Zbiór zadań maturalnych

Kombinatoryka — zadania maturalne

Kombinatoryka: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
27 zadańStrona 1 z 2
Zadanie 28
Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

A
\(400\)
B
\(500\)
C
\(900\)
D
\(1600\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór skrajnych cyfr

Liczba jest parzysta, więc cyfra jedności musi być parzysta. Jest równa cyfrze tysięcy, która w liczbie czterocyfrowej nie może być zerem. Mamy zatem cztery możliwości.

\[(2,2),\ (4,4),\ (6,6),\ (8,8)\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfrę setek i cyfrę dziesiątek wybieramy niezależnie, każdą na 10 sposobów. Mnożymy liczby możliwości.

\[4\cdot 10\cdot 10=400\]

Odpowiedź

A. Takich liczb jest 400.

\[400\]

Sprawdzenie

Dla każdej z czterech możliwych par skrajnych cyfr istnieje dokładnie 100 ustawień dwóch środkowych cyfr. Każda otrzymana liczba jest czterocyfrowa i parzysta, więc łącznie jest ich 400.

\[4\cdot 100=400\]
Zadanie 23
Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

A
\(400\)
B
\(500\)
C
\(900\)
D
\(1600\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór skrajnych cyfr

Cyfra jedności musi być parzysta, a równa jej cyfra tysięcy nie może być zerem. Są więc cztery możliwości.

\[2,4,6,8\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry setek i dziesiątek można wybrać niezależnie, każdą na 10 sposobów. Mnożymy liczby możliwości.

\[4\cdot 10\cdot 10=400\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 400. Odpowiedź A.

\[400\]

Sprawdzenie

Dla każdej z czterech możliwych cyfr skrajnych otrzymujemy dokładnie 100 liczb, bo dwie środkowe cyfry tworzą parę od 00 do 99. Wszystkie są czterocyfrowe i parzyste.

\[4\cdot 100=400\]
Zadanie 29
Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 555), jest

A
\(6\cdot 7\cdot 3\)
B
\(6\cdot 7\cdot 7\)
C
\(7\cdot 7\cdot 3\)
D
\(7\cdot 7\cdot 7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Cyfra setek nie może być zerem, cyfra dziesiątek może być dowolną z podanych, a cyfra jedności musi być nieparzysta.

\[6\text{ możliwości dla setek},\quad 7\text{ dla dziesiątek},\quad 3\text{ dla jedności }(1,3,5)\]

2 Obliczenie liczby liczb

Wybory cyfr są niezależne, więc mnożymy liczby możliwości.

\[6\cdot 7\cdot 3=126\]

Odpowiedź

Jest 126 takich liczb. Odpowiedź A.

\[6\cdot 7\cdot 3=126\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech możliwych cyfr jedności jest 6 · 7 = 42 liczb trzycyfrowych. Łącznie daje to 3 · 42 = 126.

\[3\cdot(6\cdot 7)=126\]
Zadanie 24
Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) (np.: \(321,\ 555\)), jest

A
\(6\cdot 7\cdot 3\)
B
\(6\cdot 7\cdot 7\)
C
\(7\cdot 7\cdot 3\)
D
\(7\cdot 7\cdot 7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Cyfra setek nie może być zerem, cyfra dziesiątek może być dowolną z podanych cyfr, a cyfra jedności musi być nieparzysta.

\[6\text{ możliwości na setki},\quad 7\text{ na dziesiątki},\quad 3\text{ na jedności }(1,3,5)\]

2 Obliczenie liczby zapisów

Wybory cyfr są niezależne, więc mnożymy liczby możliwości.

\[6\cdot 7\cdot 3=126\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 126. Odpowiedź A.

\[126=6\cdot 7\cdot 3\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech możliwych cyfr jedności istnieje 6·7=42 zapisów dwóch pierwszych cyfr. Łącznie daje to 3·42=126; każdy zapis jest trzycyfrowy i nieparzysty.

\[3\cdot(6\cdot 7)=126\]
Zadanie 28
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

A
\(108\)
B
\(117\)
C
\(126\)
D
\(162\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zero na końcu

Gdy cyfrą jedności jest 0, cyfra setek i cyfra dziesiątek muszą być różne od zera. Każdą wybieramy na 9 sposobów.

\[9\cdot 9=81\]

2 Zero w środku

Gdy cyfrą dziesiątek jest 0, cyfrę setek wybieramy na 9 sposobów, a parzystą cyfrę jedności spośród 2, 4, 6, 8.

\[9\cdot 4=36\]

3 Suma przypadków

Przypadki są rozłączne i wyczerpują wszystkie możliwości, ponieważ cyfra setek nie może być zerem.

\[81+36=117\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 117. Odpowiedź B.

\[117\]

Sprawdzenie

W pierwszym przypadku jedyne zero jest na końcu, a w drugim w środku. Obie grupy zawierają wyłącznie trzycyfrowe liczby parzyste, więc suma 81+36 obejmuje każdą szukaną liczbę dokładnie raz.

\[81+36=117\]
Zadanie 24
Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

A
\(108\)
B
\(117\)
C
\(126\)
D
\(162\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zero na końcu

Cyfra setek nie może być zerem, a cyfra dziesiątek musi być niezerowa, aby zero wystąpiło dokładnie raz. Każdą z nich wybieramy na 9 sposobów.

\[9\cdot 9=81\]

2 Zero w środku

Cyfrę setek wybieramy na 9 sposobów. Ostatnia cyfra musi być parzysta i niezerowa, więc wybieramy ją spośród 2, 4, 6, 8.

\[9\cdot 4=36\]

3 Zliczenie

Przypadki są rozłączne i obejmują wszystkie możliwe pozycje jedynego zera.

\[81+36=117\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 117. Odpowiedź B.

\[117\]

Sprawdzenie

Zero nie może stać na miejscu setek, bo liczba nie byłaby trzycyfrowa. W obu policzonych przypadkach pozostałe cyfry są niezerowe, więc każda liczba ma dokładnie jedno zero.

\[81+36=117\]
Zadanie 23
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

A
\(45\)
B
\(50\)
C
\(54\)
D
\(81\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal położenie zera

Cyfra setek nie może być zerem, bo liczba jest trzycyfrowa. Cyfra jedności też nie może być zerem, bo liczba jest nieparzysta. Zatem zero występuje na miejscu dziesiątek.

\[\overline{a0c}\]

2 Policz możliwości

Cyfrę setek wybieramy na 9 sposobów, a nieparzystą cyfrę jedności na 5 sposobów. Każda para wyborów daje inną liczbę.

\[9\cdot 5=45\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 45. Odpowiedź A.

\[45\]

Sprawdzenie

Dla każdej z 9 cyfr setek otrzymujemy dokładnie 5 liczb z cyfrą dziesiątek równą 0 i nieparzystą cyfrą jedności. Każda jest trzycyfrowa i zawiera dokładnie jedno zero.

\[9\cdot 5=45\]
Zadanie 29
Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(2\), \(4\), \(7\) (np.: \(7272\), \(2222\), \(7244\)), jest

A
\(16\)
B
\(27\)
C
\(54\)
D
\(81\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór ostatniej cyfry

Liczba jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta. Spośród podanych cyfr są to 2 i 4.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z trzech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 2, 4 lub 7. Żadna z tych cyfr nie jest zerem, więc każda otrzymana liczba jest czterocyfrowa.

\[3\cdot3\cdot3\cdot2=54\]

Odpowiedź

54 liczby, odpowiedź C.

\[54\]

Sprawdzenie

Wszystkich zapisów z podanych cyfr jest 81. Spośród nich 27 kończy się cyfrą 7, więc jest nieparzystych. Pozostałe 54 spełniają warunek.

\[3^4-3^3=81-27=54\]
Zadanie 28
Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(2\), \(4\), \(7\) (np. \(7272\), \(2222\), \(7244\)), jest

A
\(16\)
B
\(27\)
C
\(54\)
D
\(81\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Każda z pierwszych trzech cyfr może być równa 2, 4 lub 7. Ostatnia musi być parzysta, więc wybieramy 2 lub 4.

\[3\cdot3\cdot3\cdot2=54\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 54. Odpowiedź C.

\[54\]

Sprawdzenie

Wszystkich zapisów z podanych cyfr jest 81. W 27 z nich ostatnią cyfrą jest 7, więc są nieparzyste. Pozostają 54 liczby parzyste.

\[3^4-3^3=81-27=54\]
Zadanie 29
Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \(1\), \(3\), \(6\), \(8\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

A
\(4\)
B
\(10\)
C
\(24\)
D
\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz możliwości na kolejnych miejscach

Cyfry nie mogą się powtarzać. Na pierwszym miejscu są 4 możliwości, a na każdym następnym o jedną mniej. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę kodów.

\[4\cdot3\cdot2\cdot1=24\]

Odpowiedź

Istnieją 24 takie kody. Odpowiedź C.

\[24\]

Sprawdzenie

Dla każdej z 4 cyfr na pierwszym miejscu pozostałe 3 cyfry można ustawić na 6 sposobów, więc łącznie jest 24 kodów.

\[4\cdot(3\cdot2\cdot1)=4\cdot6=24\]
Zadanie 29
Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest

A
\(8\)
B
\(4\)
C
\(5\)
D
\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie warunków

Cyfra setek musi być co najmniej równa 1, a suma trzech cyfr wynosi 3.

\[a+b+c=3,\quad a\ge 1,\quad b,c\ge 0\]

2 Policzenie możliwości

Dla cyfry setek 1 są trzy pary pozostałych cyfr, dla 2 są dwie, a dla 3 jest jedna.

\[a=1:\ (b,c)=(0,2),(1,1),(2,0);\quad a=2:\ (b,c)=(0,1),(1,0);\quad a=3:\ (b,c)=(0,0).\quad 3+2+1=6\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 6. Odpowiedź D.

\[6\]

Sprawdzenie

Otrzymane liczby to 102, 111, 120, 201, 210 i 300. Każda jest trzycyfrowa i ma sumę cyfr równą 3; rozpatrzono wszystkie możliwe cyfry setek.

\[1+0+2=1+1+1=1+2+0=2+0+1=2+1+0=3+0+0=3\]
Zadanie 31
Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest

A
\(8\)
B
\(4\)
C
\(5\)
D
\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal możliwe cyfry setek

Cyfra setek musi być dodatnia i nie może przekraczać sumy cyfr, czyli 3.

\[s\in\{1,2,3\}\]

2 Policz możliwości

Dla kolejnych cyfr setek wypisujemy pary cyfr dziesiątek i jedności o wymaganej sumie.

\[s=1:\ (0,2),(1,1),(2,0);\quad s=2:\ (0,1),(1,0);\quad s=3:\ (0,0)\]

Odpowiedź

Jest 6 takich liczb. Odpowiedź D.

\[3+2+1=6\]

Sprawdzenie

Otrzymane liczby to 102, 111, 120, 201, 210 i 300. Każda jest trzycyfrowa i ma sumę cyfr równą 3; rozpatrzono wszystkie możliwe cyfry setek.

\[1+0+2=1+1+1=1+2+0=2+0+1=2+1+0=3+0+0=3\]
Zadanie 30
Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

A
\(9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\)
B
\(9\cdot9\cdot9\cdot9\)
C
\(10\cdot9\cdot8\cdot7\)
D
\(9\cdot9\cdot8\cdot7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc mamy 9 możliwości.

\[9\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry nie mogą się powtarzać. Na kolejne miejsca pozostaje odpowiednio 9, 8 i 7 możliwości, więc mnożymy liczby wyborów.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 4536 liczb.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Sprawdzenie

Spośród wszystkich zapisów z czterema różnymi cyframi odejmujemy te, które zaczynają się od zera. Otrzymujemy ten sam wynik.

\[10\cdot9\cdot8\cdot7-9\cdot8\cdot7=5040-504=4536\]
Zadanie 29
Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

A
\(9\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\)
B
\(9\cdot 9\cdot 9\cdot 9\)
C
\(10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)
D
\(9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba czterocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrę wybieramy na 9 sposobów.

\[9\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry nie mogą się powtarzać. Na kolejnych miejscach pozostaje odpowiednio 9, 8 i 7 możliwości. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich zapisów.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Odpowiedź

4536 liczb; odpowiedź D.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Sprawdzenie

Gdyby dopuścić zero na początku, byłoby 5040 zapisów. Spośród nich 504 zaczynają się od zera, więc czterocyfrowych liczb jest 4536.

\[10\cdot9\cdot8\cdot7-9\cdot8\cdot7=5040-504=4536\]
Zadanie 26
Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Rozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, których suma cyfr jest równa \(3\). Wszystkich takich liczb jest

A
\(13\)
B
\(10\)
C
\(7\)
D
\(9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podział według cyfry tysięcy

Pierwsza cyfra musi być dodatnia i nie może przekraczać 3. Liczymy możliwości dla każdej z jej wartości.

\[a+b+c+d=3,\quad a\in\{1,2,3\}\]

2 Policzenie liczb

Gdy pierwsza cyfra to 1, pozostałe cyfry mają sumę 2: są to trzy ustawienia cyfr 2,0,0 oraz trzy ustawienia cyfr 1,1,0. Dla pierwszej cyfry 2 otrzymujemy trzy ustawienia cyfr 1,0,0, a dla cyfry 3 tylko 0,0,0.

\[(3+3)+3+1=10\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 10. Odpowiedź B.

\[10\]

Sprawdzenie

Otrzymane liczby to 3000; 2100, 2010, 2001; 1200, 1020, 1002, 1110, 1101, 1011. Każda jest czterocyfrowa i ma sumę cyfr 3, a podział według pierwszej cyfry wyczerpuje wszystkie możliwości.

\[1+3+6=10\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz