Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(5^8\cdot16^{-2}\) jest równa

\(\left(\frac{5}{2}\right)^8\)

\(\frac{5}{2}\)

\(10^8\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana podstawy potęgi

Zapisujemy 16 jako potęgę liczby 2, aby otrzymać ten sam wykładnik w obu czynnikach.

\[16^{-2}=(2^4)^{-2}=2^{-8}=\frac{1}{2^8}\]

2 Połączenie potęg

Potęgi o jednakowym wykładniku można połączyć w jedną potęgę ilorazu.

\[5^8\cdot16^{-2}=\frac{5^8}{2^8}=\left(\frac{5}{2}\right)^8\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\left(\frac{5}{2}\right)^8\]

Sprawdzenie

Ponieważ 16² = 256 = 2⁸, obie postacie mają wartość 390625/256.

\[5^8\cdot16^{-2}=\frac{390625}{256}=\left(\frac{5}{2}\right)^8\]

Zadanie 6

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest nierówność

\(3-2(1-2x)\geq 2x-17\)

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem 3 i zaznaczonym obszarem na lewo od niego; oznaczenia 0, 1, 3 oraz x.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem 3 i zaznaczonym obszarem na prawo od niego; oznaczenia 0, 1, 3 oraz x.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem −9 i zaznaczonym obszarem na lewo od niego; oznaczenia −9, 0, 1 oraz x.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem −9 i zaznaczonym obszarem na prawo od niego; oznaczenia −9, 0, 1 oraz x.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie nierówności

Usuwamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.

\[3-2(1-2x)\geq 2x-17\iff 1+4x\geq 2x-17\]

2 Wyznaczenie x

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę, a liczby na drugą. Dzielenie przez dodatnie 2 nie zmienia zwrotu nierówności.

\[1+4x\geq 2x-17\iff 2x\geq -18\iff x\geq -9\]

3 Wybór rysunku

Do zbioru rozwiązań należy −9 oraz wszystkie liczby większe od −9, co przedstawia rysunek D.

\[x\in[-9,\infty)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe −9.

\[x\in[-9,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla granicznej wartości x = −9 obie strony początkowej nierówności są równe −35, więc zamalowany punkt należy do zbioru rozwiązań.

\[3-2(1-2(-9))=-35=2(-9)-17\]

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

Oś liczbowa z zaznaczonymi dwoma przedziałami, punktami −2 i 5 oraz oznaczeniem x.

\(\lvert x-3{,}5\rvert\geq 1{,}5\)

\(\lvert x-1{,}5\rvert\geq 3{,}5\)

\(\lvert x-3{,}5\rvert\leq 1{,}5\)

\(\lvert x-1{,}5\rvert\leq 3{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie zbioru

Zamalowane punkty należą do zbioru, a zaznaczone są liczby na lewo od −2 i na prawo od 5.

\[x\in(-\infty,-2]\cup[5,\infty)\]

2 Zapis za pomocą wartości bezwzględnej

Środek między −2 a 5 to 1,5, a odległość każdego końca od środka wynosi 3,5. Szukamy liczb oddalonych od środka o co najmniej 3,5.

\[\frac{-2+5}{2}=1{,}5,\qquad 5-1{,}5=3{,}5,\qquad |x-1{,}5|\geq 3{,}5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[|x-1{,}5|\geq 3{,}5\]

Sprawdzenie

Rozwiązanie wybranej nierówności daje dokładnie oba zaznaczone przedziały, wraz z końcami.

\[|x-1{,}5|\geq 3{,}5\iff x-1{,}5\leq-3{,}5\ \text{lub}\ x-1{,}5\geq3{,}5\iff x\leq-2\ \text{lub}\ x\geq5\]

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(2\log_{3}6-\log_{3}4\) jest równa

\(4\)

\(2\)

\(2\log_{3}2\)

\(\log_{3}8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Korzystamy z własności potęgi i ilorazu logarytmów, ponieważ wszystkie argumenty są dodatnie.

\[2\log_{3}6-\log_{3}4=\log_{3}6^{2}-\log_{3}4=\log_{3}\frac{36}{4}=\log_{3}9\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(3^{2}=9\), logarytm jest równy 2.

\[\log_{3}9=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: 2.

\[2\]

Sprawdzenie

Niezależnie, \(6=3\cdot2\) i \(4=2^{2}\), więc składniki zawierające \(\log_{3}2\) się redukują.

\[2\log_{3}6-\log_{3}4=2(1+\log_{3}2)-2\log_{3}2=2\]

Zadanie 3

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są liczby \(a=3{,}6\cdot10^{-12}\) oraz \(b=2{,}4\cdot10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy

\(8{,}64\cdot10^{-32}\)

\(1{,}5\cdot10^{-8}\)

\(1{,}5\cdot10^{8}\)

\(8{,}64\cdot10^{32}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podziel współczynniki i potęgi

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{a}{b}=\frac{3{,}6}{2{,}4}\cdot10^{-12-(-20)}=1{,}5\cdot10^8\]

Odpowiedź

Iloraz wynosi \(1{,}5\cdot10^8\). Odpowiedź C.

\[\frac{a}{b}=1{,}5\cdot10^8\]

Sprawdzenie

Mnożąc otrzymany iloraz przez \(b\), otrzymujemy \(a\).

\[(1{,}5\cdot10^8)(2{,}4\cdot10^{-20})=3{,}6\cdot10^{-12}=a\]

Zadanie 3

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(2\log_{2}3-2\log_{2}5\) jest równa

\(\log_{2}\frac{9}{25}\)

\(\log_{2}\frac{3}{5}\)

\(\log_{2}\frac{9}{5}\)

\(\log_{2}\frac{6}{25}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś współczynniki do wykładników

Korzystamy ze wzoru \(a\log_b x=\log_b(x^a)\), aby zapisać oba składniki jako logarytmy liczb 9 i 25.

\[2\log_{2}3-2\log_{2}5=\log_{2}9-\log_{2}25\]

2 Połącz logarytmy

Różnica logarytmów o tej samej podstawie jest logarytmem ilorazu ich argumentów.

\[\log_{2}9-\log_{2}25=\log_{2}\frac{9}{25}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\log_{2}\frac{9}{25}\]

Sprawdzenie

Argumenty logarytmów są dodatnie, a podstawa 2 jest poprawna. Po rozwinięciu otrzymanego wyniku wracamy do wyrażenia z zadania.

\[\log_{2}\frac{9}{25}=\log_{2}9-\log_{2}25=2\log_{2}3-2\log_{2}5\]

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

71%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dodatnie liczby \(x\) i \(y\) spełniają warunek \(2x=3y\). Wynika stąd, że wartość wyrażenia \(\frac{x^2+y^2}{x\cdot y}\) jest równa

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{13}{6}\)

\(\frac{6}{13}\)

\(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie stosunków

Ponieważ x i y są dodatnie, możemy podzielić równanie 2x=3y przez 2y oraz przez 3x.

\[\frac{x}{y}=\frac{3}{2},\qquad \frac{y}{x}=\frac{2}{3}\]

2 Obliczenie wartości

Dzielimy każdy składnik licznika przez xy i dodajemy otrzymane ułamki.

\[\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{9+4}{6}=\frac{13}{6}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{13}{6}\]

Sprawdzenie

Przyjmując x=3 i y=2, otrzymujemy 2x=3y=6, a wartość wyrażenia wynosi 13/6.

\[\frac{3^2+2^2}{3\cdot2}=\frac{13}{6}\]

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}\) jest równa

\(-\frac{3}{2}\)

\(\frac{3}{2}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(-\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połączenie pierwiastków

Pierwiastki sześcienne można pomnożyć pod jednym pierwiastkiem, także dla liczb ujemnych.

\[\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot 2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}\]

2 Obliczenie pierwiastka

Liczby 27 i 8 są sześcianami odpowiednio 3 i 2.

\[\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(-\frac{3}{2}\).

\[-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Sześcian otrzymanej liczby jest równy liczbie pod pierwiastkiem, więc wynik jest poprawny.

\[\left(-\frac{3}{2}\right)^3=-\frac{27}{8}\]

Zadanie 4

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Suma \(2\log\sqrt{10}+\log 10^3\) jest równa

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszego składnika

Ponieważ logarytm bez podanej podstawy jest dziesiętny, zapisujemy pierwiastek jako potęgę liczby 10 i stosujemy własność logarytmu potęgi.

\[2\log\sqrt{10}=2\log 10^{\frac12}=2\cdot\frac12=1\]

2 Obliczenie sumy

Obliczamy logarytm drugiej potęgi liczby 10 i dodajemy oba składniki.

\[2\log\sqrt{10}+\log 10^3=1+3=4\]

Odpowiedź

Suma wynosi 4. Poprawna odpowiedź: C.

\[4\]

Sprawdzenie

Oba argumenty logarytmów są dodatnie. Ponieważ dwa logarytmy z pierwiastka z 10 dają logarytm z 10, cała suma jest logarytmem z 10⁴, czyli 4.

\[2\log\sqrt{10}+\log 10^3=\log 10+\log 10^3=\log 10^4=4\]

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\log_{9}27+\log_{9}3\) jest równa

\(81\)

\(9\)

\(4\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do potęg liczby 3

Podstawa logarytmów i ich argumenty są potęgami liczby 3, więc korzystamy z definicji logarytmu.

\[9=3^2,\quad 27=3^3,\quad \log_9 27=\frac{3}{2},\quad \log_9 3=\frac{1}{2}\]

2 Dodanie wyników

Dodajemy otrzymane wartości logarytmów.

\[\log_9 27+\log_9 3=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 2.

\[2\]

Sprawdzenie

Z definicji logarytmu: dziewięć do potęgi trzy drugie daje 27, a dziewięć do potęgi jedna druga daje 3. Obie obliczone wartości są więc poprawne.

\[9^{3/2}=27,\quad 9^{1/2}=3\]

Zadanie 3

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(4\log_4 2+2\log_4 8\) jest równa

\(6\log_4 10\)

\(16\)

\(5\)

\(6\log_4 16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Ponieważ \(4^{1/2}=2\) oraz \(4^{3/2}=8\), znamy wartości obu logarytmów.

\[\log_4 2=\frac12,\qquad \log_4 8=\frac32\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczone wartości i wykonujemy mnożenie oraz dodawanie.

\[4\log_4 2+2\log_4 8=4\cdot\frac12+2\cdot\frac32=2+3=5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 5.

\[5\]

Sprawdzenie

Z definicji logarytmu: \(4^{1/2}=2\) i \(4^{3/2}=8\), więc użyte wartości logarytmów są poprawne.

\[4^{1/2}=2,\qquad 4^{3/2}=8\]

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{3}{2\sqrt[3]{21}}\)

\(\frac{3}{2}\)

\(\frac{9}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Łączenie pierwiastków

Pierwiastki mają ten sam stopień, więc można pomnożyć liczby pod pierwiastkami i skrócić ułamek.

\[\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{7\cdot81}{3\cdot56}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\]

2 Obliczenie pierwiastka

Licznik i mianownik są sześcianami liczb całkowitych.

\[\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Sześcian otrzymanej liczby jest równy iloczynowi liczb pod pierwiastkami.

\[\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{8}=\frac{7}{3}\cdot\frac{81}{56}\]

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa

\(\frac{3}{2}\)

\(2\)

\(\frac{5}{2}\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczby jako potęgi dwójki

Sprowadzamy podstawę i liczbę logarytmowaną do tej samej podstawy, aby porównać wykładniki.

\[\sqrt{2}=2^{\frac12},\qquad 2\sqrt{2}=2^{\frac32}\]

2 Oblicz logarytm

Logarytm potęgi o tej samej podstawie jest jej wykładnikiem, więc dzielimy wykładniki potęg dwójki.

\[\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})=\log_{2^{\frac12}}(2^{\frac32})=\frac{\frac32}{\frac12}=3\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 3.

\[\boxed{3}\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana jest dodatnia. Ponadto trzecia potęga podstawy daje liczbę logarytmowaną.

\[\sqrt{2}>0,\quad \sqrt{2}\ne 1,\quad 2\sqrt{2}>0,\quad (\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}\]

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt