Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
140 zadańStrona 2 z 10
Zadanie 2
Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku \(10\,000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

A
\(1200\) zł
B
\(1236\) zł
C
\(1836\) zł
D
\(3600\) zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kapitał po pierwszym roku

Bank dolicza 6% od początkowej kwoty, więc mnożymy ją przez 1,06.

\[K_1=10\,000\cdot 1{,}06=10\,600\ \text{zł}\]

2 Kapitał po drugim roku

W drugim roku odsetki są naliczane od powiększonego kapitału.

\[K_2=10\,600\cdot 1{,}06=11\,236\ \text{zł}\]

3 Łączne odsetki

Od końcowej wartości lokaty odejmujemy wpłaconą kwotę.

\[11\,236-10\,000=1236\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Łączne odsetki wynoszą 1236 zł. Odpowiedź B.

\[1236\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

W pierwszym roku odsetki wynoszą 600 zł, a w drugim 636 zł. Ich suma to 1236 zł.

\[0{,}06\cdot 10\,000+0{,}06\cdot 10\,600=600+636=1236\ \text{zł}\]
Zadanie 3
Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt{5\sqrt{5}}\) jest równa

A
\(5^{\frac{1}{4}}\)
B
\(5^{\frac{1}{2}}\)
C
\(5^{\frac{3}{4}}\)
D
\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pierwiastka jako potęgi

Ponieważ pierwiastek kwadratowy oznacza potęgę o wykładniku \(\frac{1}{2}\), zapisujemy oba pierwiastki jako potęgi.

\[\sqrt{5\sqrt{5}}=\left(5\cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\]

2 Obliczenie wykładnika

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki, a przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki.

\[\left(5^{1+\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[5^{\frac{3}{4}}\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej liczby wynosi \(5\sqrt{5}\), więc jej dodatni pierwiastek to obliczona wartość.

\[\left(5^{\frac{3}{4}}\right)^2=5^{\frac{3}{2}}=5\sqrt{5}\]
Zadanie 4
Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{8}4-\log_{8}32\) jest równa

A
\((-2)\)
B
\((-1)\)
C
\(1\)
D
\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc ich różnica jest logarytmem ilorazu argumentów.

\[\log_{8}4-\log_{8}32=\log_{8}\frac{4}{32}=\log_{8}\frac{1}{8}\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(8^{-1}=\frac{1}{8}\), szukany logarytm wynosi \(-1\).

\[\log_{8}\frac{1}{8}=-1\]

Odpowiedź

B, czyli −1.

\[-1\]

Sprawdzenie

Osobno otrzymujemy \(\log_{8}4=\frac{2}{3}\) i \(\log_{8}32=\frac{5}{3}\); ich różnica to \(-1\).

\[\frac{2}{3}-\frac{5}{3}=-1\]
Zadanie 1
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Liczby \(x_1\) i \(x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x-6|=4\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn \(x_1\cdot x_2\) jest równy

A
\(4\)
B
\(20\)
C
\(24\)
D
\(100\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Wartość bezwzględna jest równa 4, gdy wyrażenie pod nią jest równe 4 albo −4.

\[|x-6|=4\iff x-6=4\ \text{lub}\ x-6=-4\iff x=10\ \text{lub}\ x=2\]

2 Obliczenie iloczynu

Mnożymy oba różne rozwiązania równania.

\[x_1\cdot x_2=10\cdot 2=20\]

Odpowiedź

20, odpowiedź B.

\[x_1\cdot x_2=20\]

Sprawdzenie

Dla obu liczb wartość bezwzględna wynosi 4, a ich iloczyn wynosi 20.

\[|10-6|=4,\quad |2-6|=4,\quad 10\cdot 2=20\]
Zadanie 2
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(256\cdot\sqrt[3]{8^2}\) jest równa

A
\(2^8\)
B
\(2^{10}\)
C
\(2^{16}\)
D
\(2^{36}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczb jako potęg dwójki

Aby skorzystać z reguły mnożenia potęg o tej samej podstawie, zapisujemy 256 i 8 jako potęgi liczby 2.

\[256=2^8,\qquad 8=2^3\]

2 Obliczenie pierwiastka i iloczynu

Pierwiastek sześcienny z potęgi szóstej dwójki to jej kwadrat. Następnie dodajemy wykładniki mnożonych potęg.

\[256\cdot\sqrt[3]{8^2}=2^8\cdot\sqrt[3]{2^6}=2^8\cdot2^2=2^{10}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{10}\]

Sprawdzenie

Pierwiastek sześcienny z 64 wynosi 4, więc wyrażenie ma wartość 1024, czyli tyle samo co \(2^{10}\).

\[256\cdot\sqrt[3]{64}=256\cdot4=1024=2^{10}\]
Zadanie 3
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Iloczyn \(2\cdot\log_3 5\) jest równy \(\log_3 25\).PF
Suma \(2+\log_3 5\) jest równa \(\log_3 10\).PF
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Iloczyn

Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi.

\[2\log_3 5=\log_3(5^2)=\log_3 25\]

2 Suma

Zapisujemy 2 jako logarytm o podstawie 3, a następnie stosujemy wzór na logarytm iloczynu.

\[2+\log_3 5=\log_3 9+\log_3 5=\log_3 45\ne\log_3 10\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

Sprawdzenie

Ponieważ 25=5², pierwsza równość zachodzi. W drugiej równości otrzymujemy logarytm z 45, a 45≠10.

\[3^2\cdot 5=45\ne 10\]
Zadanie 4
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \((\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}\) jest równa

A
\(4-4\sqrt{3}\)
B
\(4-2\sqrt{3}\)
C
\(2\)
D
\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwinięcie kwadratu

Stosujemy wzór na kwadrat sumy.

\[(\sqrt{3}+1)^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}\]

2 Uproszczenie pierwiastka

Wyłączamy czynnik 4 spod pierwiastka, aby odjąć wyrazy podobne.

\[\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3},\qquad 4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu uproszczonego pierwiastka składniki z pierwiastkiem się znoszą, więc otrzymujemy 4.

\[(\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}=4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\]
Zadanie 5
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte3 pkt
Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), liczba \(a^2-b^2\) jest podzielna przez \(5\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczby z podanymi resztami

Z definicji reszty z dzielenia istnieją liczby całkowite k i l o podanej postaci.

\[a=5k+1,\qquad b=5l+4,\qquad k,l\in\mathbb{Z}\]

2 Zastosuj wzór na różnicę kwadratów

Suma a i b jest wielokrotnością 5, więc jeden z czynników iloczynu jest podzielny przez 5.

\[a+b=5(k+l+1),\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)=5(a-b)(k+l+1)\]

Odpowiedź

Dla każdej pary liczb spełniających warunki zadania liczba \(a^2-b^2\) jest podzielna przez \(5\).

\[5\mid(a^2-b^2)\]

Sprawdzenie

Liczba \((a-b)(k+l+1)\) jest całkowita, więc otrzymany iloczyn rzeczywiście jest wielokrotnością \(5\).

\[\frac{a^2-b^2}{5}=(a-b)(k+l+1)\in\mathbb{Z}\]
Zadanie 14.2
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.PF
Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami parzystymi.PF
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Tutaj zależy od n, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[a_{n+1}-a_n=3(n+1)^2-3(n+1)-(3n^2-3n)=6n\]

2 Sprawdzenie parzystości

Liczby n i n−1 są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn pomnożony przez 3 również jest parzysty dla każdego n≥1.

\[a_n=3n(n-1)\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny: F. Wszystkie jego wyrazy są parzyste: P.

\[\boxed{\mathrm{F},\ \mathrm{P}}\]

Sprawdzenie

Dla n=1 i n=2 różnice kolejnych wyrazów wynoszą odpowiednio 6 i 12, więc nie są stałe. Parzystość każdego wyrazu wynika z iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych.

\[a_2-a_1=6,\qquad a_3-a_2=12,\qquad 2\mid n(n-1)\Rightarrow 2\mid a_n\]
Zadanie 1
Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Liczba \(0{,}1\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{1}{8}\).

Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy

A
\(0{,}2\%\)
B
\(0{,}25\%\)
C
\(20\%\)
D
\(25\%\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie błędu bezwzględnego

Odejmujemy przybliżenie od wartości dokładnej i bierzemy wartość bezwzględną.

\[\left|\frac{1}{8}-0{,}1\right|=|0{,}125-0{,}1|=0{,}025\]

2 Obliczenie błędu względnego

Błąd bezwzględny dzielimy przez wartość dokładną, a następnie zamieniamy na procenty.

\[\frac{0{,}025}{0{,}125}\cdot 100\%=0{,}2\cdot 100\%=20\%\]

Odpowiedź

Błąd względny wynosi 20%, czyli odpowiedź C.

\[20\%\]

Sprawdzenie

20% wartości dokładnej 0,125 to 0,025, czyli dokładnie obliczony błąd bezwzględny.

\[0{,}2\cdot 0{,}125=0{,}025\]
Zadanie 2
Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Liczba \(256\cdot\sqrt[3]{8^2}\) jest równa

A
\(2^8\)
B
\(2^{10}\)
C
\(2^{16}\)
D
\(2^{36}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczb jako potęg dwójki

Sprowadzamy czynniki do tej samej podstawy, aby łatwo obliczyć iloczyn.

\[256\cdot\sqrt[3]{8^2}=2^8\cdot\sqrt[3]{(2^3)^2}\]

2 Obliczenie pierwiastka i iloczynu

Pierwiastek trzeciego stopnia z szóstej potęgi daje drugą potęgę, a przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[2^8\cdot\sqrt[3]{2^6}=2^8\cdot2^2=2^{10}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{10}\]

Sprawdzenie

Ponieważ pierwiastek sześcienny z 64 wynosi 4, wyjściowy iloczyn to 256 · 4 = 1024, czyli 2 do potęgi 10.

\[256\cdot\sqrt[3]{8^2}=256\cdot4=1024=2^{10}\]
Zadanie 3
Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Liczba \((\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}\) jest równa

A
\(4-4\sqrt{3}\)
B
\(4-2\sqrt{3}\)
C
\(2\)
D
\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy, aby uprościć pierwszą część wyrażenia.

\[(\sqrt{3}+1)^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}\]

2 Uprość pierwiastek i odejmij

Wyłączamy czynnik będący kwadratem spod pierwiastka. Wyrazy z pierwiastkiem się redukują.

\[(\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}=4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, czyli odpowiedź D.

\[4\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), oba wyrazy z \(\sqrt{3}\) mają przeciwne znaki i ich suma wynosi zero. Pozostaje 4, zgodnie z odpowiedzią D.

\[2\sqrt{3}-\sqrt{12}=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0\]
Zadanie 4
Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Liczba \(2+\log_3 5\) jest równa

A
\(\log_3 7\)
B
\(\log_3 10\)
C
\(\log_3 25\)
D
\(\log_3 45\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz 2 jako logarytm

Ponieważ \(3^2=9\), możemy zapisać obie liczby jako logarytmy o podstawie 3.

\[2=\log_3 9\]

2 Dodaj logarytmy

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów jego czynników.

\[2+\log_3 5=\log_3 9+\log_3 5=\log_3(9\cdot5)=\log_3 45\]

Odpowiedź

D

\[\log_3 45\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(45=3^2\cdot5\), rozłożenie logarytmu ponownie daje wyrażenie z treści zadania.

\[\log_3 45=\log_3(3^2\cdot5)=2+\log_3 5\]
Zadanie 1
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Dodatnia liczba \(a\) stanowi \(80\%\) liczby \(b\). Liczba \(b\) stanowi

A
\(125\%\) liczby \(a\).
B
\(25\%\) liczby \(a\).
C
\(20\%\) liczby \(a\).
D
\(12{,}5\%\) liczby \(a\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz zależność

Zamieniamy 80% na ułamek dziesiętny, aby zapisać treść zadania równaniem.

\[a=0{,}8b\]

2 Wyznacz procent

Dzielimy równanie przez 0,8. Ponieważ a jest dodatnie, możemy następnie odczytać stosunek b do a.

\[b=\frac{a}{0{,}8}=1{,}25a=125\%\,a\]

Odpowiedź

Liczba b stanowi 125% liczby a. Odpowiedź A.

\[b=125\%\,a\]

Sprawdzenie

80% ze 125% liczby a to 100% liczby a, więc otrzymana zależność spełnia warunek zadania.

\[0{,}8\cdot1{,}25a=a\]
Zadanie 2
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste

Liczba \((\sqrt{32}-\sqrt{2})^2\) jest równa

A
\(16\)
B
\(18\)
C
\(30\)
D
\(34\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastka

Wyłączamy kwadrat liczby 4 spod pierwiastka, aby odjąć podobne wyrażenia.

\[\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2},\qquad 4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\]

2 Podniesienie do kwadratu

Podnosimy do kwadratu zarówno współczynnik, jak i pierwiastek.

\[(3\sqrt{2})^2=3^2\cdot(\sqrt{2})^2=9\cdot2=18\]

Odpowiedź

Wynik to 18, czyli odpowiedź B.

\[18\]

Sprawdzenie

Ze wzoru na kwadrat różnicy otrzymujemy ten sam wynik.

\[(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2=32-2\sqrt{64}+2=32-16+2=18\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz