Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

93%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(78\) stanowi \(150\%\) liczby \(c\). Wtedy liczba \(c\) jest równa

\(60\)

\(52\)

\(48\)

\(39\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Ponieważ 150% liczby c to 78, zapisujemy równanie.

\[\frac{150}{100}c=78\]

2 Obliczenie liczby c

Dzielimy obie strony równania przez 1,5, aby wyznaczyć c.

\[c=\frac{78}{1{,}5}=52\]

Odpowiedź

Liczba c wynosi 52. Odpowiedź B.

\[c=52\]

Sprawdzenie

150% z 52 to 78, więc wynik spełnia warunek zadania.

\[\frac{150}{100}\cdot 52=78\]

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

89%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{9}27+\log_{9}3\) jest równa

\(81\)

\(9\)

\(4\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc ich sumę zapisujemy jako logarytm iloczynu argumentów.

\[\log_{9}27+\log_{9}3=\log_{9}(27\cdot3)=\log_{9}81\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ 81 jest kwadratem liczby 9, logarytm jest równy 2.

\[81=9^2\quad\Rightarrow\quad\log_{9}81=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź D.

\[\boxed{2\text{ — D}}\]

Sprawdzenie

Podstawa 9 jest dodatnia i różna od 1, a argumenty 27 i 3 są dodatnie. Ponadto 9 do potęgi 2 daje 81, czyli iloczyn argumentów.

\[9^2=81=27\cdot3\]

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

87%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował

865,00 zł

850,15 zł

1000,00 zł

977,50 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Po obniżce o 15% cena stanowi 85% ceny początkowej x.

\[0{,}85x=850\ \text{zł}\]

2 Oblicz cenę początkową

Dzielimy obie strony równania przez 0,85.

\[x=\frac{850}{0{,}85}=1000\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Rower kosztował przed obniżką 1000,00 zł. Odpowiedź C.

\[\boxed{1000{,}00\ \text{zł}\quad\text{C}}\]

Sprawdzenie

15% z 1000 zł to 150 zł, więc po obniżce cena wynosi 850 zł.

\[1000\ \text{zł}-0{,}15\cdot1000\ \text{zł}=850\ \text{zł}\]

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

83%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest nierówność \(|x-1|\geq 3\).

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Oś liczbowa z zamalowanymi punktami −2 i 4 oraz zaznaczonym odcinkiem między nimi.

Oś liczbowa z zamalowanymi punktami −2 i 4 oraz zaznaczonymi częściami na zewnątrz tych punktów.

Oś liczbowa z niezamalowanymi punktami −2 i 4 oraz zaznaczonym odcinkiem między nimi.

Oś liczbowa z niezamalowanymi punktami −2 i 4 oraz zaznaczonymi częściami na zewnątrz tych punktów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozdzielenie nierówności

Wartość bezwzględna jest co najmniej równa 3, gdy wyrażenie pod nią jest nie większe niż −3 albo nie mniejsze niż 3.

\[|x-1|\geq 3\iff x-1\leq -3\ \text{lub}\ x-1\geq 3\]

2 Wyznaczenie zbioru rozwiązań

Dodajemy 1 do obu stron każdej nierówności. Znak równości oznacza, że końce przedziałów należą do rozwiązania.

\[x\leq -2\ \text{lub}\ x\geq 4\iff x\in(-\infty,-2]\cup[4,\infty)\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B. Zaznaczono części osi na zewnątrz punktów −2 i 4 oraz oba te punkty.

\[(-\infty,-2]\cup[4,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla obu końców wartość bezwzględna wynosi 3, więc należą do zbioru. Liczba 1 leży między nimi i nie spełnia nierówności.

\[|-2-1|=3,\quad |4-1|=3,\quad |1-1|=0<3\]

Zadanie 3

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

83%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Cenę aparatu fotograficznego obniżono o \(15\%\), a następnie – o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje \(340\) zł. Przed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa

\(500\) zł

\(425\) zł

\(400\) zł

\(375\) zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie ceny po obniżkach

Każda obniżka jest liczona od ceny obowiązującej w danym momencie, więc cenę początkową x mnożymy kolejno przez 0,85 i 0,80.

\[x\cdot 0{,}85\cdot 0{,}80=340\]

2 Obliczenie ceny początkowej

Iloczyn mnożników wynosi 0,68. Dzielimy obie strony równania przez 0,68.

\[0{,}68x=340\quad\Rightarrow\quad x=\frac{340}{0{,}68}=500\]

Odpowiedź

Przed obniżkami aparat kosztował 500 zł. Odpowiedź A.

\[500\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po pierwszej obniżce cena wynosi 425 zł, a po drugiej 340 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[500\cdot 0{,}85=425,\qquad 425\cdot 0{,}80=340\]

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

83%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}\) jest równa

\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)

\(\frac{3}{2}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz pierwiastki

Pierwiastki sześcienne można pomnożyć, mnożąc liczby pod pierwiastkami.

\[\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot 2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}\]

2 Oblicz pierwiastek

Licznik i mianownik są sześcianami liczb całkowitych.

\[\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=\sqrt[3]{\left(-\frac{3}{2}\right)^3}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Sześcian otrzymanej liczby jest równy iloczynowi liczb pod pierwiastkami.

\[\left(-\frac{3}{2}\right)^3=-\frac{27}{8}=-\frac{27}{16}\cdot 2\]

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

83%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są liczby \(a=-\frac{1}{27}\), \(b=\log_{\frac{1}{4}}64\), \(c=\log_{\frac{1}{3}}27\). Iloczyn \(abc\) jest równy

\(-9\)

\(-\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Z definicji logarytmu szukamy wykładników, które dają odpowiednio 64 i 27.

\[\left(\frac14\right)^{-3}=64\Rightarrow b=-3,\qquad\left(\frac13\right)^{-3}=27\Rightarrow c=-3\]

2 Obliczenie iloczynu

Podstawiamy wartości liczb i mnożymy.

\[abc=-\frac1{27}\cdot(-3)\cdot(-3)=-\frac9{27}=-\frac13\]

Odpowiedź

Iloczyn wynosi \(-\frac13\). Odpowiedź B.

\[abc=-\frac13\]

Sprawdzenie

Oba logarytmy są równe \(-3\), ponieważ podniesienie ich podstaw do potęgi \(-3\) daje liczby logarytmowane. Iloczyn dwóch liczb ujemnych \(b\) i \(c\) jest dodatni, więc \(abc\) musi być ujemny.

\[\left(\frac14\right)^{-3}=64,\quad\left(\frac13\right)^{-3}=27,\quad-\frac1{27}\cdot9=-\frac13\]

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Cenę \(x\) pewnego towaru obniżono o \(20\%\) i otrzymano cenę \(y\). Aby przywrócić cenę \(x\), nową cenę \(y\) należy podnieść o

\(25\%\)

\(20\%\)

\(15\%\)

\(12\%\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Cena po obniżce

Obniżka o 20% oznacza, że nowa cena stanowi 80% ceny początkowej.

\[y=0{,}8x\]

2 Wymagana podwyżka

Procent podwyżki obliczamy względem aktualnej ceny \(y\), przy \(x>0\).

\[\frac{x-y}{y}=\frac{x-0{,}8x}{0{,}8x}=0{,}25=25\%\]

Odpowiedź

Cenę y należy podnieść o 25%. Odpowiedź A.

\[25\%\]

Sprawdzenie

Po podniesieniu ceny y o 25% otrzymujemy z powrotem cenę x.

\[1{,}25y=1{,}25\cdot0{,}8x=x\]

Zadanie 3

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_3 108-2\log_3 2\) jest równa

\(3\)

\(9\)

\(\log_3 104\)

\(2\log_3 54\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Korzystamy z reguł: współczynnik przed logarytmem jest wykładnikiem jego argumentu, a różnica logarytmów jest logarytmem ilorazu.

\[\log_3 108-2\log_3 2=\log_3 108-\log_3 2^2=\log_3\frac{108}{4}\]

2 Oblicz wartość

Iloraz wynosi 27, czyli trzecią potęgę 3.

\[\log_3\frac{108}{4}=\log_3 27=\log_3 3^3=3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: 3.

\[3\]

Sprawdzenie

Ponieważ 2 logarytm przy podstawie 3 ma argumenty dodatnie, przekształcenia są poprawne. Otrzymane 3 jest właściwe, bo 3 do potęgi 3 daje 27, a 108 podzielone przez 4 daje 27.

\[3^3=27=\frac{108}{2^2}\]

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-4\leq x-1\leq 4\).

Rysunek odpowiedzi A

Rysunek odpowiedzi B

Rysunek odpowiedzi C

Rysunek odpowiedzi D

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przedziału

Dodajemy 1 do każdej części nierówności, aby wyznaczyć dopuszczalne wartości x.

\[-4\leq x-1\leq 4\quad\Longleftrightarrow\quad -3\leq x\leq 5\]

2 Wybór rysunku

Obie nierówności są nieostre, więc końce przedziału należą do zbioru rozwiązań. Przedział od −3 do 5 z zamalowanymi końcami przedstawia rysunek C.

\[x\in[-3,5]\]

Odpowiedź

C — przedział domknięty od −3 do 5.

\[[-3,5]\]

Sprawdzenie

Dla końców przedziału wyrażenie x−1 przyjmuje odpowiednio wartości −4 i 4, więc oba końce spełniają nierówność.

\[x=-3\Rightarrow x-1=-4,\qquad x=5\Rightarrow x-1=4\]

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}\) jest równa

\(2^{24}\)

\(2^{16}\)

\(2^{12}\)

\(2^8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do potęg liczby 2

Zapisujemy obie podstawy jako potęgi liczby 2, aby móc zastosować regułę mnożenia potęg o tej samej podstawie.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}=(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16}=2^{-32}\cdot2^{48}\]

2 Dodanie wykładników

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy ich wykładniki.

\[2^{-32}\cdot2^{48}=2^{-32+48}=2^{16}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{16}\]

Sprawdzenie

Można też pogrupować czynniki: iloraz 64 i 16 wynosi 4, więc otrzymujemy ten sam wynik.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}=\left(\frac{8^2}{16}\right)^8=4^8=2^{16}\]

Zadanie 3

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\log_{5}\sqrt{125}\) jest równa

\(\frac{2}{3}\)

\(2\)

\(3\)

\(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastek jako potęgę

Ponieważ \(125=5^3\), stosujemy własność pierwiastka: \(\sqrt{a}=a^{1/2}\) dla \(a\geq 0\).

\[\sqrt{125}=\sqrt{5^3}=(5^3)^{1/2}=5^{3/2}\]

2 Oblicz logarytm

Logarytm o podstawie \(5\) z potęgi liczby \(5\) jest jej wykładnikiem.

\[\log_5\sqrt{125}=\log_5 5^{3/2}=\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu spełnia warunki \(5>0\) i \(5\ne 1\), a liczba logarytmowana jest dodatnia. Ponadto \((5^{3/2})^2=5^3=125\), więc \(5^{3/2}=\sqrt{125}\).

\[(5^{3/2})^2=125\]

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}\) jest równy

\(a^{-3,9}\)

\(a^{-2}\)

\(a^{-1,3}\)

\(a^{1,3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej dodatniej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[a^{-3,9}\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez dzielnik otrzymujemy licznik.

\[a^{-3,9}\cdot a^{1,3}=a^{-2,6}\]

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{\sqrt{3}} 9\) jest równa

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Zapisujemy podstawę i liczbę logarytmowaną jako potęgi liczby 3, aby porównać wykładniki.

\[\sqrt{3}=3^{\frac12},\qquad 9=3^2\]

2 Obliczenie logarytmu

Logarytm jest wykładnikiem, do którego trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać 9. Zatem szukana liczba x spełnia równanie \(\frac{x}{2}=2\).

\[\left(3^{\frac12}\right)^x=3^2\iff\frac{x}{2}=2\iff x=4\]

Odpowiedź

C. Liczba jest równa 4.

\[\log_{\sqrt{3}}9=4\]

Sprawdzenie

Podstawa jest dodatnia i różna od 1. Ponadto jej czwarta potęga wynosi 9.

\[\sqrt{3}>0,\quad\sqrt{3}\ne1,\quad(\sqrt{3})^4=9\]

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt