Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

140 zadańStrona 3 z 10

Sortuj:

Zadanie 3

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa

\(30\)

\(31\)

\(5^{12}\)

\(5^{27}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podziel każdy składnik

Dzielimy każdy składnik licznika przez mianownik, a przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=5^{12-12}+5^{13-12}+5^{14-12}=1+5+25=31\]

Odpowiedź

Liczba jest równa 31. Odpowiedź B.

\[31\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy licznik wyjściowego ułamka.

\[31\cdot5^{12}=(1+5+25)\cdot5^{12}=5^{12}+5^{13}+5^{14}\]

Zadanie 4

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_3 108-2\log_3 2\) jest równa

\(3\)

\(9\)

\(\log_3 104\)

\(2\log_3 54\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności logarytmów

Ponieważ argumenty logarytmów są dodatnie, możemy użyć wzoru na logarytm potęgi i ilorazu.

\[\log_3 108-2\log_3 2=\log_3 108-\log_3 2^2=\log_3\frac{108}{4}\]

2 Obliczenie wartości

Iloraz wynosi 27, czyli trzecią potęgę liczby 3.

\[\log_3\frac{108}{4}=\log_3 27=\log_3 3^3=3\]

Odpowiedź

Wynik to 3, czyli odpowiedź A.

\[3\]

Sprawdzenie

Ponieważ 108 = 27 · 4, odjęcie logarytmu liczby 4 od logarytmu liczby 108 daje logarytm liczby 27, równy 3.

\[\log_3 108-\log_3 4=\log_3 27=3\]

Zadanie 6

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dana jest nierówność

\[3-2(1-2x)\geq 2x-17\]

Wybierz rysunek, na którym poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność.

Oś liczbowa z zaznaczonym zbiorem liczb, wariant A.

Oś liczbowa z zaznaczonym zbiorem liczb, wariant B.

Oś liczbowa z zaznaczonym zbiorem liczb, wariant C.

Oś liczbowa z zaznaczonym zbiorem liczb, wariant D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń nawias

Mnożymy każdy wyraz w nawiasie przez −2.

\[3-2(1-2x)\geq 2x-17\iff 1+4x\geq 2x-17\]

2 Wyznacz x

Odejmujemy 2x i 1 od obu stron, a następnie dzielimy przez dodatnie 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[2x\geq -18\iff x\geq -9\]

3 Wybierz rysunek

Zamalowana kropka oznacza, że −9 należy do zbioru rozwiązań, a zaznaczenie w prawo obejmuje liczby większe od −9.

\[x\in[-9,\infty)\]

Odpowiedź

Rysunek D.

\[x\in[-9,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x = −9 obie strony nierówności są równe −35. Dla x = −10 lewa strona wynosi −39, a prawa −37, więc liczba mniejsza od −9 nie spełnia nierówności.

\[x=-9:\ -35\geq -35;\qquad x=-10:\ -39\not\geq -37\]

Zadanie 1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}\) jest równa

\((-16)\)

\((-4)\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz 32 jako potęgę 2

Sprowadzamy obie potęgi do tej samej podstawy, aby zastosować prawa działań na potęgach.

\[2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}=2^{-1}\cdot(2^5)^{\frac{3}{5}}\]

2 Oblicz wartość

Mnożymy wykładniki potęgi potęgi, a następnie dodajemy wykładniki potęg o tej samej podstawie.

\[2^{-1}\cdot 2^{5\cdot\frac{3}{5}}=2^{-1}\cdot 2^3=2^2=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Pierwiastek piątego stopnia z 32 to 2, więc jego sześcian to 8. Po pomnożeniu przez jedną drugą otrzymujemy 4.

\[2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}=\frac12\cdot(\sqrt[5]{32})^3=\frac12\cdot 2^3=4\]

Zadanie 2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{3}\left(\frac{3}{2}\right)+\log_{3}\left(\frac{2}{9}\right)\) jest równa

\(\log_{3}\frac{31}{18}\)

\(\log_{3}\frac{5}{11}\)

\((-1)\)

\(\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Argumenty są dodatnie, więc suma logarytmów o tej samej podstawie jest logarytmem iloczynu.

\[\log_{3}\left(\frac{3}{2}\right)+\log_{3}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_{3}\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\right)=\log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(\frac{1}{3}=3^{-1}\), otrzymujemy wartość logarytmu.

\[\log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)=\log_{3}(3^{-1})=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: −1.

\[-1\]

Sprawdzenie

Argumenty obu logarytmów są dodatnie, a \(3^{-1}=\frac{1}{3}\), więc otrzymany wynik spełnia definicję logarytmu.

\[3^{-1}=\frac{1}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\]

Zadanie 3

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\left(2\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)^2\) jest równa

\(22\)

\(42\)

\(42+4\sqrt{5}\)

\(42+8\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat sumy

Stosujemy wzór na kwadrat sumy, aby uwzględnić także iloczyn obu składników.

\[(2\sqrt{10}+\sqrt{2})^2=(2\sqrt{10})^2+2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=40+4\sqrt{20}+2\]

2 Uprość wynik

Wyłączamy czynnik będący kwadratem spod pierwiastka i dodajemy liczby całkowite.

\[40+4\sqrt{20}+2=42+4\cdot2\sqrt{5}=42+8\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[42+8\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi D występuje dokładnie otrzymana wartość. Wyraz mieszany wynosi \(2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=8\sqrt{5}\), więc współczynnik przy pierwiastku jest poprawny.

\[2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{20}=8\sqrt{5}\]

Zadanie 4

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości \(K_0\) zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

\(K_0\cdot(1{,}06)^3\)

\(K_0\cdot(1{,}02)^3\)

\(K_0\cdot(1{,}03)^6\)

\(K_0\cdot1{,}18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kapitał po roku

Odsetki wynoszą 6% bieżącego kapitału, więc po każdym roku kapitał mnożymy przez 1,06.

\[K_1=K_0+0{,}06K_0=1{,}06K_0\]

2 Kapitał po trzech latach

Odsetki są doliczane co roku, dlatego trzykrotnie stosujemy ten sam mnożnik.

\[K_3=K_0\cdot(1{,}06)^3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[K_0\cdot(1{,}06)^3\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po trzech latach kapitał wynosi 1,191016 kwoty początkowej; wynik uwzględnia odsetki od odsetek.

\[(1{,}06)^3=1{,}191016\]

Zadanie 5

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \(5n^3-5n\) jest podzielna przez \(30\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozkład na czynniki

Wyłączamy 5 i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby otrzymać iloczyn trzech kolejnych liczb.

\[5n^3-5n=5n(n^2-1)=5(n-1)n(n+1)\]

2 Podzielność iloczynu

Wśród trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez 3, a co najmniej jedna jest parzysta. Ponieważ 2 i 3 są względnie pierwsze, ich iloczyn jest podzielny przez 6.

\[6\mid(n-1)n(n+1)\]

3 Wniosek

Mnożenie liczby podzielnej przez 6 przez 5 daje liczbę podzielną przez 30.

\[30\mid 5(n-1)n(n+1)=5n^3-5n\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 5n³ − 5n jest podzielna przez 30.

\[30\mid(5n^3-5n)\quad\text{dla każdego }n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\]

Sprawdzenie

Dla n = 1 otrzymujemy 0, które jest podzielne przez 30. Dla pozostałych dopuszczalnych n iloraz przez 30 jest całkowity, ponieważ jest ilorazem iloczynu trzech kolejnych liczb przez 6.

\[n=1:\ 5n^3-5n=0=30\cdot0;\qquad \frac{5n^3-5n}{30}=\frac{(n-1)n(n+1)}{6}\in\mathbb{Z}\]

Zadanie 1

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}\) jest równa

\((-16)\)

\((-4)\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz 32 jako potęgę 2

Dzięki temu można zastosować wzór na potęgę potęgi.

\[32^{\frac{3}{5}}=(2^5)^{\frac{3}{5}}=2^3=8\]

2 Oblicz iloczyn

Potęga o wykładniku −1 jest odwrotnością podstawy.

\[2^{-1}\cdot 8=\frac{1}{2}\cdot 8=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, czyli odpowiedź D.

\[4\]

Sprawdzenie

Liczba 8 podniesiona do potęgi piątej daje 32 do potęgi trzeciej, więc obliczona wartość potęgi jest poprawna; jej połowa wynosi 4.

\[8^5=32^3,\qquad \frac{8}{2}=4\]

Zadanie 2

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_3\left(\frac{3}{2}\right)+\log_3\left(\frac{2}{9}\right)\) jest równa

\(\log_3\frac{31}{18}\)

\(\log_3\frac{5}{11}\)

\((-1)\)

\(\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Oba argumenty są dodatnie, więc stosujemy wzór na logarytm iloczynu.

\[\log_3\left(\frac{3}{2}\right)+\log_3\left(\frac{2}{9}\right)=\log_3\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\right)=\log_3\left(\frac{1}{3}\right)\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(\frac{1}{3}=3^{-1}\), logarytm ma wartość \(-1\).

\[\log_3\left(\frac{1}{3}\right)=\log_3(3^{-1})=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(-1\).

\[-1\]

Sprawdzenie

Dla podstawy 3 otrzymujemy \(3^{-1}=\frac{1}{3}\), czyli iloczyn argumentów logarytmów.

\[\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{3}=3^{-1}\]

Zadanie 3

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\left(2\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)^2\) jest równa

\(22\)

\(42\)

\(42+4\sqrt{5}\)

\(42+8\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy

Korzystamy ze wzoru \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), gdzie \(a=2\sqrt{10}\) i \(b=\sqrt{2}\).

\[(2\sqrt{10}+\sqrt{2})^2=(2\sqrt{10})^2+2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2\]

2 Obliczenie składników

Podnosimy składniki do kwadratu i mnożymy pierwiastki, korzystając z równości \(\sqrt{10}\sqrt{2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

\[40+4\sqrt{20}+2=40+8\sqrt{5}+2=42+8\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Wynik to \(42+8\sqrt{5}\), czyli odpowiedź D.

\[42+8\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Po wyłączeniu \(\sqrt{2}\) przed nawias otrzymujemy ten sam wynik.

\[(2\sqrt{10}+\sqrt{2})^2=2(2\sqrt{5}+1)^2=2(21+4\sqrt{5})=42+8\sqrt{5}\]

Zadanie 5

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

\(K_0\cdot(1{,}06)^3\)

\(K_0\cdot(1{,}02)^3\)

\(K_0\cdot(1{,}03)^6\)

\(K_0\cdot1{,}18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie rocznego mnożnika

Bank co roku dopisuje 6% od bieżącego kapitału, więc po każdym roku kwotę mnożymy przez 1,06.

\[K_{n+1}=K_n+0{,}06K_n=1{,}06K_n\]

2 Kapitał po trzech latach

Stosujemy ten sam mnożnik trzy razy, ponieważ odsetki są dopisywane po każdym z trzech lat.

\[K_3=K_0\cdot1{,}06\cdot1{,}06\cdot1{,}06=K_0\cdot(1{,}06)^3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[K_0\cdot(1{,}06)^3\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po pierwszym roku kapitał wynosi 1,06K₀, a po drugim 1,06²K₀. Doliczenie kolejnych 6% daje 1,06³K₀, zgodnie z odpowiedzią A.

\[K_2=1{,}06^2K_0,\qquad K_3=1{,}06K_2=1{,}06^3K_0\]

Zadanie 1

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Na początku sezonu letniego cenę \(x\) pary sandałów podwyższono o \(20\%\). Po miesiącu nową cenę obniżono o \(10\%\). Po obu tych zmianach ta para sandałów kosztowała 81 zł. Początkowa cena \(x\) pary sandałów była równa

45 zł

73,63 zł

75 zł

87,48 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zmian ceny

Podwyżka o 20% oznacza pomnożenie ceny przez 1,2, a obniżka nowej ceny o 10% — przez 0,9.

\[x\cdot 1{,}2\cdot 0{,}9=81\]

2 Obliczenie ceny początkowej

Łączny mnożnik wynosi 1,08, więc dzielimy obie strony równania przez 1,08.

\[1{,}08x=81\quad\Rightarrow\quad x=\frac{81}{1{,}08}=75\]

Odpowiedź

Początkowa cena wynosiła 75 zł. Odpowiedź C.

\[x=75\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po podwyżce cena 75 zł wynosi 90 zł, a po obniżce o 10% wynosi 81 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[75\cdot 1{,}2=90,\qquad 90\cdot 0{,}9=81\]

Zadanie 2

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}\) jest równa

\(2^{24}\)

\(2^{16}\)

\(2^{12}\)

\(2^8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczb jako potęg dwójki

Liczby 16 i 8 są potęgami dwójki, więc można zastosować prawa działań na potęgach.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}=(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16}\]

2 Obliczenie wykładnika

Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki, a przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy je.

\[(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16}=2^{-32}\cdot2^{48}=2^{16}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{16}\]

Sprawdzenie

Kontrola: zapisując 8¹⁶ jako (2⁴)¹², otrzymujemy 16¹²/16⁸ = 16⁴ = 2¹⁶.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}=\frac{(2^3)^{16}}{(2^4)^8}=\frac{2^{48}}{2^{32}}=2^{16}\]

Zadanie 3

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{\sqrt{3}}9\) jest równa

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie logarytmu jako wykładnika

Logarytm wskazuje wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać 9.

\[\log_{\sqrt{3}}9=x\iff(\sqrt{3})^x=9\]

2 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Zapisujemy obie strony jako potęgi liczby 3, aby porównać wykładniki.

\[(3^{\frac12})^x=3^2\iff\frac{x}{2}=2\iff x=4\]

Odpowiedź

C. Liczba jest równa 4.

\[\log_{\sqrt{3}}9=4\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1. Ponadto jej czwarta potęga wynosi 9.

\[\sqrt{3}>0,\quad\sqrt{3}\ne1,\quad(\sqrt{3})^4=9\]