę jako wielokrotność 14

Po podstawieniu otrzymujemy liczbę podzielną przez 14.

\[7n^2+21n=7\cdot2k=14k\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n²+21n jest podzielna przez 14.

\[14\mid(7n^2+21n)\quad\text{dla każdego }n\in\mathbb{Z}\]

Sprawdzenie

Jeśli n jest parzyste, parzysty jest czynnik n. Jeśli n jest nieparzyste, parzysty jest czynnik n+3. Obejmuje to każdą liczbę całkowitą, więc w obu przypadkach n(n+3) jest parzyste.

\[n\equiv0\pmod 2\ \lor\ n+3\equiv0\pmod 2\]

Zadanie 1

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}\) jest równa

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz pierwiastki

Obie liczby pod pierwiastkami są nieujemne, więc można pomnożyć je pod jednym pierwiastkiem.

\[\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\]

2 Oblicz potęgę i dodaj

Wykładnik −1 oznacza odwrotność liczby.

\[\frac{5}{2}+2^{-1}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\]

Odpowiedź

Wynik to 3, czyli odpowiedź C.

\[3\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej wartości pierwiastka wynosi 25/4, a po dodaniu 1/2 otrzymujemy 3.

\[\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}=\frac{25}{8}\cdot2,\qquad \frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\]