Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

53 zadańStrona 3 z 4

Sortuj:

Zadanie 11.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla }x\in[-4,-2]\\3 & \text{dla }x\in(-2,2]\\-3x+9 & \text{dla }x\in(2,4)\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi osiami, podziałką oraz końcami wykresu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wartości na poszczególnych przedziałach

Każdy wzór jest liniowy, więc o jego wartościach decydują wartości na końcach podanego przedziału oraz to, czy końce do niego należą.

\[x\in[-4,-2]\Rightarrow f(x)\in[1,3],\qquad x\in(-2,2]\Rightarrow f(x)=3,\qquad x\in(2,4)\Rightarrow f(x)\in(-3,3).\]

2 Połączenie otrzymanych zbiorów

Łączymy wartości przyjmowane przez wszystkie części funkcji.

\[[1,3]\cup\{3\}\cup(-3,3)=(-3,3].\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-3,3]\).

\[W_f=(-3,3]\]

Sprawdzenie

Wartość \(3\) jest przyjmowana, na przykład dla \(x=-2\). Wartość \(-3\) wymagałaby \(x=4\), który nie należy do dziedziny. Każda wartość pomiędzy \(-3\) a \(3\) jest przyjmowana na odcinku, gdzie \(f(x)=-3x+9\).

\[f(-2)=3,\qquad -3\cdot4+9=-3,\quad 4\notin(2,4)\]

Zadanie 11.3

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla } x\in[-4,-2]\\3 & \text{dla } x\in(-2,2]\\-3x+9 & \text{dla } x\in(2,4)\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, podziałką i oznaczeniami punktów końcowych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie wartości na kolejnych częściach dziedziny

Szukamy argumentów, dla których \(f(x)>0\). Na dwóch pierwszych przedziałach wartości funkcji są dodatnie, a na trzecim rozwiązujemy nierówność.

\[\begin{aligned}x\in[-4,-2]&:\quad f(x)=x+5\ge 1>0,\\x\in(-2,2]&:\quad f(x)=3>0,\\x\in(2,4)&:\quad -3x+9>0\iff x<3,\text{ więc }x\in(2,3).\end{aligned}\]

2 Połączenie przedziałów

Łączymy wszystkie otrzymane przedziały argumentów.

\[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,3)=[-4,3)\]

Odpowiedź

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału \([-4,3)\).

\[[-4,3)\]

Sprawdzenie

Lewy koniec należy do zbioru, bo \(f(-4)=1>0\). Prawy koniec nie należy, bo \(f(3)=0\); dla \(3<x<4\) wartości funkcji są ujemne.

\[f(-4)=1>0,\qquad f(3)=0,\qquad -3x+9<0\ \text{dla }3<x<4\]

Zadanie 11.4

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla }x\in[-4,-2],\\3 & \text{dla }x\in(-2,2],\\-3x+9 & \text{dla }x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=3\) jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie pierwszego przedziału

Na przedziale \([-4,-2]\) rozwiązujemy równanie wynikające ze wzoru funkcji.

\[x+5=3\iff x=-2\]

2 Sprawdzenie pozostałych przedziałów

Funkcja ma wartość \(3\) dla każdego \(x\in(-2,2]\). Z ostatniego wzoru otrzymujemy \(x=2\), ale ta część funkcji obowiązuje tylko dla \(x\in(2,4)\).

\[-3x+9=3\iff x=2\notin(2,4)\]

3 Połączenie rozwiązań

Do przedziału \((-2,2]\) dołączamy punkt \(-2\) uzyskany z pierwszego wzoru.

\[\{-2\}\cup(-2,2]=[-2,2]\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \([-2,2]\).

\[[-2,2]\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-2\) i \(x=2\) wartość funkcji wynosi \(3\), a dla każdego punktu między nimi funkcja jest stale równa \(3\). Poza tym przedziałem żaden z obowiązujących wzorów nie daje wartości \(3\).

\[f(-2)=-2+5=3,\qquad f(2)=3\]

Zadanie 3

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozważamy przedziały liczbowe \((−\infty,5)\) i \(\langle−1,+\infty)\). Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedziałów?

\(6\)

\(5\)

\(4\)

\(7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie części wspólnej

Liczba należąca do obu przedziałów musi być co najmniej równa −1 i mniejsza od 5.

\[x\geq -1\quad\text{i}\quad x<5\]

2 Policzenie liczb całkowitych

Kolejne liczby całkowite spełniające te warunki to −1, 0, 1, 2, 3 i 4, czyli jest ich sześć.

\[4-(-1)+1=6\]

Odpowiedź

Do obu przedziałów należy 6 liczb całkowitych. Odpowiedź A.

\[6\]

Sprawdzenie

Liczba −1 należy do obu przedziałów, a 4 jest ostatnią liczbą całkowitą mniejszą od 5. Liczba 5 nie należy do pierwszego przedziału. Wyliczone liczby to dokładnie −1, 0, 1, 2, 3, 4.

\[\{-1,0,1,2,3,4\}\]

Zadanie 3

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

25%

33%

75%

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Nowa prowizja

Obniżenie o 1 punkt procentowy oznacza odjęcie 1% od dotychczasowej stawki 4%.

\[4\%-1\%=3\%\]

2 Procentowy spadek

Wielkość obniżki odnosimy do prowizji przed zmianą.

\[\frac{4\%-3\%}{4\%}\cdot100\%=25\%\]

Odpowiedź

Prowizja zmniejszyła się o 25%. Odpowiedź B.

\[25\%\]

Sprawdzenie

25% początkowej prowizji 4% to 1 punkt procentowy, więc po obniżce prowizja wynosi 3%.

\[\frac14\cdot4\%=1\%,\qquad4\%-1\%=3\%\]

Zadanie 1

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\left(2\sqrt{8}-3\sqrt{2}\right)^2\) jest równa

\(2\)

\(1\)

\(26\)

\(14\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastka

Wyłączamy czynnik 4 spod pierwiastka, aby otrzymać wyrazy podobne.

\[\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}\]

2 Obliczenie kwadratu

Odejmujemy współczynniki przy \(\sqrt{2}\), a następnie podnosimy wynik do kwadratu.

\[\left(2\sqrt{8}-3\sqrt{2}\right)^2=\left(4\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2=2\]

Odpowiedź

Liczba jest równa 2. Odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Rozwinięcie kwadratu różnicy również daje 2.

\[(2\sqrt{8})^2-2\cdot 2\sqrt{8}\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2=32-48+18=2\]

Zadanie 5

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(3^{2+\frac{1}{4}}\) jest równa

\(3^2\cdot\sqrt[4]{3}\)

\(\sqrt[4]{3^3}\)

\(3^2+\sqrt[4]{3}\)

\(3^2+\sqrt{3^4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozdzielenie wykładnika

Potęga o wykładniku będącym sumą jest iloczynem potęg o tej samej podstawie.

\[3^{2+\frac14}=3^2\cdot3^{\frac14}\]

2 Zapis za pomocą pierwiastka

Wykładnik \(\frac14\) oznacza pierwiastek czwartego stopnia.

\[3^2\cdot3^{\frac14}=3^2\cdot\sqrt[4]{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[3^{2+\frac14}=3^2\cdot\sqrt[4]{3}\]

Sprawdzenie

Obie strony są dodatnie, a ich czwarte potęgi są równe.

\[\left(3^{2+\frac14}\right)^4=3^9,\qquad\left(3^2\sqrt[4]{3}\right)^4=3^8\cdot3=3^9\]

Zadanie 2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa

\(30\)

\(31\)

\(5^{12}\)

\(5^{27}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik licznika jest wielokrotnością \(5^{12}\), więc można wyłączyć tę potęgę przed skróceniem ułamka.

\[\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=\frac{5^{12}(1+5+5^2)}{5^{12}}=1+5+25=31\]

Odpowiedź

Liczba jest równa 31. Odpowiedź B.

\[31\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy pierwotny licznik.

\[31\cdot 5^{12}=(1+5+25)5^{12}=5^{12}+5^{13}+5^{14}\]

Zadanie 1

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(100^5\cdot(0,1)^{-6}\) jest równa

\(10^{13}\)

\(10^{16}\)

\(10^{-1}\)

\(10^{-30}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie czynników jako potęg liczby 10

Ponieważ \(100=10^2\) oraz \(0{,}1=10^{-1}\), możemy zastosować wzór \((a^m)^n=a^{mn}\).

\[100^5\cdot(0{,}1)^{-6}=(10^2)^5\cdot(10^{-1})^{-6}=10^{10}\cdot10^6\]

2 Pomnożenie potęg

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[10^{10}\cdot10^6=10^{10+6}=10^{16}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[10^{16}\]

Sprawdzenie

Potęga liczby 100 daje wykładnik 10, a ujemny wykładnik przy liczbie 0,1 daje wykładnik 6. Ich suma wynosi 16, co zgadza się z odpowiedzią B.

\[5\cdot2+(-6)\cdot(-1)=10+6=16\]

Zadanie 2

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\frac{2^{50}\cdot 3^{40}}{36^{10}}\) jest równa

\(6^{70}\)

\(6^{45}\)

\(2^{30}\cdot 3^{20}\)

\(2^{10}\cdot 3^{20}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozkład mianownika

Zapisujemy 36 jako iloczyn potęg liczb 2 i 3, aby móc skrócić potęgi o tych samych podstawach.

\[36^{10}=(2^2\cdot 3^2)^{10}=2^{20}\cdot 3^{20}\]

2 Dzielenie potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{2^{50}\cdot 3^{40}}{2^{20}\cdot 3^{20}}=2^{50-20}\cdot 3^{40-20}=2^{30}\cdot 3^{20}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[2^{30}\cdot 3^{20}\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu otrzymanego wyniku przez mianownik odzyskujemy licznik.

\[(2^{30}\cdot 3^{20})\cdot 36^{10}=2^{30}\cdot 3^{20}\cdot 2^{20}\cdot 3^{20}=2^{50}\cdot 3^{40}\]

Zadanie 4

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o \(10\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa \(78\ 732\) zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do \(1\) zł, równa

\(98\ 732\) zł

\(97\ 200\) zł

\(95\ 266\) zł

\(94\ 478\) zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie ceny po obniżkach

Każda obniżka o 10% pozostawia 90% aktualnej ceny, więc cenę początkową mnożymy dwukrotnie przez 0,9.

\[0{,}9\cdot 0{,}9x=78\,732\]

2 Obliczenie ceny początkowej

Dzielimy przez 0,81, aby wyznaczyć cenę przed obniżkami.

\[x=\frac{78\,732}{0{,}81}=97\,200\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Cena początkowa wynosiła 97 200 zł. Odpowiedź B.

\[\boxed{97\,200\ \text{zł}}\]

Sprawdzenie

Po pierwszej obniżce cena wynosi 87 480 zł, a po drugiej 78 732 zł, zgodnie z treścią zadania. Wynik jest dokładny, więc zaokrąglenie do 1 zł go nie zmienia.

\[97\,200\cdot 0{,}9=87\,480,\qquad 87\,480\cdot 0{,}9=78\,732\]

Zadanie 3

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi 48% liczby \(a\) oraz 32% liczby \(c\). Wynika stąd, że

\(c=1{,}5a\)

\(c=1{,}6a\)

\(c=0{,}8a\)

\(c=0{,}16a\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Ta sama liczba b jest równa 48% liczby a i 32% liczby c, więc przyrównujemy oba wyrażenia.

\[b=0{,}48a=0{,}32c\]

2 Wyznaczenie c

Dzielimy równość przez dodatnią liczbę 0,32.

\[0{,}48a=0{,}32c\quad\Rightarrow\quad c=\frac{0{,}48}{0{,}32}a=1{,}5a\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[c=1{,}5a\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości c jej 32% wynosi 48% liczby a, zgodnie z treścią zadania.

\[0{,}32c=0{,}32\cdot1{,}5a=0{,}48a=b\]

Zadanie 26

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata	1	2	3	4	5	6
przyrost (w cm)	10	10	7	8	8	7

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Dodajemy przyrosty z sześciu lat i dzielimy sumę przez liczbę lat.

\[\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{50}{6}=\frac{25}{3}\,\text{cm}\]

2 Zaokrąglenie

Zaokrąglamy średnią do pełnych centymetrów.

\[\frac{25}{3}\,\text{cm}\approx 8\,\text{cm}\]

3 Obliczenie błędu względnego

Dzielimy wartość błędu bezwzględnego przez dokładną średnią i zapisujemy wynik w procentach.

\[\frac{\left|8-\frac{25}{3}\right|}{\frac{25}{3}}\cdot100\%=\frac{1}{25}\cdot100\%=4\%\]

Odpowiedź

Średni roczny przyrost po zaokrągleniu wynosi 8 cm, a błąd względny tego przybliżenia wynosi 4%.

\[8\,\text{cm};\quad 4\%\]

Sprawdzenie

Przyrosty sumują się do 50 cm. Przybliżenie 8 cm różni się od dokładnej średniej o 1/3 cm, czyli o 4% tej średniej.

\[8+\frac{1}{3}=\frac{25}{3},\qquad \frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}}=\frac{1}{25}=4\%\]

Zadanie 4

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?

4050

1782

7425

7128

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Wzrost o 120% oznacza, że obecna populacja stanowi 220% populacji z 2011 roku. Oznaczmy dawną liczbę zwierząt przez x.

\[2{,}2x=8910\]

2 Oblicz dawną populację

Dzielimy obie strony równania przez 2,2.

\[x=\frac{8910}{2{,}2}=4050\]

Odpowiedź

31 grudnia 2011 roku populacja liczyła 4050 zwierząt. Odpowiedź A.

\[4050\]

Sprawdzenie

120% z 4050 to 4860, a po dodaniu tej liczby do dawnej populacji otrzymujemy 8910.

\[4050+1{,}2\cdot4050=8910\]

Zadanie 3

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

56%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \(n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwijamy kwadraty

Rozwijamy wyrażenie, aby oddzielić wielokrotność liczby 3.

\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=3n^2+6n+5\]

2 Wyznaczamy resztę

Grupujemy składniki w trzykrotność liczby całkowitej i resztę.

\[3n^2+6n+5=3(n+1)^2+2\]

Odpowiedź

Dla każdego naturalnego n ≥ 1 reszta z dzielenia podanej liczby przez 3 wynosi 2.

\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\equiv 2\pmod{3}\]

Sprawdzenie

Liczba (n+1)² jest całkowita, więc 3(n+1)² jest podzielne przez 3. Ponieważ 0 ≤ 2 < 3, liczba 2 jest poprawną resztą.

\[0\leq 2<3\]