Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

140 zadańStrona 8 z 10

Sortuj:

Zadanie 2

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) jest równa

\(2^{\frac{1}{6}}\)

\(2^{\frac{1}{5}}\)

\(2^{\frac{1}{3}}\)

\(2^{\frac{2}{3}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastki jako potęgi

Pierwiastek trzeciego stopnia oznacza potęgę o wykładniku \(\frac{1}{3}\), a pierwiastek kwadratowy — o wykładniku \(\frac{1}{2}\).

\[\sqrt{\sqrt[3]{2}}=\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\]

2 Pomnóż wykładniki

Przy podnoszeniu potęgi do potęgi mnożymy wykładniki.

\[\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{6}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\sqrt{\sqrt[3]{2}}=2^{\frac{1}{6}}\]

Sprawdzenie

Wynik jest dodatni, a jego szósta potęga wynosi 2, więc jest dodatnim pierwiastkiem szóstego stopnia z 2.

\[\left(2^{\frac{1}{6}}\right)^6=2\]

Zadanie 3

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dane są liczby \(x=4{,}5\cdot10^{-8}\) oraz \(y=1{,}5\cdot10^2\). Wtedy iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy

\(3\cdot10^{-10}\)

\(3\cdot10^{-6}\)

\(6{,}75\cdot10^{-10}\)

\(6{,}75\cdot10^{-6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podziel współczynniki i potęgi

Przy dzieleniu potęg o podstawie 10 odejmujemy wykładniki.

\[\frac{x}{y}=\frac{4{,}5}{1{,}5}\cdot10^{-8-2}=3\cdot10^{-10}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{x}{y}=3\cdot10^{-10}\]

Sprawdzenie

Mnożąc wynik przez y, otrzymujemy x.

\[(3\cdot10^{-10})(1{,}5\cdot10^2)=4{,}5\cdot10^{-8}\]

Zadanie 4

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_4 96-\log_4 6\) jest równa

\(\log_4 90\)

\(\log_6 96\)

\(4\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności logarytmów

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc ich różnica jest logarytmem ilorazu dodatnich argumentów.

\[\log_4 96-\log_4 6=\log_4\frac{96}{6}=\log_4 16\]

2 Obliczenie logarytmu

Ponieważ 16 jest kwadratem liczby 4, logarytm wynosi 2.

\[16=4^2\quad\Longrightarrow\quad\log_4 16=2\]

Odpowiedź

D. Wartość wyrażenia wynosi 2.

\[\log_4 96-\log_4 6=2\]

Sprawdzenie

Argumenty logarytmów są dodatnie, a podstawa 4 jest dodatnia i różna od 1. Ponadto 4 do potęgi 2 daje 16, czyli iloraz 96 przez 6.

\[96>0,\quad 6>0,\quad 4^2=16=\frac{96}{6}\]

Zadanie 1

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(|9-2|-|4-7|\) jest równa

\(4\)

\(10\)

\(-10\)

\(-4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości bezwzględnych

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera, więc jest nieujemna.

\[|9-2|=|7|=7,\qquad |4-7|=|-3|=3\]

2 Obliczenie różnicy

Podstawiamy otrzymane wartości do wyrażenia.

\[|9-2|-|4-7|=7-3=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, odpowiedź A.

\[4\]

Sprawdzenie

Ponieważ 9−2 jest dodatnie, a 4−7 ujemne, otrzymujemy 7−3=4, co odpowiada odpowiedzi A.

\[|7|-|-3|=7-3=4\]

Zadanie 2

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Iloczyn dodatnich liczb \(a\) i \(b\) jest równy 1350. Ponadto 15% liczby \(a\) jest równe 10% liczby \(b\). Stąd wynika, że \(b\) jest równe

\(9\)

\(18\)

\(45\)

\(50\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zależności między liczbami

Zamieniamy procenty na ułamki i przekształcamy równość, aby wyrazić \(a\) przez \(b\).

\[\frac{15}{100}a=\frac{10}{100}b\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{2}{3}b\]

2 Obliczenie liczby b

Podstawiamy otrzymaną zależność do równania \(ab=1350\). Wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ \(b>0\).

\[\frac{2}{3}b^2=1350\quad\Longrightarrow\quad b^2=2025\quad\Longrightarrow\quad b=45\]

Odpowiedź

Liczba b jest równa 45. Odpowiedź C.

\[b=45\]

Sprawdzenie

Z zależności procentowej otrzymujemy a = 30. Obie liczby są dodatnie, ich iloczyn wynosi 1350, a 15% z 30 i 10% z 45 to po 4,5.

\[30\cdot45=1350,\qquad 0{,}15\cdot30=4{,}5=0{,}10\cdot45\]

Zadanie 3

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Suma \(16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}\) jest równa

\(4^{24}\)

\(4^{25}\)

\(4^{48}\)

\(4^{49}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy jako iloczynu

Cztery jednakowe składniki zastępujemy iloczynem.

\[16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}=4\cdot16^{24}\]

2 Sprowadzenie do jednej podstawy

Ponieważ \(16=4^2\), stosujemy reguły potęgowania.

\[4\cdot16^{24}=4\cdot(4^2)^{24}=4^1\cdot4^{48}=4^{49}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[4^{49}\]

Sprawdzenie

Otrzymany wynik jest czterokrotnością jednego składnika sumy.

\[\frac{4^{49}}{16^{24}}=\frac{4^{49}}{4^{48}}=4\]

Zadanie 4

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{3}27-\log_{3}1\) jest równa

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Z definicji logarytmu wyznaczamy wykładniki, do których trzeba podnieść 3, aby otrzymać 27 i 1.

\[3^3=27,\quad 3^0=1\quad\Rightarrow\quad \log_{3}27=3,\quad \log_{3}1=0\]

2 Obliczenie różnicy

Podstawiamy obliczone wartości i odejmujemy.

\[\log_{3}27-\log_{3}1=3-0=3\]

Odpowiedź

Wynik to 3, czyli odpowiedź D.

\[3\]

Sprawdzenie

Równości 3³ = 27 i 3⁰ = 1 potwierdzają wartości obu logarytmów; podstawa 3 jest dodatnia i różna od 1, a argumenty są dodatnie.

\[3^3=27,\quad 3^0=1\]

Zadanie 29

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \[(1{,}5)^{100}<6^{25}.\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do tej samej potęgi

Ponieważ \(100=4\cdot25\), możemy porównać podstawy potęg o wykładniku 25.

\[(1{,}5)^{100}=\left(\left(\frac32\right)^4\right)^{25}=\left(\frac{81}{16}\right)^{25}\]

2 Porównanie podstaw

Mianownik jest dodatni, więc porównujemy liczniki. Podnoszenie dodatnich liczb do potęgi 25 zachowuje nierówność.

\[\frac{81}{16}<\frac{96}{16}=6\quad\Longrightarrow\quad\left(\frac{81}{16}\right)^{25}<6^{25}\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa.

\[(1{,}5)^{100}<6^{25}\]

Sprawdzenie

Iloraz lewej i prawej strony wynosi \(\left(\frac{27}{32}\right)^{25}<1\), co potwierdza nierówność.

\[\frac{(1{,}5)^{100}}{6^{25}}=\left(\frac{81}{96}\right)^{25}=\left(\frac{27}{32}\right)^{25}<1\]

Zadanie 1

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Niech \(a=-2\), \(b=3\). Wartość wyrażenia \(a^b-b^a\) jest równa

\(\frac{73}{9}\)

\(\frac{71}{9}\)

\(-\frac{73}{9}\)

\(-\frac{71}{9}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie danych

Podstawiamy podane wartości za a i b.

\[a^b-b^a=(-2)^3-3^{-2}\]

2 Obliczenie potęg

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność odpowiedniej potęgi.

\[(-2)^3-3^{-2}=-8-\frac{1}{3^2}=-8-\frac{1}{9}\]

3 Odjęcie ułamków

Sprowadzamy liczby do wspólnego mianownika 9.

\[-8-\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}-\frac{1}{9}=-\frac{73}{9}\]

Odpowiedź

Wynik to −73/9, czyli odpowiedź C.

\[-\frac{73}{9}\]

Sprawdzenie

Ponieważ 3² = 9, mamy 3⁻² = 1/9, a (−2)³ = −8. Ich różnica wynosi −73/9.

\[-\frac{73}{9}+\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}=-8\]

Zadanie 2

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(9^9\cdot81^2\) jest równa

\(81^4\)

\(81\)

\(9^{13}\)

\(9^{36}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz potęgi przy tej samej podstawie

Ponieważ \(81=9^2\), możemy przedstawić oba czynniki jako potęgi liczby 9.

\[9^9\cdot81^2=9^9\cdot(9^2)^2=9^9\cdot9^4\]

2 Dodaj wykładniki

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy ich wykładniki.

\[9^9\cdot9^4=9^{9+4}=9^{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[9^{13}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(81^2=9^4\), wyrażenie ma wykładnik \(9+4=13\), zgodny z odpowiedzią C.

\[9^9\cdot81^2=9^9\cdot9^4=9^{13}\]

Zadanie 3

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia \(\log_4 8+5\log_4 2\) jest równa

\(2\)

\(4\)

\(2+\log_4 5\)

\(1+\log_4 10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Zapisujemy argumenty i podstawę jako potęgi liczby 2, aby obliczyć oba logarytmy.

\[\log_4 8=\log_{2^2}2^3=\frac32,\qquad \log_4 2=\frac12\]

2 Dodanie składników

Podstawiamy obliczone wartości do wyrażenia.

\[\log_4 8+5\log_4 2=\frac32+5\cdot\frac12=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, czyli odpowiedź B.

\[4\]

Sprawdzenie

Korzystając z własności logarytmów, otrzymujemy logarytm liczby 256 przy podstawie 4. Ponieważ czwarta potęga 4 wynosi 256, wynik jest poprawny.

\[\log_4(8\cdot2^5)=\log_4 256=4,\qquad 4^4=256\]

Zadanie 5

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\left(2\sqrt{7}-5\right)^2\cdot\left(2\sqrt{7}+5\right)^2\) jest równa

\(9\)

\(3\)

\(2809\)

\(28-20\sqrt{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz kwadraty

Iloczyn kwadratów jest kwadratem iloczynu, więc możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów.

\[(2\sqrt{7}-5)^2(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5)\right)^2\]

2 Oblicz wartość

Iloczyn sumy i różnicy tych samych liczb to różnica ich kwadratów.

\[\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9\]

Odpowiedź

Wynik to 9, czyli odpowiedź A.

\[9\]

Sprawdzenie

Czynniki przed podniesieniem do kwadratu mają iloczyn 3, więc całe wyrażenie ma wartość 9.

\[(2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5)=28-25=3,\quad 3^2=9\]

Zadanie 9

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku \(3:4:5\). Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość

\(41\frac{2}{3}\) metra.

\(33\frac{1}{3}\) metra.

60 metrów.

25 metrów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie jednej części stosunku

Dodajemy liczby w stosunku, aby ustalić, na ile równych części przypada cała lina.

\[3+4+5=12,\qquad 100:12=\frac{25}{3}\ \text{m}\]

2 Długość najdłuższego odcinka

Najdłuższy odcinek odpowiada pięciu częściom stosunku, więc mnożymy długość jednej części przez 5.

\[5\cdot\frac{25}{3}=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}\ \text{m}\]

Odpowiedź

Najdłuższa część ma długość 41⅔ metra. Odpowiedź A.

\[41\frac{2}{3}\ \text{m}\quad\text{— A}\]

Sprawdzenie

Długości trzech części sumują się do 100 metrów.

\[3\cdot\frac{25}{3}+4\cdot\frac{25}{3}+5\cdot\frac{25}{3}=25+\frac{100}{3}+\frac{125}{3}=100\ \text{m}\]

Zadanie 1

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{7^{6}\cdot 6^{7}}{42^{6}}\) jest równa

\(42^{36}\)

\(42^{7}\)

\(6\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłożenie mianownika

Ponieważ 42=7·6, stosujemy wzór na potęgę iloczynu.

\[42^{6}=(7\cdot6)^{6}=7^{6}\cdot6^{6}\]

2 Skrócenie ułamka

Skracamy jednakowe czynniki licznika i mianownika.

\[\frac{7^{6}\cdot6^{7}}{42^{6}}=\frac{7^{6}\cdot6^{7}}{7^{6}\cdot6^{6}}=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 6.

\[6\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy licznik.

\[6\cdot42^{6}=6\cdot7^{6}\cdot6^{6}=7^{6}\cdot6^{7}\]

Zadanie 2

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o 30%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką

o 50%

o 56%

o 60%

o 66%

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie podwyżek

Każda podwyżka jest liczona od ceny obowiązującej w danym momencie, więc mnożymy cenę początkową przez kolejne współczynniki.

\[1{,}20\cdot 1{,}30=1{,}56\]

2 Wyznaczenie jednej podwyżki

Cena końcowa stanowi 156% ceny początkowej, czyli jest od niej wyższa o 56%.

\[156\%-100\%=56\%\]

Odpowiedź

Jedna równoważna podwyżka wynosi 56% — odpowiedź B.

\[56\%\]

Sprawdzenie

Dla ceny początkowej 100 zł kolejne ceny wynoszą 120 zł i 156 zł. Różnica 56 zł stanowi 56% ceny początkowej.

\[100\cdot1{,}20=120,\quad120\cdot1{,}30=156,\quad\frac{156-100}{100}=56\%\]