Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Wartość wyrażenia $\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ jest równa

$5-2\sqrt{6}$

$5$

$5+2\sqrt{6}$

$-1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W obu składnikach występuje ten sam nawias, więc korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

\[\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})\]

2 Zastosuj wzór skróconego mnożenia

Iloczyn sumy i różnicy tych samych liczb jest różnicą ich kwadratów.

\[(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi −1. Odpowiedź D.

\[-1\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu nawiasów wyrazy z pierwiastkiem z 6 się redukują, a pozostałe dają −1.

\[2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1\]

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba $\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}$ jest równa

$7^{\frac{5}{3}}$

$7^1$

$7^{\frac{3}{2}}$

$7^{\frac{10}{3}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połączenie potęg

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki.

\[7^{\frac54}\cdot7^{\frac14}=7^{\frac54+\frac14}=7^{\frac32}\]

2 Podniesienie do potęgi

Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki.

\[\left(7^{\frac32}\right)^{\frac23}=7^{\frac32\cdot\frac23}=7^1=7\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: 7.

\[7^1=7\]

Sprawdzenie

Iloczyn wykładników wynosi 1, więc otrzymany wynik jest równy 7.

\[\left(\frac54+\frac14\right)\cdot\frac23=\frac32\cdot\frac23=1\]

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Niech $\log_3 18=c$. Wtedy $\log_3 54$ jest równy

$c-1$

$c$

$c+1$

$c+2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby 54 jako iloczynu

Ponieważ 54 jest trzykrotnością 18, możemy zastosować wzór na logarytm iloczynu.

\[54=3\cdot18\]

2 Obliczenie logarytmu

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów, a logarytm z 3 przy podstawie 3 wynosi 1.

\[\log_3 54=\log_3(3\cdot18)=\log_3 3+\log_3 18=1+c\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: c+1.

\[\log_3 54=c+1\]

Sprawdzenie

Z definicji logarytmu 3 do potęgi c jest równe 18, więc 3 do potęgi c+1 jest równe 54.

\[3^{c+1}=3\cdot3^c=3\cdot18=54\]

Zadanie 4

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Cenę drukarki obniżono o $20\%$, a następnie nową cenę obniżono o $10\%$. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

$18\%$

$28\%$

$30\%$

$72\%$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ceny po obniżkach

Przyjmujemy cenę początkową równą $x$. Po obniżce o $20\%$ pozostaje $80\%$ ceny, a po kolejnej obniżce o $10\%$ pozostaje $90\%$ nowej ceny.

\[x\cdot 0{,}8\cdot 0{,}9=0{,}72x\]

2 Obliczenie łącznej obniżki

Odejmujemy cenę końcową od początkowej i odnosimy różnicę do ceny początkowej.

\[\frac{x-0{,}72x}{x}=0{,}28=28\%\quad (x>0)\]

Odpowiedź

Cena zmniejszyła się o 28%. Odpowiedź B.

\[28\%\]

Sprawdzenie

Dla ceny początkowej 100 zł po obniżkach otrzymujemy 80 zł i 72 zł. Różnica 28 zł stanowi 28% ceny początkowej.

\[100\,\text{zł}\cdot 0{,}8\cdot 0{,}9=72\,\text{zł},\qquad \frac{100-72}{100}=28\%\]

Zadanie 6

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, spełniających jednocześnie nierówności $0<7-3x$ oraz $7-3x\leq 5x-3$.

$Oś liczbowa: zaznaczone części na lewo od zamalowanego punktu $\frac{5}{4}$ oraz na prawo od niezamalowanego punktu $\frac{7}{3}$.$

$Oś liczbowa: zaznaczony odcinek od zamalowanego punktu $\frac{5}{4}$ do niezamalowanego punktu $\frac{7}{3}$.$

$Oś liczbowa: zaznaczona część na lewo od niezamalowanego punktu $\frac{7}{3}$.$

$Oś liczbowa: zaznaczona część na prawo od zamalowanego punktu $\frac{5}{4}$.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsza nierówność

Odejmujemy 7, a następnie dzielimy przez liczbę ujemną, więc zmieniamy zwrot nierówności.

\[0<7-3x\iff 3x<7\iff x<\frac{7}{3}\]

2 Druga nierówność

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę i dzielimy przez 8.

\[7-3x\leq 5x-3\iff 10\leq 8x\iff x\geq\frac{5}{4}\]

3 Część wspólna

Obie nierówności mają zachodzić jednocześnie, więc wybieramy część wspólną otrzymanych przedziałów.

\[x\in\left[\frac{5}{4},\frac{7}{3}\right)\]

Odpowiedź

Rysunek B.

\[\boxed{x\in\left[\frac{5}{4},\frac{7}{3}\right)}\]

Sprawdzenie

Liczba 5/4 spełnia obie nierówności, więc lewy koniec należy do zbioru. Dla 7/3 pierwsza nierówność jest fałszywa, więc prawy koniec nie należy do zbioru.

\[7-3\cdot\frac{5}{4}=\frac{13}{4}>0,\quad 5\cdot\frac{5}{4}-3=\frac{13}{4};\qquad 7-3\cdot\frac{7}{3}=0\]

Zadanie 1

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba $9^{-10}\cdot 3^{19}$ jest równa

$27^9$

$9^{-2}$

$3^{10}$

$3^{-1}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Ponieważ $9=3^2$, zapisujemy obie potęgi przy podstawie $3$.

\[9^{-10}\cdot 3^{19}=(3^2)^{-10}\cdot 3^{19}=3^{-20}\cdot 3^{19}\]

2 Dodanie wykładników

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[3^{-20}\cdot 3^{19}=3^{-20+19}=3^{-1}\]

Odpowiedź

Wynik to $3^{-1}$, czyli odpowiedź D.

\[3^{-1}=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Dzieląc potęgi, otrzymujemy $3^{19}/3^{20}=1/3$, co zgadza się z odpowiedzią D.

\[9^{-10}\cdot 3^{19}=\frac{3^{19}}{9^{10}}=\frac{3^{19}}{3^{20}}=\frac{1}{3}\]

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba $\log_6 9 + 2\log_6 2$ jest równa

$\log_6\frac{9}{4}$

$1$

$2$

$\log_6\frac{81}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności logarytmu

Współczynnik przed logarytmem przenosimy do wykładnika.

\[2\log_6 2=\log_6 2^2=\log_6 4\]

2 Dodanie logarytmów

Logarytmy o tej samej podstawie dodajemy, mnożąc ich argumenty.

\[\log_6 9+\log_6 4=\log_6(9\cdot4)=\log_6 36=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź C.

\[\boxed{2}\]

Sprawdzenie

Ponieważ 6 do potęgi 2 daje 36, otrzymana wartość jest poprawna. Podstawa logarytmu i oba argumenty spełniają wymagane warunki.

\[6^2=36,\quad 6>0,\quad 6\ne1,\quad 9>0,\quad 2>0\]

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba $x$ stanowi $80\%$ liczby dodatniej $y$. Wynika stąd, że liczba $y$ to

$125\%$ liczby $x$.

$120\%$ liczby $x$.

$25\%$ liczby $x$.

$20\%$ liczby $x$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz zależność

80% liczby y to 0,8y, więc zapisujemy dane w postaci równania.

\[x=0{,}8y=\frac{4}{5}y\]

2 Wyznacz y

Dzielimy obie strony przez dodatnią liczbę 0,8, aby wyrazić y za pomocą x.

\[y=\frac{x}{0{,}8}=\frac{5}{4}x=1{,}25x\]

Odpowiedź

Liczba y to 125% liczby x. Odpowiedź A.

\[y=125\%x\]

Sprawdzenie

80% ze 125% liczby x daje 100% liczby x, zgodnie z treścią zadania.

\[0{,}8\cdot1{,}25x=x\]

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba $1-(2^7-1)^2$ jest równa

$-2^{14}$

$2^8-2^{14}$

$2-2^{14}$

$-2^{14}-2\cdot 2^7+2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy, aby usunąć nawias.

\[(2^7-1)^2=2^{14}-2\cdot2^7+1=2^{14}-2^8+1\]

2 Uprość wyrażenie

Odejmujemy otrzymany wynik i redukujemy jedynki.

\[1-(2^7-1)^2=1-2^{14}+2^8-1=2^8-2^{14}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^8-2^{14}\]

Sprawdzenie

Ponieważ $2^7-1=127$, wyjściowe wyrażenie ma wartość $1-127^2=-16128$. Otrzymany wynik daje $256-16384=-16128$.

\[1-127^2=-16128=2^8-2^{14}\]

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba $\log_{\sqrt{2}}4^8$ jest równa

$2$

$4$

$32$

$16$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie jako potęg liczby 2

Sprowadzamy podstawę i liczbę logarytmowaną do tej samej podstawy, aby zastosować własność logarytmu.

\[\sqrt{2}=2^{\frac12},\qquad 4^8=(2^2)^8=2^{16}\]

2 Obliczenie logarytmu

Korzystamy z własności $\log_{a^m}a^n=\frac{n}{m}$, gdzie $a>0$ i $a\neq1$.

\[\log_{\sqrt{2}}4^8=\log_{2^{\frac12}}2^{16}=\frac{16}{\frac12}=32\]

Odpowiedź

Wynik to 32, odpowiedź C.

\[\boxed{32\text{ — C}}\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1. Ponieważ podniesienie jej do potęgi 32 daje liczbę logarytmowaną, wynik jest poprawny.

\[(\sqrt{2})^{32}=(2^{\frac12})^{32}=2^{16}=4^8\]

Zadanie 4

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Masę Słońca równą $1{,}989\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}$ przybliżono do $2\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}$. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

$0{,}0011\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}$

$1{,}1\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}$

$0{,}11\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}$

$0{,}011\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie błędu bezwzględnego

Błąd bezwzględny to wartość bezwzględna różnicy między przybliżeniem a dokładną masą.

\[\left|2\cdot10^{30}-1{,}989\cdot10^{30}\right|=\left|2-1{,}989\right|\cdot10^{30}=0{,}011\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[0{,}011\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\]

Sprawdzenie

Dodanie obliczonej różnicy do dokładnej masy daje podane przybliżenie.

\[1{,}989\cdot10^{30}+0{,}011\cdot10^{30}=2\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\]

Zadanie 27

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dane są liczby $a=3\log_{2}12-\log_{2}27$ i $b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})$. Wartością $a-b$ jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby a

Korzystamy z własności logarytmów, aby połączyć wyrażenia w jeden logarytm.

\[a=\log_{2}\frac{12^3}{27}=\log_{2}64=6\]

2 Obliczenie liczby b

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

\[b=3(\sqrt{6}-\sqrt{7})(\sqrt{6}+\sqrt{7})=3(6-7)=-3\]

3 Obliczenie różnicy

Podstawiamy obliczone wartości.

\[a-b=6-(-3)=9\]

Odpowiedź

Szukana liczba całkowita to 9.

\[9\]

Sprawdzenie

Ponieważ 64 = 2⁶, otrzymujemy a = 6. Ponieważ 6 − 7 = −1, otrzymujemy b = −3, więc różnica wynosi 9.

\[2^6=64,\quad 3(6-7)=-3,\quad 6-(-3)=9\]

Zadanie 1

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba $(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^{2}$ jest równa

$11$

$17$

$17+4\sqrt{15}$

$17+2\sqrt{15}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy, aby uwzględnić także podwojony iloczyn składników.

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

2 Obliczenie składników

Podnosimy oba pierwiastki do kwadratu i upraszczamy ich iloczyn.

\[(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2=5+2\cdot\sqrt{5}\cdot2\sqrt{3}+12=17+4\sqrt{15}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[17+4\sqrt{15}\]

Sprawdzenie

Po rozpisaniu kwadratu sumy składniki kwadratowe dają 5+12=17, a składnik mieszany 4√15, więc wynik odpowiada odpowiedzi C.

\[(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{3})^2=17,\qquad 2\cdot\sqrt{5}\cdot2\sqrt{3}=4\sqrt{15}\]

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczbę $\sqrt[4]{9\cdot\sqrt{3}}$ można zapisać w postaci

$3^{\frac{5}{8}}$

$3^{\frac{11}{4}}$

$3^{\frac{1}{4}}$

$3^{\frac{9}{8}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie czynników jako potęg liczby 3

Zamieniamy 9 i pierwiastek z 3 na potęgi o tej samej podstawie, aby dodać wykładniki.

\[9\sqrt{3}=3^2\cdot 3^{\frac12}=3^{\frac52}\]

2 Obliczenie pierwiastka czwartego stopnia

Pierwiastek czwartego stopnia z liczby dodatniej jest jej potęgą o wykładniku $\frac14$.

\[\sqrt[4]{3^{\frac52}}=\left(3^{\frac52}\right)^{\frac14}=3^{\frac52\cdot\frac14}=3^{\frac58}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[3^{\frac58}\]

Sprawdzenie

Podniesienie otrzymanej liczby do czwartej potęgi daje wyrażenie pod pierwiastkiem; wynik jest dodatni.

\[\left(3^{\frac58}\right)^4=3^{\frac52}=9\sqrt{3}\]

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt